Имеется широкий круг задач, для решения которых применяются понятия неопределенного и определенного интегралов, и используются их свойства.

Рассмотрим некоторые типы таких задач, а именно, задачи на доказательство тождеств, неравенств, упрощение выражений, сравнение чисел.

В процессе их решения воспользуемся понятиями первообразной и неопределенного интеграла, а также указанным ниже свойством определенного интеграла.

Если функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и для каждого выполняется неравенство , то . Если, кроме того, существует хотя бы одна точка , для которой , то .

Итак, остановимся сначала на приложениях неопределенного интеграла.

Пример 1. Упростить .

Решение. Обозначим данное приложение через F(х) и сначала его преобразуем.

Найдем F’(х).

То есть, F’(х)=12sin4x+6sin2x.

F(х) является первообразной функцией для функции f(x)=12sin4x+6sin2x на промежутке . Тогда (где С – произвольная постоянная), откуда , то есть .

Тогда, подставляя вместо F(x) заданное выражение, получим . Возьмем любое значение х, например, х=0, и найдем С

Таким образом, имеем

Пример 2. Доказать тождество

Решение. Рассмотрим функцию и найдем F’(х). .

Функция F(x) является первообразной для функции f(x)=cosx-sinx (),  то есть .

Таким образом, , определим С, взяв любое значение х.

Пусть, например, , тогда, подставляя это значение в последнее равенство, получим .

Таким образом, . Что и требовалось доказать.

Пример 3. Доказать неравенство .

Решение. Функция у=е^t непрерывна и возрастающая на промежутке , следовательно, если . Проинтегрируем это неравенство в пределах от 1 до х (), воспользовавшись выше указанным свойством определенного интеграла.

откуда, разделив обе части неравенства получим , то и требовалось доказать.

Пример 4. Доказать, что для

1) ,

2) .

Решение.

1) Легко убедиться, что , если , рассмотрев, например, графическое решение неравенства.

Проинтегрируем это неравенство в пределах от 0 до t () и получим

Проинтегрируем полученное неравенство в пределах от 0 до х:

Что и требовалось доказать.

2) Для доказательства неравенства воспользуемся уже доказанным неравенством , проинтегрировав его в пределах от 0 до х:

А так как , то получим

Пример 5. Доказать, что верно неравенство .

Решение. Рассмотрим функцию - непрерывную на промежутке . Так как для любого t>0, , то .

Проинтегрируем это неравенство в пределах от 0 до х (<Рисунок32>) и, на основании свойства определенного интеграла, получим

Что и требовалось доказать.

Пример 6. Доказать, что .

Решение. Учитывая, что , а также доказанное в примере 5 неравенство , получим (t>0).

Тогда для x>0.

Проинтегрируем неравенство в пределах от 0 до 1 и получим

Что и требовалось доказать.

Пример 7. Сравнить с числами и .

Решение. Если , то и . Функция y=e^t непрерывна и монотонно возрастает на промежутке [-1;0], следовательно, , то есть , откуда ().

Проинтегрируем неравенство в пределах от 0 до и так как существует точка х₀, например , такая что при х=х₀ выполняется строгое неравенство.

, то есть , то , откуда получим .

А так как , то . Таким образом, больше числа и меньше числа .