Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала). Иррациональное неравенство вида  равносильно системе неравенств:

Иррациональное неравенство вида  равносильно совокупности двух систем неравенств:

 и

Решение иррациональных неравенств стандартного вида

а) Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: [1; 2).

б) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

Ответ:

в) Решить неравенство  

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: нет решений

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида

Например, данное неравенство равносильно системе неравенств. Рассмотрим более сложный вариант. Решим неравенство Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении

а) Решить неравенство  

Решение: Учитывая то, что  и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство (2x – 5)

Решение. Учитывая то, что  и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

Решение иррациональных неравенств способом группировки

Решить неравенство  

Решение.

,

сгруппируем по два слагаемых

вынесем общий множитель за скобку

 учитывая, что > 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:  ( 0; 1 )

Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности

Решить неравенство  

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

Решение иррациональных неравенств заменой

Решить неравенство  

Решение. Пусть  = t, тогда  = , t > 0

Сделаем обратную замену:

возведем в квадрат обе части неравенства

Ответ:

Решение иррациональных неравенств смешанного вида. Иррациональные показательные неравенства

а) Решить неравенство  

Решение.

,

 т.к. y = 0,8^t , то 0,5x(x – 3) < 2; 0,5x² – 1,5x – 2 < 0,

x² – 3x – 4 < 0, f(x) = x² – 3x – 4,

ОДЗ,

Нули функции: x1 = 4; x2 = – 1.

Ответ: х

б) Решить неравенство 4– 2 < 2– 32

Решение. 4– 2 < 2– 32, ОДЗ: x > 0

2– 2 2 < 2 2⁴ – 2⁵, выполним группировку слагаемых 2(2– 2) – 2⁴(2–2) < 0, (2– 2)   (2– 2⁴) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:

 или  

т.к. y = 2^t , то  т.к. y = 2^t , то

Æ

Ответ: х

Решение иррациональных логарифмических неравенств

Решить неравенство  

Решение. Уч. ОДЗ данное неравенство равносильно системе неравенств

Ответ:

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова
2. 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин
3. Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович
4. Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави.