Широкое использование функциональной линии в школьном курсе математики появилось не так давно, но вошло в круг основных вопросов математики достаточно быстро. Примером тому служит анализ КИМов государственного тестирования и ЕГЭ за последние годы. Появились совершенно новые типы задач, не входящие в действующие школьные учебники, при решении которых ученику необходимо практическое применение свойств функций, которые раньше заучивались лишь теоретически. Уравнения, решаемые методом мажорант, с использованием теорем о монотонности функций, которые еще пять лет назад считались "нестандартными", входят в ЕГЭ группы "В". Анализ выполнения заданий выпускниками показал, что наибольшие затруднения вызывают задания:

Уровня А: нахождение области определения сложной функции; чтение свойств функции по графику и распознавать графики элементарных функций; использование графика функции при решении неравенств; нахождение области определения сложной функции; решение неравенств с одной переменной на основе свойств функции.

Уровня В: применение геометрического смысла производной; использование свойств функции для решения задач; решение текстовых задач, составляя математическую модель предложенной в ней ситуации; исследование сложной функции элементарными методами.

Естественно, что вопрос методики изучения свойств функций при решении задач различных типов важен для каждого учителя. Работая в гимназических классах физико-математического и естественно-научного направления, я вводила способы решения таких задач в тематические лекции, занятия спецкурсов и факультативов. Расширение типов задач на применение свойств функций, включаемых в ЕГЭ, оставляет данную тему интересной и актуальной для меня. Цель данной работы: рассмотреть типы задач функциональной линии, встречающиеся в КИМах ЕГЭ, решаемые без применения производной; рассмотреть методику решения этих задач; привести примеры задач, которые можно использовать при подготовке учащихся к ЕГЭ.

Задания на распознавание графиков элементарных функций.

Задания данного типа проверяют базовый уровень и не вызывают затруднений у основной части выпускников.

Пример. На одном из рисунков изображен график функции .

Укажите этот рисунок.

1) 2)

3) 4)

Ответ: 2).

Область определения функции в задачах ЕГЭ.

Задания группы "А" проверяют знание учащимися области определения элементарных функций школьного курса алгебры и некоторых комбинаций с ними. Поэтому отработку навыка нахождения области определения таких функций целесообразно проводить:

• при изучении каждой новой функции, применяя новые знания, а также повторять ранее изученное, составляя комбинации простейших функций;
• при изучении простейших типов уравнений, неравенств (показательные, логарифмические, тригонометрические) вводить задания на нахождение области определения функции.

Пример 1. Найдите область определения функции .

Решение: так как логарифм определен только для положительных выражений, получим: 2х - х² > 0, х(х - 2) < 0, все х(0;2). Ответ: 1)

Пример 2. Найдите область определения функции .

1)

2)

3)

4)

Решение: так как знаменатель дроби не равен нулю, а подкоренное выражение корня четной степени неотрицательно, для нахождения области определения решаем систему

, , . Все х. Ответ: 3).

Пример 3. Найдите область определения функции .

1)	[2; +)	3)		(-; 2]
2)	(-; -2]	4)	(-; 2)

Решение: подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому для нахождения области определения функции надо решить неравенство

, , ; так как 0<<1, то 9-2х 5, х 2. Ответ: 1).

Пример 4.Укажите область определения функции .

1)

2)

3)

4)

Решение: подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому для нахождения области определения функции надо решить неравенство ;

, Ответ: 2).

Встречались задания аналогичного характера и в группе "В".

Пример 5. Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции .

Решение. Логарифмируемое выражение положительно, поэтому, . Полученное неравенство равносильно совокупности двух систем:

или ,

Целые числа, входящие в решение первой системы: 3, 4, 5; в решении второй системы целых чисел нет. Найдем сумму: 3 + 4 + 5 = 12. Ответ: 12.

Область значения функции в задачах ЕГЭ.

В заданиях ЕГЭ группы "А" задачи на нахождение области значения функции представлены в трех видах: определить область значения функции по данному графику; определить область значения функции, заданной аналитически; определить наибольшее или наименьшее значение функции, заданной аналитически.

Естественно, что отработка навыка нахождения области значений функции по графику проводится при изучении каждой новой функции, при изучении преобразований графиков функций (9-11 классы). В эти темы нужно включать задания, выполняемые не только по графику, но и с функциями, заданными аналитически.

Графическое задание функций.

1. Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.

1)
2)
3)
4)

Решение: так как область значения функции - это проекция графика на ось ординат, получим промежуток . Ответ: 3)

Аналитическое задание функций.

1. Укажите множество значений функции

1)

(5; )

2)

(0; )

3)

(- ; )

4)

(7; )

Решение: так как Е() = (0; ), то Е(+5) = (5; ). Ответ: 1)

2. Найдите множество значений функции .

1)

(2,5; + )

2)

( - ; 2,5)

3)

(- ; + )

4)

(0; + )

Решение: так как Е() = (- ; + ), то Е(2,5+) = (- ; + ). Ответ: 3)

Указать наибольшее или наименьшее значение функции, заданной аналитически.

Для успешного нахождения множества значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения, области значений и характер монотонности. Несложные задачи на нахождение множества значений функции в большинстве своем ориентированы: на использование простейших оценок и ограничений (, , , и т.д.); на выделение полного квадрата ; на преобразование тригонометрических выражений ; использование монотонности функции ( возрастает на R).

Более сложные задачи на нахождение множества значений функции рассчитаны на: последовательное нахождение значений сложных аргументов функции; метод оценок;

использование свойств непрерывности и монотонности функции; использование наибольшего и наименьшего значений функции; графический метод; метод введения параметра; метод обратной функции.

Пример 1. (группа А). Укажите наибольшее значение функции .

Решение: Анализируем изменения области значений функции: Е() = , Е( -) = , тогда Е( 1- ) =[0;2]. Значит, наибольшее значение данной функции равно 2. Ответ: 2).

Пример 2 (группа В). Укажите наибольшее целое значение функции .

Решение.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком корня: .

Оценим получившееся выражение: , . Значит, наибольшее значение данной функции достигается при значении подкоренного выражения 12, т.е. у_наиб=.Так как 5, то наибольшее целое значение функции равно 8.

Ответ: 8.

Пример 3 (группа В). Укажите наибольшее целое значение функции .

Решение. Найдем наибольшее значение функции g(t)=5^t, где t = .

Т.к. 5>1, то наибольшее значение показательной функции будет при наибольшем показателе. Преобразуем его: ., , . Наибольшее t = 4, наибольшее g = 5⁴.Значит, y_наиб.= 2 5⁴ =1250.

Ответ. 1250.

Пример 4 (группа С). Найдите наименьшее целое значение выражения .

Решение. Преобразуем основание степени:

= =

= = =

= = ==

=.

Исходное выражение равно .

Так как , то . Следовательно, наименьшее значение данного выражения, если оно существует, равно 3. Найдем, при каких значениях х значение полученного выражения равно трем. при , , .

При полученных значениях х исходное выражение не существует, т.к. знаменатель равен нулю. Значит, наименьшее значение выражения рано 4.

Ответ: 4.

Пример 5. Найдите область значений Е(у) функции .

Решение. Решим это задание методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию , и последовательно найдем множества значений ее сложных аргументов: Е(3^х) = (0; +), Е(3^х + 1) = (1; +), Е(- (3^х + 1)²) = (- ; - 1),

Е(5 - (3^х + 1)²) = (- ; 4). Обозначим t = 5 - (3^х + 1)², где t Є (- ; 4). Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции на луче (- ; 4). Так как функция определена лишь при t Є(0; +), то ее множество значений на луче (- ; 4) совпадает с множеством значений функции на интервале (0; 4), представляющем собой пересечение луча (- ; 4) с областью определения (0; +) логарифмической функции. На интервале (0; 4) эта функция непрерывна и убывает. При она стремится к , а при принимает значение -2, поэтому Е(у) = ( -2; ). Заметим, что для решения примера вовсе не требовалось находить предварительно область определения исходной функции, хотя в ходе решения примера обойти эту проблему полностью все же не удалось.

Пример 6. Найдите область значений функции у = . Решение. Решим этот пример методом оценок, суть которого состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценки. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у нее других значений. Из неравенств , получим оценку . При и функция принимает значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций и , функция у непрерывна на всей числовой оси. Поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств другие значения у нее невозможны. Следовательно, . Ответ. .

К нахождению множества значений функции сводятся многие задачи с параметром, связанные, в основном, с разрешимостью и числом решений уравнений и неравенств. Например, уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда . Аналогично, уравнение имеет хотя бы один корень, расположенный на некотором промежутке Х, или не имеет ни одного корня на этом промежутке тогда и только тогда, когда принадлежит или не принадлежит множеству значений функции на промежутке Х. Также исследуются с привлечением множества значений функции и неравенства , и т.д. В частности, для всех допустимых значений х, если .

Пример 8. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень на отрезке . Решение. Запишем уравнение в виде . Последнее уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке тогда и только тогда, когда принадлежит множеству значений функции на отрезке . Найдем это множество, используя свойство непрерывности и монотонности функции. На отрезке функция непрерывна, убывает и положительна, поэтому функция непрерывна и возрастает на этом отрезке, так как при делении на положительную функцию характер монотонности функции меняется на противоположный. Функция непрерывна и возрастает в своей области определения и, в частности, на отрезке , где она, кроме того, положительна. Тогда функция , как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций, также непрерывна и возрастает на отрезке , поэтому ее множество значений на есть отрезок . Следовательно, уравнение имеет решение на отрезке , причем единственное (по свойству непрерывной монотонной функции), при .

Ответ: .

Как уже отмечалось, разрешимость уравнения на некотором промежутке Х равносильна принадлежности значений параметра множеству значений функции на Х. Следовательно, множество значений функции на промежутке Х совпадает с множеством значений параметра , для которых уравнение имеет хотя бы один корень на промежутке Х. В частности, область значения функции совпадает с множеством значений параметра , для которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Пример 9. Найдите область значений функции .

Решение. Решим пример методом введения параметра, согласно которому совпадает с множеством значений параметра , для которых уравнение имеет хотя бы один корень.

При уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом при неизвестной , поэтому имеет решение. При уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант . Так как точка принадлежит отрезку , то искомым множеством значений параметра , значит, и областью значений будет весь отрезок. Ответ: .

Как непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно уравнение , считая у параметром. Если это уравнение имеет единственное решение , то область значений исходной функции совпадает с областью определения обратной функции . Если же уравнение имеет несколько решений и т.д., то равна объединению областей определения функций и т.д.

Пример 10. Найдите область значений функции .

Решение. Из уравнения найдем обратную функцию и ее область определения : > 0 . Так как уравнение относительно х имеет единственное решение, то . Ответ:

Умение находить наибольшее и наименьшее значение функций необходимо при решении уравнений и неравенств, еще несколько лет назад относившихся к нестандартным, а сейчас они входят в ЕГЭ (группы "В", "С").

Пример (В7, 2008 год). Решите уравнение .

Решение.

1)Рассмотрим левую часть уравнения: . Ее значения при любых значениях х больше либо равны 2.

2) Рассмотрим правую часть уравнения: .

Так как , то . Значит, . При любых значениях х правая часть уравнения меньше либо равна 2.

3) Равенство левой и правой частей возможно лишь в случае, когда обе части равны 2, т.е. Из первого уравнения системы получаем х = 0,4. Этот корень обращает второе уравнение в верное равенство. Ответ: 0,4.

В данной статье не рассмотрено применение таких свойств функции как монотонность, четность и периодичность. Задачи на эти свойства также включены в ЕГЭ, и с каждым годом появляются новые типы. Это материал для отдельной статьи.

Используемая литература.

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. "Алгебра и начала анализа", профильный уровень - учебники 10, 11 классы, "Мнемозина", 2007 год;
2. "Математика в школе", Сильвестров В.В. "Как найти множество значений функции" - №9, 2008 год;
3. Качагин В.В. "Тематические тренировочные задания" - "ЭКСМО", 2008 год;
4. Денищева Л.О., Рязановский А.Р. "Федеральный банк экзаменационных материалов", "ЭКСМО", 2008 год;
5. Качагин В.В. "ЕГЭ. Сборник заданий", "ЭКСМО", 2008 год;
6. Рязановский А.Р., Мирошин В.В. "Решение задач повышенной сложности", "Интеллект-центр", 2007 год;
7. Демонстрационные варианты КИМ ЕГЭ, 2004 - 2009 год - сайт ФИПИ;