«Открытый урок»
Умарова Тамара Николаевна
13.03.2006

Графический способ решения уравнений

Завершая изучение курса алгебры, необходимо ещё раз остановиться на общих подходах к решению уравнений - это будет и подведением итогов, и хорошей подготовкой к предстоящим экзаменам.

Здесь мы остановимся на функционально-графическом методе решения уравнений. Этот метод замечательно прорабатывается в УМК А.Г.Мордковича "Алгебра и начала анализа", в котором именно функционально-графическая линия выбрана в качестве приоритетной из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры.

Данный метод помогает найти точное или приближённое значения корней, позволяет найти количество корней уравнения. При построении графиков и решении уравнений мы используем свойства функций, поэтому метод и называется функционально-графическим.

В данном случае мы рассматриваем только решении уравнений, хотя с помощью данного метода могут решаться и системы уравнений, и неравенства, и системы неравенств.

Для решения уравнений "делим" его на две части, вводим две функции, строим их графики, используя свойства функций, находим координаты точек пересечения этих графиков - абсциссы этих точек и есть корни нашего уравнения. В процессе решения уравнений повторяются и свойства различных функций.

Приведённые ниже уравнения можно использовать для работы в классе, для домашних заданий, для самоподготовки и т.д.

Уравнения, решаемые функционально-графическим методом

1. Решение уравнений P(x) = 0, где Р(х) - многочлен, степень которого больше 2

Уравнение

Функции

Ответ

х3 + х - 10 = 0

f(x) = х3,
g(x) = 10 - х

2

х5 + х - 34 = 0

f(x) = х5,
g(x) = 34 - х

2

х4 + 5х - 6 = 0

f(x) = х4,
g(x) = -5х + 6.

- 2; 1

х3 + 3х2 = (х + 2)6 + 4

f(x) = х3 + 3х2,
g(x) = (х + 2)6 + 4.

- 2

2. Решение уравнений с квадратным корнем

Уравнение

Функции

Ответ

- 2х = 0

f(x) =,
g(x) = 2х.

1

- х + 1 = 0

f(x) =,
g(x) = х - 1.

3

4 -= х

f(x) = -,
g(x) = х - 4.

2

3 -- 3х = 0

f(x) = -
g(x) = 3х - 3

1

3. Решение уравнений с модулем

Уравнение

Функции

Ответ

| х + 2 | + х = 0

f(x) = | х + 2 |,
g(x) = - х.

- 1

| х - 3 | - х + 1 = 0

f(x) = | х - 3 |,
g(x) = х - 1.

2

х2 - | х | = 0

f(x) = х2,
g(x) = | х |.

- 1; 0; 1

х2 - 2 + | х | = 0

f(x) = х2 - 2,
g(x) = - | х |.

- 1; 1

х2 - 2х + | х - 2 | = 0

f(x) = х2 - 2х,
g(x) = - | х - 2 |.

1; 2

х2 + 2х + | х + 4 | = 0

f(x) =(х2 + 4х),
g(x) = - | х + 4 |.

- 4; - 2

| х | - = 0

f(x) = | х |,
g(x) = .

1

| х | + = 0

f(x) = | х |,
g(x) = - .

- 2

4. Решение уравнений с тригонометрическими функциями

Уравнение

Функции

Ответ

sin х - х + p = 0

f(x) = sin х,
g(x) = х - p.

sin х - + 1 = 0

f(x) = sin x,
g(x) =- 1

sin х - (х - )2 - 1 = 0

f(x) = sin х,
g(x) = (х -)2 + 1

sin х + (х - )2 + 1 = 0

f(x) = sin х,
g(x) = - (х -)2 - 1

sin х - | х -| - 1 = 0

f(x) = sin x,
g(x) = | x -| + 1

sin х - | х +| + 1= 0

f(x) = sin х,
g(x) = | х + | - 1

-

sin х += 0

f(x) = sin х,
g(x) = -

0

sin х - =0

f(x) = sin х,
g(x) = -

cos х - х - 1 = 0

f(x) = cos х,
g(x) = х + 1

0

cos х - х + = 0

f(x) = cos х,
g(x) = x -

cos х - х2 - 1 = 0

f(x) = cos х,
g(x) = х2 + 1

0

cos х + (х - p )2 + 1 = 0

f(x) = cos х,
g(x) = - (х - p )2 - 1

cos х + | х | -1 = 0

f(x) = cos х,
g(x) = - | х | + 1

0

cos х -= 0

f(x) = cos х,
g(x) =

5. Решение уравнений с показательной и логарифмической функциями

Уравнение

Функции

Ответ

3х + х - 4 = 0

f(x) = 3х,
g(x) = 4 - х

1

3х - - 2 = 0

f(x) = 3х,
g(x) = + 2

1

3х - = 0

f(x) = 3х,
g(x) =

1

log2х + х - 3 = 0

f(x) = log2х,
g(x) = 3 - х

2

log3х + х - 1 = 0

f(x) = log3х,
g(x) = 1- х

1

log2х - = 0

f(x) = log2х,
g(x) =

2

log2х - (х - 1)2 = 0

f(x) = log2х,
g(x) = (х - 1)2.

1; 2

Надеюсь, подборка пригодится учителям в их работе.