Среди материалов для подготовки к единому государственному экзамену появились задания, которые вызывали лёгкое недоумение. Это задания примерно такого типа:
найдите значение выражения 3sin(arcctg).
Считаем, что это неудивительно, так как в традиционной школьной программе изучение обратных тригонометрических функций очень ограничено и нацелено только на те знания, которые необходимы для решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Всё это и заставило нас обратиться к дополнительной литературе. Мы обнаружили, что существуют различные подходы к решению подобных заданий. Нам они показались предельно чёткими и удивительно красивыми.

Способ первый

Решение.

Пусть arcctg = ,  тогда ctg = ,  0 < < .
Требуется вычислить 3sin .
Известно, что 1 + ctg² = ,    отсюда     .
На интервале (0; )sin > 0,  поэтому   sin = , т. е. .
В   итоге,    3sin (arcctg ) = 3 = 6.

Все значения обратных тригонометрических функций от положительных чисел – это острые углы, поэтому можно воспользоваться прямоугольным треугольником и теоремой Пифагора. Применим это к нашему заданию.

Способ второй

Решение.

Построим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2 (рис. 1).

Тогда arcctg –   это  угол треугольника, в котором прилежащий    катет   относится    к     противолежащему  как 1 : 2. По теореме Пифагора вычисляем гипотенузу. Она равна . Теперь находим значение синуса этого арккотангенса как  отношение противолежащего катета к гипотенузе:
.   Итак,  3sin(arcctg) = 3 = 6 .

      Рис.1

И вообще, если обозначить arcctg х = , тогда ctg = х. В прямоугольном треугольнике  (рис.2) можно принять катет, прилежащий к углу , равным х, а противолежащий – равным 1. По теореме Пифагора найдём гипотенузу. Она  равна . По определению синуса острого  угла  прямоугольного треугольника получим: ; т. е.

       Рис. 2                      = .

Применим эту формулу к нашему выражению:

3sin(arcctg) = 3·=3 = 6.

Аналогично можно получить значения любых тригонометрических функций от арккотангенса: cos(arcctg x ) =  ; tg(arcctg x ) = ; ctg(arcctgx) = x.
Используя  данный подход и рис. 3  можно вывести и такие формулы:

 =    

 =   
 = 
              Рис.3                       .  

  Используя рис.4  получим следующие формулы:

    
   =  , 
                     Рис.                     =  ,
                                                 .

В этом ключе  логичным и оригинальным представляется  решение следующего уравнения: arcsin(x – 1)  = arccos x          (1)

Решение:

По определению арксинуса ,  а  по определению  арккосинуса 0 < arccos x < . Значит, равные значения обе части уравнения (1) могут принимать на отрезке [0; ].   Возьмём синусы от обеих частей  этого уравнения: sin (arcsin(x – 1)) = sin(arccos x). Используя соответствующие формулы, перейдём  к уравнению х – 1=      (2)                                                     
Решим его:

х² – 2х + 1 = 1 – х²
2х² – 2х = 0
х₁ = 0,     х₂ = 1

Значение х₁ = 0 не удовлетворяет иррациональному  уравнению (2), а значение    х₂ = 1 удовлетворяет и уравнению (2), и уравнению (1). Таким образом, х = 1 – корень исходного уравнения (1).

Ответ: 1.

Мы рассмотрели только два задания, которые содержат обратные тригонометрические функции. Они, конечно, не отражают всего богатства материала по данной теме. Но мы надеемся, что знакомство с ними поможет рассеять то недоумение, которое они вызывают при первом взгляде.

Список литературы:

1. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена – М.: Айрис-пресс, 2007.
2. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала анализа , 10 класс, В 2 ч. Ч1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Титаренко А.М., Роганин А.Н. Математика: 500 тестов и задач: для выпускников и абитуриентов – М.: Эксмо, 2007.