Цели:

• Познавательная - рассмотреть понятия разложения многочлена на множители и вынесения общего множителя за скобки, научить применять эти понятия при выполнении упражнений.
• Развивающая - развитие мышления, речи, памяти, умение выделить главное, оценивать значения.
• Воспитывающая - воспитание общей культуры, активности, самостоятельности, умение общаться.

План урока:

1. Организационный момент;
2. Проверка домашнего задания
3. Актуализация опорных знаний
4. Постановка цели урока;
5. Объяснение новой темы
6. Закрепление новой темы;
7. Самостоятельная работа;
8. Подведение итогов урока.

Ход урока:

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Учитель: Давайте вспомним, что мы изучили на прошлом уроке?
Ученики: Умножение одночлена на многочлен.
Учитель: Кто напомнит нам правило умножения одночлена на многочлен?
Ученики: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить это одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Учитель: Тогда проверим, как вы справились с домашним заданием.
{на экране номера с домашним заданием 628 (а), 631 (в, г), 636(а), 643}

Презентация

III. Актуализация опорных знаний

Учитель: Хорошо, правило вы помните, тогда проверим, как вы устно считаете. Выполнить умножение одночлена на многочлен, т.е. раскрыть скобки:

2х(х² + 4ху - 3) = 2х³ + 8х²у - 6х
3(a + b + c) = 3a + 3b + 3c

Учитель: Молодцы, отлично справились, а какое свойство вы использовали?
Ученики: Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
Учитель: Запишем на доске формулу: { a(b + c) = ab + ac }
А теперь скажите, что получилось в результате умножения одночлена на многочлен в каждом из примеров?
Ученики: Многочлен.
Учитель: То есть, выполнив умножение, мы получили многочлен. Значит, представили произведение в виде многочлена. А сегодня на уроке мы научимся представлять многочлен в виде произведения одночлена и многочлена, то есть раскладывать многочлен на множители. Для этого выполним устно следующее задание. Преобразовать выражение.

23a + 37a = (23 + 37)a = 60a
32a + a = (32 + 1)a = 33a

Учитель: Как вы рассуждали при выполнении этих заданий?
Ученики: Приводили подобные слагаемые, а коэффициенты складывали.
Учитель: почему эти слагаемые или одночлены подобны?
Ученики: Потому что имеют одинаковую буквенную часть «a».
Учитель: Значит, если подробно, то выполняем следующее: {записываю напротив примера} .
Учитель: буква «a» является общим множителем?
Ученики: да.
Учитель: так какое свойство использовали?
Ученики: распределительное свойство умножения, только наоборот.
Учитель: Таким образом, мы представили многочлен в виде произведения с помощью вынесения общего множителя за скобки.
Записываем тему урока: «Вынесение общего множителя за скобки».

IV. Постановка цели урока

Сегодня на уроке мы рассмотрим понятия разложение многочлена на множители и вынесение общего множителя за скобки, сформулируем алгоритм вынесения общего множителя за скобки, научимся применять эти понятия при выполнении упражнений.

V. Объяснение новой темы

Учитель: При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или более многочленов называют разложением многочлена на множители. Оказывается, что разложение на множители выражения - это операция, обратная почленному умножению одночлена на многочлен. Рассмотрим тот же самый пример, который решали, но в обратном порядке. Разложить на множители - значит вынести за скобки общий множитель.

2х³ + 8х²у - 6х = 2х (х² + 4ху - 3).

Я приведу пример вынесения множителя за скобки в русском языке. В выражении "Взять книгу, взять ручку, взять тетрадь" функцию общего множителя выполняет глагол "взять", а книга, тетрадь и ручка - это дополнения.
Это же выражение можно сказать по-другому "взять книгу, тетрадь и ручку". Это то же самое, что 3а + 3в + 3с = 3 (а + в + с).
Найти общий множитель (задание на экране)
Рассмотрим многочлен 15x²y + 20y²x. каждый его член можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых равен 5xy:

15x²y + 20y²x = 5xy3x + 5xy4y.

Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей:

5xy3x + 5xy4y = 5xy(3x + 4y ).

Итак: 15x²y + 20y²x = 5xy(3x + 4y).

Пример 1: Разложите на множители многочлен 5c(y - 2c) + y²(y - 2c)

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель (y - 2c), который можно вынести за скобки. Итак, получим: 5c(y - 2c) + y²(y - 2c) = (y - 2c)(5c + y²).
Выражения (x-y) и (y-x) являются противоположными, поэтому в некоторых случаях можно пользоваться данным равенством x - y = - (y - x).

Пример 2: Разложите на множители многочлен a(c - b) + c²(b - c)

Здесь присутствуют противоположные выражения (c-b) и (b-c), воспользовавшись предыдущим тождеством, мы получим следующую запись:

a(c - b) + c²(b - c) = a(c - b) - c²(c - b)

А теперь мы видим, что общий множитель можно вынести за скобки:

a(c - b) + c²(b - c) = a(c - b) - c²(c - b) = (c - b)(a - c²).

VI. Закрепление новой темы

Пример 3. Разложить на множители многочлен: 5a³ + 25ab - 30a².

Решение. Вынесем общий множитель всех членов многочлена за скобки. Это одночлен 5а, потому что на 5а делится каждый из членов данного многочлена. Итак, 5а мы запишем перед скобками, а в скобках запишем частные от деления каждого одночлена на 5а.
5a³ + 25ab - 30a² = 5a(a² + 5b - 6a). Проверяем себя: если мы умножим 5а на многочлен в скобках a² + 5b - 6a, то получим данный многочлен 5a³ + 25ab - 30a².

Пример 4. Вынесите общий множитель за скобки: (x + 2y)² - 4(x + 2y).

Решение.(x + 2y)² - 4(x + 2y) = (x + 2y)(x + 2y - 4).

Общим множителем здесь является двучлен (х + 2у). Мы вынесли его за скобки, а в скобках записали частные от деления данных членов (x + 2y)² и - 4(x + 2y) на их общий делитель (х + 2у). В результате мы представили данный многочлен в виде произведения двух многочленов (x + 2y) и (x + 2y - 4), другими словами, мы разложили многочлен (x + 2y)² - 4(x + 2y) на множители.

Ответ: (x + 2y)(x + 2y - 4).

Замечание. Иногда мы должны выносить за скобки дробный множитель, это делается из за того, что иногда нам приходится работать с дробями т.к. других чисел просто нету. Например:

2,4x + 7,2y = 2,4(x + 3y)
3a/7 - 6b/7 + 9c/7 = (3/7)(a -2b + 3c).

Сформулируем алгоритм вынесения общего множителя за скобки:

1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, он и будет общим числовым множителем;
2. Найти общую буквенную часть для всех членов многочлена (выбрать наименьший показатель степени);
3. Произведение коэффициента и общей буквенной части, найденных на первом и втором шагах, является общим множителем, который выносим за скобки;
4. Делим каждый член многочлена на вынесенный множитель и полученный результат записываем в скобках.

Важно! В скобках должно быть столько одночленов, сколько их было в многочлене.
Преобразовать многочлен (задание на экране).

VII. Самостоятельная работа

1 вариант 2 вариант

1. 6x + 6y = 6(x + y) 1. 8a + 8b = 8(a + b)
2. 3xy - x²y² = xy(3 - xy) 2. 4xy + x³y³ = xy(4 + x²y²)
3. 3a - 9ab = 3a(1 + 3b) 3. 36by - 6b = 6b(6y - 1)
4. abc - a²b²c² = abc(1 - abc) 4. x²y²z² + xyz = xyz(xyz + 1)
5. x² - x = x(x - 1) 5. a² + a = a(a + 1)
6. 3ab - 6b = 3b(a - 2) 6. 7bc -14c = 7c(b - 2)

Проверьте, правильно ли выполнено разложение на множители?

1. 5a - 5b = 5(a + b);
2. 3a²b - 2b = b(3a² - 2);
3. 2n + 6n² - 4 = 2(n + 3n² - 2);
4. 9x + 27xy = 9(x + 3yx);
5. ab + a = a(b + a);
6. 8mn - 4m² = 4m(2n - m²);
7. 5x² - x = x(5x - 1);
8. x - 3x² = x(1 - 3x²).

VIII. Подведение итогов урока

(Систематизация новых знаний с помощью метода незаконченных предложений)

Продолжите фразу:

- Cегодня на уроке мы изучали тему… (вынесение общего множителя за скобки);
- Одним из способов разложения многочлена на множители является… (вынесение общего множителя за скобки);
- При вынесении общего множителя за скобки применяется… (распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания);
- Если все члены многочлена содержат общий множитель, то…(этот множитель можно вынести за скобки);
- Мы составили алгоритм… (вынесения общего множителя за скобки)

{вспоминаем алгоритм}

Важно! После вынесения общего множителя за скобки, в скобках должно остаться столько слагаемых, сколько их было в данном многочлене.

Выставление оценок.

Домашнее задание: П. 28 № 656, 659, 666,670.

Приложения

• pril.pptx ()