Фрактальные рисунки – вершина вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры. Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг - это все фракталы.
Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а также революцией в человеческом восприятии мира.
Фрактальная геометрия–это революция в математике и математическом описании природы.
Перед проведением занятия, с помощи студентов колледжа, удалось провести небольшой опрос в 3-х группах, в которых у студентов спросили: “Знаете ли Вы, что такое фракталы, и где они применяются?”. Из 60-ти студентов, будущих IT-специалистов, лишь 3 студента (5%) знакомы с фракталами. Исходя из результатов данного опроса, информации о фракталах и их использовании в различных областях науки и жизнедеятельности современного человека, недостаточен. Очевиден вывод: данная тема актуальна и необходимо ее раскрыть.
История фракталов
Появление фракталов в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью. Известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. Общее мнение признало их патологией, не имеющей отношение к реальному миру и науке.
Пыль Кантора и линия Пеано.
Существование пыли Кантора отмечалось до этого Генри Смитом в 1875 году или ещё ранее.
Пеано нарисовал особый вид линии. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм:
Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать.
Рождение и развитие фрактальной геометрии.
Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Б. Мандельброта “Фрактальная геометрия природы”.
В своей работе Мандельброт использовал научные результаты учёных, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области. Среди них Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф.
Только в наше время удалось объединить эти работы в единую систему.
Новая фигура – фрактал - может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны, и т.д. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.
Если рассматривать фрактальные объекты в различном масштабе, то нетрудно обнаружить одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную (фрактальную) размерность необычной геометрической фигуры.
Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б. Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная геометрия природы") ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки, мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.
Бенуа Мандельброт - первооткрыватель фрактальной геометрии.
Мандельброт увидел самоподобные фракталы там, где все остальные видели деньги.
Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.
Сегодня Бенуа Мандельброт – профессор Йельского университета, член американской Академии искусств и наук и Национальной академии наук США. Он удостоен многочисленных почетных степеней и наград.
Свойства фракталов.
Дать определение фракталу означает найти его инвариантные свойства. Было найдено два таких свойства:
- дробная размерность;
- самоподобие.
Фрактальная размерность.
"Геометры говорят, что линия есть длина без ширины, а мы скептики, не можем понять длины, не имеющей ширины, ни в чувственном, ни в умопостигаемом". (Секст Эмпирик, "Против ученых")
Как мы измеряем длину, площадь, объем? Мы говорим, "дорога, длиной в 1 км", "комната площадью 20 м2","ведро объемом 10 дм3". Обычно мы пользуемся приемами, которыми нас снабдила евклидова геометрия:
- точка имеет нулевую размерность;
- любая линия имеет одно измерение;
- плоскость - два измерения;
- куб - три измерения.
Эти основные размерности называют топологическими. Топологическая размерность i - это число измерений, с помощью которых можно однозначно задать положение точки на геометрическом объекте. В рассмотренных выше примерах i всегда целое число.
Как измерить размерность?
Понятие размерности является центральным понятием, из которого "выросла" фрактальная "идеология". Размерность зависит от способа, которым мы ее вычисляем. Чтобы определить размерность пространства D, разобьем все n-мерное пространство на малые кубики с длиной ребра eps и объемом epsn — рис.1. Пусть N(eps) — минимальное число кубиков, которые в совокупности полностью покрывают фрактальное множество, тогда по определению:
Эту величину обычно называют хаусдорфовой или фрактальной размерностью.
Рассмотрим пример вычисления хаусдорфовой размерности. Возьмем квадрат площадью 100 м2. Разделим каждую сторону на r частей. Пусть r = 10: получим N = 100 подобных объектов, т.е. 100 малых квадратов, каждый из которых подобен большому квадрату. Если мы умножим любой из меньших квадратов на 10, мы получаем первоначальный большой квадрат. Вычислим размерность D большого квадрата по формуле:
D = ln(100) /ln(10) = 2
Для квадрата Хаусдорфова размерность совпала с топологической.
Мандельброт дал следующее определение фрактала: "Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа которого строго больше его топологической размерности.Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".
Самоподобие.
Самоподобие означает, что объект может быть построен на основе любой своей части.
Подобие части и целого означает масштабную инвариантность. Легко убедиться, что нет ни одной реальной структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее, принцип самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в иерархической организации живых систем.
Самоподобие предполагает наличие некоего инварианта, сохраняющегося при преобразованиях. Наличие инварианта говорит об определенной симметрии самоподобных объектов. О самоподобии говорят нам русские матрешки, теория преформации (предварительное формирование), свойства голограмм.
Классификация фракталов.
Для изучения фракталов следует разделить их на определенные классы. Одной из общепринятых классификаций является классификация фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические.
Геометрические фракталы.
Сейчас мы разберем самую наглядную из них – геометрические фракталы.
Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений.
Уже рассмотренная нами кривая Пеано является геометрическим фракталом. Классические примеры геометрических фракталов – Кривая Коха, Лист, Треугольник Серпинского.
Алгоритм построения геометрических фракталов состоит в следующем:
- задается начальное условие (нулевое поколение): фигура, на основании которой строится фрактал;
- задается процедура, которая преобразует определенным образом нулевое поколение (генератор);
- в результате бесконечного повторения заданной процедуры, получается геометрический фрактал.
Алгебраические фракталы.
Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов. Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.
Стохастические фракталы.
Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называют стохастическими. Термин стохастичность происходит от греческого слова, обозначающего “предположение”. С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задаётся более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.
Существует еще одна интересная классификация фракталов.
Фракталы классифицируются на два класса: рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учеными, и они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами.
В действительности это не так, т.к. у дерева не бесконечное число ветвей, и берег имеет не бесконечную длину. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования. Вводится максимальный и минимальный размеры, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.
Применение фракталов.
После открытия Бенуа Мандельбротом теории фракталов стало понятно, что данная теория способна удивительно точно описывать многие объекты и явления окружающего нас мира. Не удивительно, что теория фракталов и фрактальные алгоритмы в частности, нашли практическое применение в очень многих областях науки и технике.
Для студентов колледжа - будущих IT – специалистов, представляет интерес применение фракталов в следующих областях:
Радиотехника.
В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны – относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений.
Фрактальная антенна с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе.
Информатика.
Фрактальное сжатие изображений.
Фрактальное сжатие изображений — алгоритм сжатия изображений с потерями, основанный на применении систем итерируемых функций к изображениям. (Системы итерируемых функций или просто СИФ - представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое.) Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (лучшие примеры — до 1000 раз (при приемлемом визуальном качестве) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе.
Компьютерная графика.
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.
С использованием фракталов могут строиться не только ирреальные изображения, но и вполне реалистичные (например, фракталы нередко используются при создании облаков, снега, береговых линий, деревьев и кустов и др.). А создаются подобные фрактальные шедевры (равно как и векторные) путем математических расчетов (с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности). В отличие от векторной графики, базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула - это означает, что никаких объектов в памяти компьютера не хранится, и изображение (как бы ни было оно замысловато) строится исключительно на основе уравнений.
Децентрализованные сети.
Система назначения IP-адресов в сети “Netsukuku” использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети “Netsukuku” хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а, следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
Выводы:
Теория фракталов используется при изучении структуры Вселенной. Появляются теории о том, что наша Вселенная - фрактал. Возможно, именно фракталы раскроют тайну бесконечности нашей Вселенной.
Студентам нашего колледжа, а особенно будущим IT – специалистам, необходимо изучать фракталы, раздел фрактальной геометрии в математике; овладеть уверенными навыками в применении программ для генерации фрактальных изображений и фракталов для повышения своего профессионального уровня, успешной профессиональной деятельности.