Методическая разработка по теме: "Кинематика в графиках"

А.Р. Камалеева, Т.В. Куренева

Методическая разработка

Физической задачей называется небольшая проблема, которая решается на основе методов физики, с использованием в процессе решения логических умозаключений, физического эксперимента и математических действий.

Основные цели такого вида учебной деятельности как решение задач – углубление знаний учащихся, развитие их мышления, формирование умения анализировать ситуацию, творчески подходить к возникающим проблемам и находить пути их решения. Умение применять знания на практике – показатель их осознанности и прочности.

Решение физических задач имеет:

• образовательное значение, т.к. способствует усвоению учащимися курса физики, как на алгоритмическом, так и на творческом уровне;
• воспитательное значение, т.к. оно позволяет влиять на личность, воспитывать волю, настойчивость, усидчивость, самостоятельность;
• большое значение для развития учащихся, для развития их логического мышления, для формирования умения делать индуктивные и дедуктивные умозаключения, использовать аналогии и эвристические приемы;
• политехническое значение, т.к. в задачах с политехническим содержанием приводятся сведения о технических объектах, выявляются принципы их работы, устанавливается взаимосвязь между отдельными элементами этих объектов.

В формировании умения решать физические задачи важное место занимает умение решать графические задачи.

Графические задачи – это задачи, в которых ответ на поставленный вопрос не может быть получен без использования графика.

<Рисунок 1>

Значение графических задач в формировании умения решать физические задачи заключается в следующем:

• При изучении процессов, происходящих в природе и технике, как правило, определяются функциональные зависимости между величинами, характеризующими эти процессы. Понятие функциональной зависимости с большой полнотой и конкретностью отражает взаимную связь и обусловленность явлений. Графическое изображение функциональной зависимости наиболее ярко и доходчиво выражает эту зависимость. График наглядно раскрывает закономерность. В средней школе в ряде случаев графически могут быть представлены такие процессы, аналитически выразить которые можно только на более поздних стадиях обучения. Графические упражнения и задачи в значительной мере помогают учащимся овладеть этим важным методом выражения функциональных связей, способствующих глубокому раскрытию сущности процессов и явлений.
• Графические задачи и упражнения способствуют сознательному усвоению закономерностей и формированию у учащихся понятий. Особенно велика их роль в активизации процесса преподавания естественнонаучных дисциплин. Необходимая подготовка к решению графических задач дается в курсе математики.

При изучении раздела “Кинематика” рекомендуется оформлять решение задач в следующей последовательности:

1. Краткая запись условия (дано).
2. Перевод единиц измерения в систему СИ.
3. Чертеж.
4. Решение в “общем виде”.
5. Работа с единицами измерения (проверка решения в “общем виде”).
6. Графическое изображение различных зависимостей.

В зависимости от условия задачи, пункт 6 может предшествовать пункту 3 или следовать за ним.

На первом этапе обучения необходимо развивать умение учащихся изображать ситуацию, описанную в задаче, с помощью чертежа, переходить от него к графику и обратно. Для отработки этих навыков целесообразно использовать специальные задания в виде таблицы с пустыми ячейками, которые необходимо заполнить. Пример такого задания по теме “Равномерное прямолинейное движение” приведен ниже (таблица 2). Учащийся, используя график зависимости (t) или х(t) и дополнительные данные, должен нарисовать чертеж, соответствующий данной ситуации, или, наоборот, используя чертеж, построить график зависимости (t) или х(t).

<Рисунок 2>

1. Графики основных кинематических величин прямолинейного равномерного движения

1.1. График скорости.

При равномерном прямолинейном движении = const. (Здесь и далее полужирным шрифтом мы будем обозначать векторные величины). Направим ось х вдоль траектории движения тела. Графики скорости для различных случаев будут иметь вид, представленный на рис.1.

<Рисунок 3>

1.2. График перемещения.

Перед рассмотрением графика перемещения полезно вспомнить известные учащимся из курса математики основные свойства функции y = kx, роль параметра k, особенности графика этой функции и способы его построения.

При равномерном прямолинейном движении перемещение пропорционально времени движения: S = t. Если тело движется вдоль оси х, то величина проекции вектора перемещения на эту ось также будет пропорциональна времени: S_х = _хt. Таким образом, график перемещения представляет собой прямую линию. Заметим, что S_x = 0 при t = 0, следовательно, график перемещения всегда проходит через начало координат. В зависимости от знака _х, наклон графика S_х(t) может быть как положительным, так и отрицательным. При этом угол наклона графика будет тем больше, чем больше _х по абсолютной величине.

<Рисунок 4>

Так как график S_х(t) - прямая, проходящая через начало координат, то для его построения достаточно найти координаты всего лишь одной дополнительной точки. На рис. 3 приведены графики перемещения, соответствующие рассмотренным ранее графикам скорости. Расчеты координат дополнительных точек отражены в таблицы 3.

<Рисунок 5>

1. 3. График координаты

Так как S_x = x - x₀, то x = x₀ + S_x. Следовательно, значения x отличаются от соответствующих значений S_x на постоянную величину x₀, равную координате точки в начальный момент времени. Графически это выражается сдвигом графика зависимости x(t) относительно графика S_x(t) вверх или вниз, в зависимости от знака x₀ (см. рис. 4 и 5).

При равномерном прямолинейном движении значение координаты точки может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от того, как направлен вектор перемещения относительно выбранной системы отсчета. Если направление вектора перемещения совпадает с положительным направлением оси (проекция вектора на ось положительна), то координата будет возрастать, если же вектор перемещения противоположен положительному направлению оси – координата убывает.Конечно, если известна величина скорости, то для построения графика координаты нет необходимости строить вспомогательный график перемещения. Действительно, так как S_x = _xt, то x = x₀ + _xt.

Последнее выражение аналогично известной учащимся из курса математики функции y = b + kx. Полезно обратить на это внимание учащихся и обсудить с ними свойства данной функции и способы построения ее графика.

График функции x = x₀ + _xt - прямая линия, пересекающая оси координат в точках (0, x₀) и (-x₀/ _x, 0). Вторую точку использовать для построения графика не всегда удобно, она находится в первой четверти координатной плоскости только в том случае, если знаки x₀ и _x противоположны и величина -x₀/ _x положительна (прямая 2' на рис. 4 и 1'' на рис. 5). Ясно, что в общем случае координаты второй точки графика можно рассчитать, выбрав произвольное значение t.

2. Графики кинематических величин при прямолинейном равнопеременном движении.

2.1. График ускорения.

При равномерном прямолинейном движении а = const. Направим ось х вдоль линии движения тела. Графики ускорения для различных случаев будут иметь вид (рис. 6).

<Рисунок 6>

Что означают условия: а_х > 0, а_х < 0? Как правило, ученики отвечают на этот вопрос так: если а_х > 0, то тело движется равноускоренно, если а_х < 0 - равнозамедленно. При этом они забывают, что не знак ускорения непосредственно определяет, будет ли движение равноускоренным или равнозамедленным, а взаимная ориентация векторов скорости и ускорения. Пусть, например, тело движется вдоль оси х, причем положительное направление оси х совпадает с направлением вектора скорости .

Если движение равноускоренное и скорость тела за время t возрастает от _0Х до _Х, то

Проекция вектора ускорения на ось x положительна, следовательно, он совпадает с направлением скорости.

Пусть теперь тело движется в противоположном направлении и проекция скорости на ось х отрицательна. При равноускоренном движении |_Х| > |_0Х| и |_Х| - |_0Х| > 0. Теперь

Проекция вектора ускорения на ось х в данном случае получается отрицательной, но это означает, что его направление и в этом случае совпадает с направлением вектора скорости.

При прямолинейном равноускоренном движении
направления векторов скорости и ускорения совпадают

Анализ равнозамедленного движения проведем, используя графический метод (рис. 7а и 7б).

<Рисунок 7>

Как можно видеть, на каждом из чертежей направление вектора изменения скорости - ₀, а, следовательно, и вектора ускорения а противоположно направлению скорости.

При прямолинейном равнозамедленном движении
направления векторов скорости и ускорения противоположны

2.2. График скорости.

Функция, выражающая зависимость величины проекции скорости от времени при равнопеременном движении, _х= _0х + а_хt аналогична функции x = x₀ + _xt (или y = b + kx), график которой уже обсуждался в разделе 1.3. Это прямая линия, пересекающая оси координат t и _х точках (0, _0х) и (- _0х/а_х, 0).

В зависимости от значения параметров _0х и а_х можно выделить шесть различных вариантов расположения графика этой функции на координатной плоскости (таблица. 4). Отметим общие закономерности, отраженные на графиках, представленных в таблице 4:

• значение ординаты в точке пересечения с графиком скорости равно величине проекции начальной скорости _0х (или просто величине начальной скорости, если движение происходит вдоль оси х);
• наклон графика скорости определяется знаком проекции ускорения а_х.

К этому следует добавить, что угол наклона графика скорости зависит от величины ускорения - аналогично тому, как угол наклона графика перемещения или координаты при равномерном прямолинейном движении зависит от скорости (см. разделы 1.2 и 1.3); в данном случае в роли параметра k выступает а_х.

Дадим теперь краткие пояснения к таблице 4. При этом ограничимся рассмотрением событий, происходящих при t > 0.

Вариант 1. Тело начинает двигаться равноускоренно из состояния покоя. Направления векторов и а совпадают. Их проекции на ось х остаются положительными в течение всего времени движения (напомним, при t > 0), причем величина проекции скорости линейно увеличивается с течением времени.

Вариант 2. Движение равноускоренное без начальной скорости. Направления векторов и а совпадают, но их проекции отрицательные - тело движется в направлении противоположном направлению оси х, при этом модуль вектора скорости увеличивается.

Вариант 3. Аналогичен варианту 1, но в начальный момент времени тело имеет скорость ₀, направленную вдоль оси х.

Вариант 4. Движение тела происходит в два этапа. На первом этапе, когда направления векторов и а противоположны, движение равнозамедленное. В момент времени t = - _0х/а_х скорость тела становится равной нулю - тело на мгновение останавливается и затем начинает двигаться в противоположном направлении с тем же ускорением. Чертеж в таблице дан для второго этапа.

Вариант 5. Напоминает предыдущий, но на первом этапе тело движется (равнозамедленно) в направлении противоположном направлению оси х. Чертеж в таблице соответствует второму этапу - равноускоренному движению в положительном направлении этой оси.

Вариант 6. Аналогичен варианту 2, но при t = 0 тело имеет скорость ₀, направление которой противоположно направлению оси х.

2.3. График перемещения.

Приступая к построению графиков перемещения при прямолинейном равнопеременном движении целесообразно обсудить с учащимися свойства функции y = a + bx + cx², а также вспомнить особенности графика этой функции и приемы его построения.

При прямолинейном равнопеременном движении зависимость перемещения S от времени выражается, как известно, следующей функцией:

S = ₀t + at²/2.

Если направить ось х вдоль направления движения, то для проекции перемещения на эту ось будем иметь

S_х = _0хt + a_хt²/2.

График этой функции есть парабола, проходящая через начало координат. Координаты вершины параболы, наклон ее ветвей и их ориентация зависят от значения параметров _0х и a_х. Как и в предыдущем случае (см. раздел 2.2) возможны шесть вариантов (таблица 5).

Общие закономерности, которые можно увидеть на графиках, таковы:

• ориентация ветвей параболы зависит от знака проекции ускорения: если а_х > 0, то ветви направлены вверх, если а_х < 0 - вниз;
• наклон графика при t = 0 зависит от знака _0х: при _0х > 0 наклон положительный (значения S_x вблизи точки t = 0 возрастают при увеличении t), при _0х < 0 наклон отрицательный (значения S_x вблизи точки t = 0 убывают при увеличении t).

Интуитивно понятно, что при изменении абсолютных значений _0х и a_х наклон ветвей параболы также будет изменяться. Позднее будет найдена количественная связь между этими параметрами.

В последней колонке таблицы 5 приведены рисунки, иллюстрирующие представленные графики. Рисунки выполнены для t = 0.

Вариант 1. Шарик из состояния покоя скатывается с наклонной плоскости. Ось х проведена так, что ее направление совпадает с направлением движения шарика, начало координат (для удобства) выбрано в месте старта.

Вариант 2. Ситуация аналогична варианту 1, но направление оси х изменено на противоположное.

Вариант 3. Как и в предыдущих случаях, шарик скатывается вниз по наклонной плоскости, но отсчет времени начинается не сразу, так что при t = 0 шарик уже имеет некоторую (начальную) скорость.

Вариант 4. Шарик пускают вверх по наклонной плоскости и начинают отсчет времени. Рисунок соответствует равнозамедленному движению - направления векторов скорости и ускорения противоположны. Обратите внимание, что ось х направлена вверх по наклонной плоскости.

Вариант 5. Отличается от 4-го варианта только направлением оси х.

Вариант 6. Аналогично варианту 3, но ось х направлена вверх по наклонной плоскости.

Нетрудно убедиться, что все графики можно получить, рассматривая различные фазы движения шарика, пущенного вверх по наклонной плоскости. Равнозамедленному движению вверх соответствуют графики 4 и 5, равноускоренному движению из состояния покоя (после остановки шарика в самом верхнем положении) - графики 1 и 2, равноускоренному движению при отличной от нуля начальной скорости - графики 3 и 6. При этом отличие вариантов 1, 3 и 5 от вариантов 2, 6 и 4 заключается лишь в отличии направления оси х.

Следует обратить внимание учащихся на то, как выбор системы отсчета влияет на вид графика и, соответственно, на формулы, описывающие одно и то же движение. Полезно обсудить с ними факторы, влияющие на рациональный выбор направления осей системы координат.

2. 4. График координаты

Зависимость координаты от времени при прямолинейном равнопеременном движении, как известно, выражается следующей формулой:

х = х₀ + _0хt + а_хt²/2.

От формулы перемещения это выражение отличается постоянным слагаемым х₀. Следовательно, как и в случае равномерного движения, график координаты будет сдвинут по отношению к графику перемещения на величину х₀ вверх или вниз в зависимости от знака х₀. Таким образом, из 6-ти вариантов графиков перемещения получается 12 вариантов графиков координаты. Один из вариантов представлен в таблице 6. Читателю предлагается, в качестве упражнения, нарисовать остальные графики и соответствующие им рисунки, взяв за основу таблицу 5.