Цели:

• продолжить формировать у учащихся умение решать уравнения,
• развивать мышление посредством постановки проблемы,
• развивать умение проводить аналогии при решении уравнений;
• продолжить развивать навык аргументировано отстаивать свои знания,
• развивать ключевые компетенции: ценностно-смысловую, коммуникативную, общекультурную и учебно-познавательную.

План урока:

I. Организационный момент
II.  Вступительное слово
III. Тестирование
IV. Классификация видов и методов решения уравнений
V. Решение уравнений (самостоятельная работа)
VI. Софизм
VII. Итог урока
VIII. Домашнее задание

Приложение: Презентация

ХОД УРОКА

«О сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух…»

II.  Эти слова принадлежать перу гениального поэта, прозаика, драматурга. Давайте и мы будем следовать словам А. С. Пушкина. Пусть каждый урок будет для вас открытием чего-то нового, интересного, неизведанного.
Сегодня  мне хотелось бы вас пригласить в замечательный мир математики – в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.
Мы продолжаем повторять один из фундаментальных разделов алгебры – уравнения.
У каждого из вас своя планка, кому-то для успешной сдачи экзамена достаточно решать правильно линейные и квадратные уравнения, кому-то интереснее изучать уравнения сложного вида, знать их методы, поэтому, сегодня постараюсь исполнить желания всех.

III. Итак, начнем с выполнения работы, состоящей из 8 заданий – 6 из них взяты из I части ГИА предыдущих лет. – Презентация

1. Укажите корень уравнения 3х⁴ – 4х + 1 = 0

1)  1           2)   2            3)  – 1              4)  0

2. Найдите степень уравнения  3х² –  х⁴ + 1 = х⁵

1) 5          2)    2            3)  3               4)  4

3. Решите уравнение:  (х – 3)(х + 3) – х(х – 2) = 3            С обратной стороны записан текст

1)  – 6          2)    3            3)  6;  –  6           4)  6                     и ученик решает на боковой доске

4. Найдите сумму квадратов корней уравнения:

х³ – 25х = 0
х(х² – 25) = 0
х = 0    х = ±5

5. Сколько корней имеет уравнение: х⁵ = 3 – х

 1) 1          2)    2            3)  3            4)  0

6. Решите уравнение:  х⁴ – 3х² – 4 = 0 на доске

х² = t ;  t = 0
t² – 3t – 4 = 0
t₁ =   – 1,      посторонний корень
t₂ = 4
х² = 4
х = ±2

7. Для каждого уравнения из верхней строки укажите множество его корней в нижней строке:

1)    = 0         2)     = 0                      3)    = 0

а) х = 2            б)    х = 3               в)  х₁ = 2; х₂ = 3  

8. Расстояние S в метрах, которое пролетает за t сек при свободном падении, можно приближенно вычислить по формуле S = 5t2 . За какое время камень, упавший с высоты 80 м, достигнет земли? Слайды 1-5, затем стоп

Ответ: 4 сек

Решим физическую задачу, показывающую, что рациональное уравнение могут служить математическими моделями реальных ситуаций.
Вывод:  еще есть ошибки, будем стараться исправлять их.

IV. А сейчас, внимание на доску. Записаны 10 уравнений. «Хаос», постараемся навести порядок.
Классифицируем по видам:

1) 4х³ – х² = 0

• Линейные                                                           2) (5х – 1)² – (5х – 1) – 2 = 0
• Квадратные                                                        3) (х² + 1)² + х² – 11 = 0?
• Высших степеней                                               4) 16х³ – 32х² – х + 2 = 0

– Какие вы знаете методы решения?                          5) 3(1 – х) + 2 = 5 – 3х
                                                                                       6) 4х² – 20х + 25 = 0
Классифицируем по методам:                                    7) (х² + х + 1)² – 3х – 3 – 3х² = 0?
1  –  разложение на множители                                 8)   +    = 3,5? 
2  –  замена  
3  –  ?                                                                             9)  х⁷ – 3 + 2х = 0?
4  –  ?                                                                             10) х – 5  + 4 = 0?
5  –  разложение на множители – решения

16х³ – 32х² – х + 2 = 0

(16х³ – 32х²) – (х – 2) = 0
16х²(х – 2) – (х – 2) = 0
(х – 2)(16х² – 1) = 0
(х – 2)(4х – 1)(4х + 1) = 0
х = 1, х  =  ±

Ответ: 2;   –  ;

6  –  решим уравнение

3(1 – х) + 2 = 5 – 3х
3 – 3х + 2 + 3х = 5
5 + 0х = 5
0х = 0     х  –  любое число

7  –  как оптимально решить      (2х – 5)² = 0 х = 2,5

8  –  ?
9  –  ?
10  –  ?
11  –  ?

– Мы упорядочили уравнения по видам и методам, только 5 уравнений не нашли пока своего места.
Давайте мы сейчас немного поразмыслим. Что важнее хаос или порядок? Где легче ориентироваться?
В любом деле происходит то же самое; например, когда мы начинаем собирать пазлы, высыпали их из пакета – полный хаос; мы расстроены, но есть желание довести до конца, но проанализировав картинку, пазлы мы получаем удовольствие, но для этого надо приложить усердие, внимание, терпение и все у нас получится.
Итак, 5 уравнений. Как их решить? Будем искать путь, выход из сложившейся проблемы.         3, 8, 9, 10, 11

V. Давайте внимательно посмотрим на уравнения 2 и 3 – проведем аналогию – похожи ли они по структуре?

4)  (х² + 1)² + (х² + 1) – 12 = 0              (растянем)          слайд 6
х² + 1 = t
t² + t – 12 = 0
t =  – 4,  t = 3       (по теореме Виета найдены корни)
х² + 1 =  –  4                  х² = 2
х² =   –  5                       х = ±

Ответ:

11) х – 5  + 4 = 0
()² – 5  + 4 = 0
  =  t, t > 0
t² – 5t + 4 = 0     (свойство коэффициентов)
t = 1               = 1             = 4
t = 4               х = 1              х = 16

Ответ: 1,16

Кто теряет интерес к таким уравнениям, ничего страшного, у вас на парте лежит листок с заданием I части ГИА по данной теме.

Тестовые задания по теме «Уравнения»

1. Решите уравнение .

Ответ: _______________________________________________________.

2. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней

1) х²  =  2х      2) х²  =  – 2х                3) х² – 4  =  0
а) 0 и – 2         б) 0 и 2                       в) 2 и – 2.

Ответ: _______________________________________________________.

3. Какое уравнение не имеет корней:

а) 2х² – 3х  +  1  =  0                         в) 3х²  +  4х  +  1  =  0
б) 2х²  +  4х – 1  =  0                         г) 3х² – 2х  +  1  =  0.

4. Решите уравнение 0,5х² – 3х – 8  =  0.

Ответ: _______________________________________________________.

5. Найдите корни уравнения .

1) 2                 2) 2; – 3                       3) – 3               4) 3; – 2.

6. Из формулы а  =    выразите  h

Ответ:__________________

7. Один кг апельсинов стоит b руб. Составить выражение для вычисления стоимости 350 гр таких апельсинов.

8. Решите уравнение    х – 5(х – 4) = 6х + 5

Ответ:__________

9. Решите уравнение      =  

10. Расстояние  S  (в метрах), которое пролетает тело при свободном  падении, можно приближенно вычислить по формуле  S = Vt + 5t² , где V – начальная скорость (в метрах в секунду), t –  время падения (в секундах). На какой высоте над землей окажется камень, упавший с высоты 80 м, через 3 секунды падения, если его начальная скорость равна 7 м/с?

8)  (х² + х + 1) – 3х – 3 – 3х² = 0
(х² + х + 1) – 3(х² + х + 1) = 0

9) Домой                 слайд 9

Все они сводятся к квадратным.

Вывод:  Теперь вам понятно, что главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшему. Л.Н. Толстой говорил, что большинство жизненных задач, решаются как алгебраические уравнения приведением к самому простому виду.

А теперь остановимся на 10 уравнении:

х⁷ – 3 + 2х = 0

Ищем способ решения. Какие предложения по решению?

х⁷ = 3 – 2х                   очень изящное решение!

Если  y (x) – возрастающая функция, а f(x) – убывающая функция, то уравнение  у(х) = f(х) имеет не более одного корня.

Решаем подбором (х = 1)

VI. В завершение, попытаемся доказать, что это неправильно:

а = 2а

Запишем тождество:

а² –  а² =  а² –  а²
а(а – а) = (а – а)(а + а)
а = 2а

Я предложила вам софизм – это умышленное ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного.

VII. Подходит к концу наш урок, мне кажется, что сегодня многие из вас сделали хоть маленькое открытие, кто-то решил без ошибок, для кого-то стали яснее методы…

Мне хотелось, чтобы вы продолжили предложение: «Сегодня я на уроке хорошо понял(а)… (10 слайд), Сегодня на уроке для меня было важным…»

• Классификацию уравнений.  Последний – 11 слайд
• Методы решения
• Свойства коэффициентов в квадратном уравнении
• Без ошибок решать уравнения для успешной сдачи ГИА
• Усердие
• Внимание
• Приводить мысли в порядок

VIII. Домашнее задание

Те, кто претендует на оценку «3», доделывают задания на карточке, выданной на уроке. Кто претендует на оценку «4» и «5» – делают задания из сборника заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе – 2.18 (1), 2.21 (1) и №9 из урока.