Неравенства с параметром как основа для организации повторения свойств квадратичной функции и приемов решения иррациональных неравенств

Материал данной статьи может использоваться при организации факультативных занятий или элективного курса для учащихся девятых классов. Целью такого занятия является обобщение известных им свойств модуля квадратичной функции и её графика, а также равносильных переходов при решении иррациональных неравенств.

Включение параметра в условие задачи ставит учащихся перед необходимостью проводить сравнительный анализ поведения функций в зависимости от возможных значений параметра, составлять системы необходимых и достаточных условий для выполнения требований предложенного задания. Кроме того, умение находить и применять различные способы решения достаточно простой задачи, переформулировать условие задачи в иных терминах развивает навыки творческой работы при столкновении учеников с нестандартными заданиями.

Исходная задача. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство

3- | х-а| >х² имеет хотя бы одно отрицательное решение.

Данное неравенство будет иметь хотя бы одно отрицательное решение, если хотя бы одно решение имеет любая из систем неравенств I или II.

I: II:

Пусть f(x,a)=x² + x – a – 3 = (x+0.5)² -a-3.25,

g(x,a) = x² – x + a – 3 = (x-0.5)² + a - 3.25. Исследуем систему I. Так как она требует одновременного выполнения условий х >= а и х < 0, то при а >= 0 у неё нет решений. Предположим, что а < 0. Семейство парабол, определяемых функцией f(x;a), в системе координат Оху имеет вершину на прямой х = -0.5 и для того чтобы первое неравенство системы выполнялось, ордината вершины параболы должна быть отрицательной, откуда -а - 3.25 < 0, т.е. а > -3.25 (см. рис.1а). При этом условии неравенство (1) будет иметь отрицательные решения, однако, мы должны ещё добиться выполнения требования х >= а. Очевидно, что если а (-3.25;-0.5] , то в решениях (1) содержатся х >= а. При а (-0.5;0) для наличия решений у системы I мы должны потребовать выполнения необходимого и достаточного в этом случае условия f(a;a) < 0 . f(а;а) = а² - 3. Для всех а (-0.5;0) f(а;а) < 0 и, следовательно, реализуется ситуация, изображенная на рис.1б. Таким образом, система I будет иметь решения при а (-3.25;0).

Исследуем систему II. При а >= 0 она сводится к системеимеющей решения при g(0;а) < 0 (см. рис.2а).Так как g(0;а) = а-3, нас устраивают а [ 0;3). При а < 0 мы получаем систему условий Устраивающий нас случай соответствует рис.2б. Необходимым и достаточным условием для наличия решений этой системы является выполнение неравенства g(a;a) < 0;

g(a;a) = a² - 3, следовательно, Объединяя значения а, полученные при исследовании системы I и системы II, приходим к выводу, что условию исходной задачи удовлетворяют все а (-3.25;3).

2 способ. Использование координатной плоскости Оха.

Разрешим совокупность систем I и II, представленных ранее, относительно параметра а.

I II

Изобразим в координатной плоскости Оха множества точек, соответствующие решениям систем I и II, предварительно преобразовав первые неравенства систем к удобному для этой цели виду: a > (x+0.5)² - 3.25 и

a < -(x-0.5)² + 3.25.

Множеству точек, соответствующему решению системы I, принадлежат точки координатной плоскости Оха, лежащие выше параболы, задаваемой уравнением а = (х+0.5)² - 3.25, не выше прямой а = х и имеющие отрицательные абсциссы. Множеству точек, соответствующему решению системы II, принадлежат все точки координатной плоскости, лежащие ниже параболы а = -(х-0.5)² + 3.25, выше прямой а = х и имеющие отрицательные абсциссы. Объединение множеств точек, соответствующих решениям систем I и II , изображено на рис.3. Ординаты точек указанного множества образуют интервал (-3.25;3). Все значения а, принадлежащие данному интервалу, представляют множество решений исходной задачи. Ответ: -3.25 < a < 3.

3 способ. Привлечение решений иррациональных неравенств.

Значения а, при которых исходное неравенство имеет отрицательные решения, можно получить, исследуя совокупность систем I и II.

I:   II:

Решим квадратное относительно х неравенство (1). D = 4а + 13. При D <= 0 неравенство (1) решений не имеет. При D > 0, т.е. при а > -3.25 решениями неравенства будут все значения х из интервала (х₁;х₂), где

Поскольку х₁<0, среди решений неравенства будут отрицательные. Определим, при каких а среди отрицательных решений неравенства будут содержаться решения, удовлетворяющие условию х >= а. Очевидно, что при а >= 0, отрицательные значения х неравенству х >= а не удовлетворяют.

При а < 0 нас устраивает взаимное расположение интервала (х₁;х₂) и точки а на числовой оси, изображенное на рис. 4а,б,в, не устраивает - на рис. 4г.

Допустимые отрицательные значения а находим из совокупности условий:

Решаем совокупность неравенств:

Еще раз следует отметить необходимость соответствия условию D > 0, т.е. выполнение строгого неравенства а > -3.25, что позволяет правильно обозначить промежуток устраивающих систему

I значений параметра а: а (-3.25;0). Рассмотрим неравенство (2) системы II. D = 13-4а, при D <= 0 это неравенство решений не имеет. При D > 0, т.е. при а < 13/4, решением неравенства будет промежуток (х₃;х₄), где Этот промежуток содержит отрицательные значения, если х₃ < 0, т.е. при а < 3. При этом можно подчеркнуть, что Отрицательные значения х, удовлетворяющие неравенству х < а, существуют, если при выполнении условия а < 3 справедливо неравенство х₃ < а.

Учитывая одновременно условия а < 13/4( D > 0 ), a <3 (x₃ < 0 ), получаем, что система II имеет решения при Объединяя множества значений параметра а, полученные при решении систем I и II, имеем: условию задачи удовлетворяют все а (-3.25;3).

4 способ. Привлечение элементов графического метода.

Пусть f(x)=3 - x², g(x) = | x-a| . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x), исследуя их взаимное расположение в зависимости от значений параметра а (см. рис. 5).

II. Определим а₁ из условия: график функции y = g(x) проходит через точку с координатами (0;3);g(x) = a₁-x при x < a₁. 3 = a₁ - 0, a₁ = 3.

III. Прямая, касательная к квадратичной параболе, имеет с ней одну общую точку. а₂ определим из условия, что квадратное уравнение 3 - х² = х - а₂ имеет единственное решение. D = 4a+13, D = 0 при а₂ = -3.25. Итак, исходное неравенство имеет хотя бы одно отрицательное решение при -3.25 < a <3.

Решение задач с параметрами помогает ученикам приобретать еще в рамках среднего учебного заведения навыки исследовательской работы. Одной из ее особенностей является сочетание двух как дополняющих, так и в ряде случаев исключающих друг друга факторов: поиска общего метода решения задач определенного класса и использование в конкретной задаче наиболее простого, красивого и, возможно, искусственного приема решения.

5 способ. Использование схемы равносильного перехода при решении неравенств, содержащих модуль, с последующим сравнением нулей квадратичной функции.

Во многих случаях удобно воспользоваться равносильным преобразованием неравенства   Сначала рассмотрим громоздкое аналитическое решение, использующее данный прием.

Условие исходной задачи можно переформулировать теперь следующим образом: при каких значениях параметра а система неравенств (I) имеет хотя бы одно отрицательное решение. Область определения выражений в (I): -3.25 <= а <= 3.25.

Пусть В этих обозначениях система (I) принимает вид: Поиск отрицательных решений х требует совместного выполнения неравенств: x > x₁, x < x₂, x > x₃, x < 0, поскольку x₄ > 0 для всех значений а, при которых определен

Найдем, при каких а х₂ < 0.

Из двух условий: x < x₂ и x < 0 при a<-3 более строгим является требование x < x₂. Для наличия решений у системы необходимо выполнение условия х₃ < х₂, поскольку на области определения рассматриваемых выражений при а -3.25 х₁ < х₂. Определим, какие из значений а (-3.25;-3) удовлетворяют неравенству

х₃ < х₂. Данное неравенство легко решается методом возведения в квадрат Следовательно, при а (-3.25;-3) система неравенств (I) имеет отрицательные решения. Если х₂ >= 0, то для существования отрицательных решений у системы I должна быть совместна система неравенств х₁ < 0 для всех a [-3.25;3.25]. Отрицательные решения получившейся системы неравенств будут при х₃ < 0, т.е. при -3.25 <= a <3. Поскольку х₂ >= 0 при а >= -3, мы приходим к выводу, что при а [-3;3) система неравенств (I) также имеет отрицательные решения. Окончательно получаем ответ, совпадающий с уже полученным ранее четырьмя предыдущими способами, объединяя найденные промежутки (-3.25;-3) и [-3;3).

6 способ. Схема равносильного перехода с избавлением от модуля и свойства графиков квадратичной функции.

И, наконец, приходим к рассмотрению самого короткого и красивого способа решения исходной задачи.

Для выполнения условий задания у неравенств системы должно быть хотя бы одно совпадающее отрицательное решение. Ответ на вопрос задачи получаем, сравнивая взаимное расположение парабол, задаваемых функциями y = x² + x и y = x² – x, с соответствующими горизонтальными прямыми y = a + 3 и y = - a + 3. Так как абсцисса вершины первой параболы отрицательна (x₀ = -0.5, ветви параболы направлены вверх), то отрицательные решения у первого неравенства будут при a + 3 > y₀ = - 0.25, то есть при

a > -3.25. Нули другой квадратичной функции x₁ = 0, x₂ = 1, ветви соответствующей параболы направлены вверх. Отрицательные решения у второго неравенства получаются при –a + 3 > 0, то есть a < 3.

Графики двух функций y = x² + x и y = x² – x пересекаются в начале координат. Первое неравенство системы начинает иметь помимо отрицательных положительные решения при a > -3, при этом у второго неравенства уже есть отрицательные решения. При a = -3.25 x = - 0.5 - решение второго неравенства. Следовательно, при -3.25 < a <3 система неравенств имеет отрицательные решения.