Скачать презентацию (1.15 МБ)

Предметная область: алгебра и начала математического анализа. Межпредметная интеграция:

• Биология: механизмы распространения вирусных инфекций, понятие коллективного иммунитета.
• ОБЖ: алгоритм действий в условиях биологической опасности (ЧС), средства индивидуальной защиты.
• Информатика: компьютерное моделирование процессов (работа в графическом калькуляторе).

Целевая аудитория: обучающиеся 9–11 классов (уровень: базовый и профильный). Урок адаптируется под уровень математической подготовки класса.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний (с элементами проблемного обучения).

Вид занятия: интерактивная игра / кризисное моделирование.

Используемые педагогические технологии:

• Технология развития критического мышления (анализ достоверности данных, прогнозирование).
• ИКТ-технологии (визуализация математических моделей, работа в графическом калькуляторе GeoGebra).
• Геймификация: погружение в игровую легенду для повышения мотивации.
• Кейс-технология: решение практической ситуационной задачи («предотвращение эпидемии»).

Формы организации учебной деятельности:

• Фронтальная: постановка проблемы и выдвижение гипотез через анализ визуальных данных презентации.
• Групповая: мозговой штурм и командное моделирование сценариев спасения в GeoGebra.
• Индивидуальная: самостоятельный расчет параметров модели, проверка персональных гипотез и рефлексия.

Материально-техническое обеспечение:

• Мультимедийный комплекс (проектор, экран/интерактивная панель) для демонстрации презентации.
• Рабочее место учителя: ПК или ноутбук с устойчивым выходом в интернет для обеспечения бесшовного перехода между демонстрацией презентации и интерактивной средой.
• Смартфоны обучающихся (опционально, для считывания QR-кодов с моделью).

Продолжительность: 45 минут.

Пояснительная записка

Актуальность проекта: данный урок предлагает убедительный ответ на вечный вопрос подростков о практической пользе математики. Использование популярного сюжета глобальной эпидемии позволяет погрузить учеников в ситуацию, где точный расчет становится единственным инструментом выживания. Такой подход снимает психологический барьер перед сложными темами и наглядно доказывает, что победа над хаосом достигается не силой, а интеллектом.

Цель урока: продемонстрировать учащимся прикладную ценность математики в решении жизненно важных задач, научив их использовать различные методы моделирования (геометрическая прогрессия, анализ функций) для прогнозирования и предотвращения кризисных сценариев

Предметные результаты:

• Сформированность умения применять формулу n-го члена геометрической прогрессии (b_n = b₁ x q^n-1) и свойства показательной функции для математического моделирования реальных процессов (в частности, динамики распространения вируса).
• Навык интерпретации графических зависимостей на примере эпидемиологической модели SIR.
• Глубокое понимание природы экспоненциального роста и его принципиального отличия от линейных зависимостей, сформированное через анализ скорости протекания процессов лавинообразного характера.

Метапредметные результаты (УУД)

Познавательные УУД:

• Овладение приёмами знаково-символического моделирования: перевод условий реальной кризисной ситуации на язык математических формул и графиков.
• Умение выявлять причинно-следственные связи между вводимыми ограничениями и их математическим отражением, понимать, как конкретные меры защиты изменяют динамику заболеваемости.

Регулятивные УУД:

• Развитие навыков прогнозирования последствий принимаемых решений.
• Умение оперативно корректировать стратегию действий в условиях дефицита времени и изменения исходных данных.

Коммуникативные УУД:

• Формирование опыта продуктивного сотрудничества: умение согласовывать действия в группе, аргументированно отстаивать позицию и вырабатывать общее решение в учебной (игровой) ситуации.

Личностные результаты:

• Формирование активной гражданской позиции и личной ответственности за общественную безопасность.
• Развитие научного мировоззрения: осознание того, что соблюдение санитарно-гигиенических является не формальным требованием, а обоснованным способом сохранения жизни и здоровья в условиях биологической угрозы.

Сценарий урока

1. «Срочное включение» (5 минут)

Антураж: В классе приглушен свет. На экране — слайд с картой школы с красными мигающими зонами. Звучит сигнал тревоги (или напряженное музыкальное сопровождение).

Учитель: «Внимание на экран! Поступает экстренное сообщение. По сценарию наших учений, защитный периметр школы нарушен: в здание проник носитель неизвестного вируса. Школа заблокирована, связь с внешним миром ограничена. Инфекция передается при любом контакте и распространяется стремительно.

В кино в такие моменты герои хватаются за оружие или строят баррикады. Однако в реальности этого недостаточно: физическая сила защищает лишь тех, кто рядом. Нам нужны другие, более эффективные инструменты — точный математический расчет и понимание закономерностей распространения вируса.

С этой минуты вы — не просто класс, а оперативная группа Центра стратегического планирования. Ваша миссия — остановить цепную реакцию заражения и предотвратить катастрофу. Успеем ли мы остановить вирус до того, как ситуация станет необратимой?».

2. «Масштаб угрозы» (7 минут)

Цель этапа: наглядно показать экспоненциальный рост заражений и сопоставить его с математическими расчетами.

2.1. Интерактивная игра «Цепная реакция» (2 минуты)

Учитель: «Давайте смоделируем процесс распространения вируса в реальном времени, чтобы оценить масштаб угрозы. Мне понадобится доброволец на роль “нулевого пациента”. (Приглашает ученика к доске). По условию нашей игры каждый носитель заражает двоих здоровых людей».

День 0. Учитель: «Начало отсчета. Пока носитель один — это ты». (Ученик стоит один).

День 1. Учитель: «Прошли первые сутки. Выбери двоих одноклассников, кому передашь вирус». (Ученик выбирает, двое встают). Цепочка запущена. Вы инфицированы, прошу вас встать. Теперь в классе уже трое носителей».

День 2. Учитель: «Вторые сутки наступили. Теперь каждый из вас троих выбирает по две новые “мишени”». (Трое указывают на новых учеников, встают еще 6 человек. Итого стоят 9). Учитель: «Обратите внимание на скорость распространения вируса: количество зараженных стремительно растет, их уже девять».

День 3. Учитель: «Третий день. Каждый из стоящих вовлекает в процесс еще двоих...» (Встает большая часть класса).

Учитель: «Остановим моделирование. Прошло всего три условных дня, а заражение охватило большую часть класса, не встретив никакого сопротивления». (Жест рукой: «Спасибо, присаживайтесь»).

2.2. Проверка интуиции «Ставка на время» (1 минута)

Учитель: «Экспоненциальный рост легко недооценить: сначала изменения кажутся небольшими, поэтому интуитивные прогнозы часто бывают слишком оптимистичными. В нашей школе учится и работает 500 человек. Как вы думаете, за сколько при таком темпе распространения вируса заразится вся школа? Месяц? Две недели? Десять дней?» (Учитель фиксирует визуально, что большинство называет оптимистичные сроки).

2.3. Математическое объяснение (4 минуты)

Учитель: «Гипотезы — это хорошо, но стратегия строится на точных данных. На слайде представлена таблица «Распространение вируса». Рассмотрим ее, чтобы отследить ситуацию в динамике».

Таблица 1. Динамика распространения вируса

Учитель: «Проанализируйте этот ряд чисел. Какую закономерность вы наблюдаете? Что происходит с количеством зараженных каждый новый день?»

Ученики: «Количество умножается на 3».

Учитель: «Совершенно верно. Перед нами классический пример геометрической прогрессии. Напомните, как выглядит формула ее n-го члена?» (Ученики называют: b_n = b₁ x q^n-1).

Учитель: «В нашем случае первый член прогрессии — один «нулевой пациент», то есть N(0) = 1. Каждый следующий день число носителей утраивается, поэтому знаменатель прогрессии q = 3. Поскольку мы ведем отсчет с момента вторжения вируса, «дня 0», зависимость удобно записать сразу через время t:

N(t) = 3^t

Это показательная функция: переменная t стоит в показателе степени, а основание 3 остается постоянным. Каждый день число носителей N утраивается, что видно из отношения:

Для наглядности построим график N(t) = 3^t по значениям из таблицы.

На нем хорошо заметен «эффект клюшки»: сначала кривая поднимается медленно, а затем совершает резкий вертикальный рывок. Именно поэтому показательный рост легко недооценить: в начале изменения кажутся небольшими, но затем ситуация меняется очень быстро. Теперь, используя выведенную нами формулу, продолжите заполнение таблицы и вычислите, на какой день вирус охватит всю школу? (Ученики выполняют вычисления, последовательно возводя тройку в степень, пока число заразившихся не станет больше общего количества людей в школе).

Ученики: «На четвертый день заразится 3⁴ = 81 человека, на пятый — 3⁵ = 243, практически половина школы. А уже на шестой день число зараженных превысит количество всех учеников и учителей: 3⁶ = 729».

Учитель: «Вы абсолютно правы. При неизменном темпе заражения счет идет на считанные дни: уже на шестые сутки вирус охватит всю школу. Теперь важно понять, какие меры снизят скорость передачи инфекции и приведут к затуханию эпидемии».

3. «Поиск решения» (15 минут)

Цель этапа: показать, какие действия меняют ход эпидемии и при каких условиях рост числа инфицированных прекращается.

Учитель: «Мы увидели, как быстро может разрастаться цепочка заражений. Чтобы понять, как ее остановить, воспользуемся моделью SIR, которая описывает переходы между тремя состояниями:

• S (Susceptible — восприимчивые) — здоровые люди, еще не заразившиеся вирусом, но способные заболеть.
• I (Infected — инфицированные) — носители вируса, способные передавать инфекцию восприимчивым.
• R (Recovered — выздоровевшие) — переболевшие и вакцинированные, не способные снова заразиться или распространять вирус.

Рост числа инфицированных I может со временем замедлиться сам: доля восприимчивых S уменьшается, и у вируса становится меньше возможности для передачи. Однако такой сценарий означает, что до этого успеют заболеть очень многие. Это может привести к серьёзным последствиям для здоровья и длительному восстановлению. Поэтому наша цель — добиться снижения I как можно раньше. Для этого необходимо уменьшить долю восприимчивых S и увеличить долю защищённых R так, чтобы как можно больше людей заранее оказалось в безопасной группе».

Интерактивная игра: «Нейтрализация угрозы»

Учитель: «Предложите меры, которые помогут снизить число новых заражений, — и мы проверим их на практике». (Организуется обсуждение: класс выдвигает различные идеи, для проверки выбираются две основных стратегии).

Учитель: «Мы попробуем две стратегии и посмотрим, как они меняют ход эпидемии. Первая стратегия — вакцинация, или иммунный барьер. Несколько учеников получают “иммунитет”: в игре они используют учебники как “щиты” и не заражаются. Это увеличивает число защищённых R и уменьшает число восприимчивых S. Носителям I становится сложнее находить тех, кого можно заразить, поэтому цепочка передачи быстрее обрывается.

Вторая стратегия — безопасное поведение. Дистанция и средства защиты (маски, антисептики) не переводят людей в группу R, но делают заражение менее вероятным. В игре вы увеличиваете расстояние и прекращаете хаотичное перемещение — и носителям I реже удаётся передать вирус восприимчивым S. Рост числа инфицированных замедляется.

Обратите внимание: обе стратегии работают на одну цель — уменьшить приток новых людей в группу I. В одном случае мы сокращаем число восприимчивых S, в другом — снижаем вероятность передачи. На графике это проявляется как переход от резкого роста к плато и последующему снижению кривой I. Чтобы проследить эту закономерность подробнее, перейдем к интерактивной модели SIR: изменяя коэффициент β, будем наблюдаем, как меняется динамика S, I и R».

4. Интерактивная лаборатория в GeoGebra (12 минут)

Цель этапа: показать на интерактивной модели, как изменение условий влияет на ход эпидемии и позволяет остановить рост числа инфицированных.
(На слайде — QR-код. Учащиеся сканируют его и открывают подготовленную модель SIR в графическом калькуляторе GeoGebra).

Учитель: «В ходе игры «Нейтрализация угрозы» мы протестировали две стратегии защиты от вируса: вакцинация и безопасное поведение. Теперь давайте перенесем наш опыт в цифровую среду. В интерактивной модели этим стратегиям соответствуют два параметра.

Первый — это параметр v (vaccination —вакцинация). Он определяет долю защищенных в начальный момент (t = 0). Чем выше значение v, тем больше людей сразу попадают в группу R, и тем меньше остается уязвимых в группе S.

Второй — параметр β. Это коэффициент передачи инфекции. Он показывает, насколько агрессивно вирус распространяется внутри коллектива. Социальная дистанция и средства защиты, которые мы использовали в игре, математически означают снижение именно этого коэффициента».

4.1. Исследование иммунного барьера v (4 минуты)

Учитель: «Начнем с проверки силы коллективного иммунитета. Для чистоты эксперимента установите ползунок β на одном уровне для всех групп. Ваша задача — проследить, как меняется высота и форма кривой заболеваемости I при изменении доли вакцинированных.

Работаем в парах: один управляет параметром v, второй анализирует график. Постарайтесь ответить на два вопроса:

• При каком значении v пик эпидемии становится существенно ниже?
• Существует ли такое значение v,при котором рост числа заболевших не начинается вовсе, а график сразу уходит вниз?»

(Учащиеся проводят симуляцию, наблюдая за изменением графиков).
Ученики (вывод): «Мы видим четкую зависимость: чем выше уровень вакцинации v, тем ниже вершина графика. Если этот параметр достаточно высок, то вспышка заболеваемости угасает, даже не начавшись».

4.2. Исследование коэффициента передачи β (8 минут)

Учитель: «Теперь зафиксируем уровень иммунитета и перейдем ко второму инструменту управления — коэффициенту β. Вы будете менять условия среды и наблюдать за динамикой всех трех групп: S, I и R.

Разделимся на три команды, каждая моделирует свой сценарий:

• 1-я команда моделирует бесконтрольное распространение вируса. Найдите высокое значение β, при котором наблюдается взрывной рост числа инфицированных.
• 2-я команда исследует эффект «сглаживания кривой». Подберите такое значение β, при котором резкий пик кривой I исчезает, превращаясь в пологий холм. Ваша цель — увидеть, как эпидемия растягивается по времени, теряя свою взрывную силу.
• 3-я команда моделирует жесткий карантин. Найдите минимальное β, при котором вирус подавляется в самом начале и число больных сразу снижается».

(Команды фиксируют значения параметров и визуальную форму графиков).

Учитель: «Давайте обсудим результаты. Как снижение интенсивности контактов меняет эпидемиологическую картину?»

Ученики (вывод): «При уменьшении β рост заболеваемости замедляется: пик становится ниже и смещается вправо по временной шкале, что дает выигрыш во времени».

Учитель: «Игра и компьютерная модель показывают одно и то же: эпидемию можно остановить двумя способами. Первый — увеличить число защищённых людей R, чтобы уменьшить долю восприимчивых S. Второй — снизить вероятность заражения при общении и сократить число потенциально опасных контактов, тем самым уменьшая коэффициент β. На графике результат одинаков: рост числа инфицированных I прекращается, кривая достигает максимума и затем идёт вниз. Это и есть момент перехода от стихийного процесса к управляемому».

5. Подведение итогов и рефлексия (6 минут)

Цель этапа: обобщение полученных знаний, формирование вывода о практической значимости математического моделирования и роли цифровых инструментов в прогнозировании сложных процессов.

Учитель: «Наш урок подошел к концу. Сегодня мы прошли путь от хаотичной игры до построения строгой научной модели на экране компьютера. Давайте подытожим, что же нам удалось выяснить». (На экране появляется итоговый слайд. Учитель комментирует ключевые выводы, обращаясь к классу).

5.1. Анализ результатов (Методический вывод)

Учитель: «Мы убедились, что математика — это универсальный язык, способный описать даже такие непредсказуемые явления, как эпидемия. Игра «Цепная реакция» показал нам коварство экспоненциального роста: то, что начинается незаметно, способно мгновенно выйти из-под контроля. Игра «Нейтрализация угрозы» и работа в цифровой лаборатории доказали обратное: зная параметры системы (коэффициенты v и β), мы можем управлять ситуацией, превращая катастрофический взлет в управляемое плато».

5.2. Домашнее задание

Учитель: «На уроке мы изучили, как параметры работают в стабильных условиях. Теперь я предлагаю вам провести небольшое исследование и проверить систему на прочность.

Представьте, что вирус мутировал и его способность передаваться от человека к человеку удвоилась. В вашей модели GeoGebra увеличьте коэффициент передачи β ровно в два раза. Ваша задача:

• Оценить визуальные изменения графика: насколько выше стал пик заболеваемости при росте контагиозности вируса?
• Найти новое значение иммунного барьера v, которое позволит компенсировать эту мутацию и вернуть кривую к спаду.
• Проанализировать, на сколько процентов нужно усилить защиту, чтобы нейтрализовать двукратный рост интенсивности заражения?

Скриншот вашего решения и короткий вывод (одно предложение) пришлите в наш чат класса. Это задание поможет нам понять, почему при появлении новых штаммов вируса ученые заново пересчитывают все стратегии безопасности».

5.3. Роль технологий

Учитель: «Использование цифровой модели в GeoGebra позволило нам сделать то, что невозможно в реальности: за несколько минут проиграть сотни сценариев будущего. Мы увидели, как малейшее изменение дистанции или процента вакцинации кардинально меняет судьбу всей популяции. Это наглядно демонстрирует, как компьютерное моделирование помогает человечеству принимать взвешенные решения в условиях неопределенности».

5.4. Финальное слово (Мотивация)

Учитель: «Сегодня вы увидели, что за сухими формулами и графиками скрывается реальная жизнь. Математика дает нам своего рода суперсилу — способность предсказывать последствия наших действий.

Там, где интуиция пасует перед страхом или неопределенностью, математическая модель дает четкий план. Используйте этот инструмент, чтобы не просто наблюдать за изменениями в мире, а понимать их причины и управлять ими. Спасибо за вашу активную работу, урок окончен!»

Промпт

• Сделай интерактивную, яркую, современную, стилизованную презентацию для урока математики у старших классов на тему «Математическое моделирование эпидемий», выступив в роли учителя-методиста.
• Урок должен проходить в формате интерактивной игры «кризисное моделирование».
• Начни с тревожного вступления и демонстрации экспоненциального роста через игру «Цепная реакция» (геометрическая прогрессия), затем переходи к теории модели SIR (группы S, I, R) и обсуждению стратегий защиты в ходе игры «Нейтрализация угрозы».
• Основную часть посвяти работе в цифровой среде GeoGebra, где ученики исследуют влияние иммунного барьера v и коэффициента передачи инфекции β на график заболеваемости, пытаясь «сгладить кривую» заражений.
• Заверши презентацию рефлексией с домашним заданием на анализ мутации вируса.