Замечательно, что наука, которая
началась с рассмотрения азартных игр,
обещает стать наиболее важным объектом
человеческого знания...
П.Лаплас
Введение
В повседневной жизни мы часто наблюдаем те или иные явления.
Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения, называют случайным событием. Например, выигрыш команды при встрече с соперником, проигрыш или ничейный результат – это случайные события. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики – теория вероятностей
Ещё первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьём зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.
Готовясь к сражениям, полководцы умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите. Они не были рабами случая.
Позднее, с опытом, человек всё чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.
Вот простейший опыт – подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при многократном подбрасывании можно заметить, что появление герба происходит примерно в половине случаев. Математик Пирсон в начале 20-го века подбрасывал её 24000 раз, герб выпал 12 012 раз. Значит, случайности могут подчиняться простым и более сложным закономерностям.
Наиболее интересные задачи возникли в области азартных игр. Например, бросание шестигранных игральных костей.
Впервые основы теории вероятностей были изложены французским математиком П.Лапласом в книге “Аналитическая теория вероятностей”, в которой он дал определение вероятности события.
Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов
Вероятность какого-то события А обозначают
буквой Р, тогда Р(А) = 
,
где n – общее число равновозможных событий, а m – число благоприятных исходов.
Для рассмотрения примеров необходимо познакомиться с утверждениями:
- если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А или В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В, то есть Р(С) = Р(А)х Р(В).
- если событие С означает, что наступает одно из двух совместных событий: А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В, то есть Р(С) = Р(А) + Р(В).
Итак, рассмотрим немножко странные, но интересные задачи.
1. Задача Даламбера: “Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут решки”.
При бросании монет равновозможными являются следующие исходы:
(где в каждой паре на первом месте записан результат бросания первой монеты, на втором месте – результат бросания второй монеты, выпадение орла обозначено буквой О, а выпадение решки буквой Р): (О, О); (О, Р); (Р, О); (Р, Р).
Благоприятным для события А, состоящего в том, что на обеих монетах выпадут решки, является один исход. Значит, Р(А) = 0,25.
2. Случайность или система?
Некий рассеянный гражданин был оштрафован при переходе улицы в неположенном месте двенадцать раз. Известно, что всегда это происходит либо во вторник, либо в четверг. Объясняется ли это случайностью или в эти дни инспекторы усиливают контроль уличного движения?
Пусть событие А – “гражданин был оштрафован двенадцать раз по вторникам или четвергам случайно”.
Если событие А1 - гражданин случайно
оштрафован во вторник или четверг первый раз,
событие А2 - гражданин случайно оштрафован
во вторник или четверг второй раз и т.д., событие А12
- “гражданин случайно оштрафован во вторник
или четверг двенадцатый раз”, то вероятность
события А равна: Р(А) = Р(А1) 
Р(А2) ... Р(А12).
Но Р(Аk) = 
, так как 2 дня из 7 для гражданина
неудачные и, поскольку,
Р(А1) = Р(А2) = ...= Р(А12).= 
, то Р(А) = ()12 = 0,0000003.
Вероятность этого события очень незначительна и это показывает, что вероятность быть оштрафованным случайно ничтожно мала. Видимо в эти дни инспекторы с большей требовательностью следят за соблюдением правил уличного движения.
3. Преступление раскрыто
В отдел уголовного розыска поступило сообщение о том, что пятеро неизвестных лиц взломали сейф и похитили крупную сумму денег. Свидетели заметили, что грабители сели в автобус, следующий в соседнюю деревню.
Как только автобус остановился, к его дверям подошёл инспектор уголовного розыска, который запретил водителю открывать двери. Тот сообщил инспектору, что в автобусе сорок человек. Войдя в автобус, инспектор предложил шестерым наугад выбранным пассажирам пройти в кабинет начальника вокзала.
Один преступник был сразу обнаружен – в его кармане нашли пачку денег. Он назвал сообщников, и дело было закончено.
Что руководило инспектором: риск или трезвый расчёт?
Пусть событие А – “среди случайно вызванных пассажиров есть хотя бы один преступник”.
Пусть событие А1 – “среди случайно вызванных пассажиров есть один преступник”,
событие А2 – “среди случайно вызванных пассажиров есть два преступника”,
событие А3 – “среди случайно вызванных пассажиров есть три преступника”,
событие А4 – “среди случайно вызванных пассажиров есть четыре преступника”,
событие А5 – “среди случайно вызванных пассажиров есть пять преступников”.
Тогда А есть объединение событий А1, А2, А3, А4 и А5, вероятность события А равна: Р(А) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) + Р(А4) + Р(А5).
Воспользуемся формулой Р (A1,2,3,4,5) = 
, где m – число
преступников;
k – 1, 2, 3, 4, 5; n – число пассажиров; r – число выбранных пассажиров
и С
= 
. Вычислим P(A3) = 
= 
0,017,
где С
= 
= 10, С
= 
= 351711,
С
= 
= 239383735. P(A1) = 
0,4192,
P(A2) = 
0,1364, P(A4) = 
0,0008, P(A5) = 
0,00001.
Значит, Р (А) 0,4192
+ 0,1364 + 0,017 + 0,00080 + 0,00001 = 0,5734.
Вероятность, что среди 6 пассажиров окажется, по крайней мере, один преступник, больше 0,5.
По-видимому, инспектор умел пользоваться в необходимых случаях, теорией вероятностей
4. Сражение
Два мальчика играют в “сражение”. У каждого из них по 40 спичек. Бросается монета. При появлении герба откладывает в сторону спичку Толя – погиб первый солдат, при появлении цифры то же самое делает Боря – погиб его солдат. Игра продолжается до тех пор, пока у одного из них не погибнет последний солдат.
Какова вероятность того, что при поражении одного из мальчиков у второго останется 20 спичек?
Используем формулу Бернулли, по которой
определяется вероятность того, что при n
повторных испытаниях событие А произойдёт m раз.
Это событие записывается так: Sn = m и P (Sn
= m) = C
pmqn-m.
Вернёмся к нашей задаче.
Пусть событие А – “при опустошении 1-й коробки во 2-й осталось m спичек”.
Обозначим события:
В1 – “спичка удалена из 1-й коробки”, р – вероятность события В1;
В2 – “спичка удалена из 2-й коробки”, q – вероятность события В2.
Поскольку подбрасываемая монета симметричная,
то р = q = 
.
Если при опустошении 1-й коробки во 2-й осталось m спичек, то монету бросали (2n – m ) раз.
При этом n раз появился герб, а (n – m) раз появлялась цифра.
Значит, событие В1 произошло n раз.
По формуле получим Р(А) = С
= С
.
По условиям игры мальчиков Р(А) = С
0,01
Как видно, шансов выиграть сражение с меньшими, чем у противника, потерями немного.
Кстати, история не спичечных, а настоящих войн это подтверждает.
5. Чтобы покупатели были довольны
Фермерское хозяйство продаёт огурцы в ящиках, по 100 огурцов в каждом ящике. Выяснилось, что в каждой партии из 1000 огурцов приблизительно 15 некачественных: гнилые, лопнувшие и т.д.
Перед руководством хозяйства встал вопрос, сколько огурцов надо положить в каждый ящик, чтобы с вероятностью 0,8 удовлетворить запросы покупателя, иначе говоря, чтобы в ящике
было не менее 100 хороших огурцов с вероятностью 0,8.
По условию, вероятность того, что купленный наудачу огурец окажется некачественным, 0,015.
Находим постоянную Пуассона: k = 100
0,015 = 1,5.
По формуле Пуассона P=(Sn= m)
вероятность, что среди 100 наугад
отобранных огурцов некачественных не
встретится, равна е-1,5 0,22313.
Допустим, что 100+х является тем числом огурцов, при котором покупатель с вероятностью 0,8 получит 100 хороших. Пусть событие А – “среди 100+х огурцов качественных”. Пусть событие Аk – “среди 100+ k огурцов ни одного некачественного”.
Тогда А=А0 U А1 U А2 U ... U Ах.
По формуле Пуассона Р(Аk) = е-1,5
, k = 0, 1, 2, ..., х.
Поскольку Р(А) = Р(А0) + Р(А1) + Р(А2)
+...+ Р(Ах), то Р(А)= е-1,5 (1 + 
+
+ ... + 
).
Переменная х должна удовлетворять неравенству
е-1,5 (1 + ++ ... + )
0,8.
Ясно, что левая часть неравенства возрастает с ростом х.
Испытаем некоторые конкретные значения х.
При х = 1 Р(А)= е-1,52,5
0,56, а это
меньше 0,8.
При х = 2 Р(А)= е-1,5 (1 + ++
... + ) е-1,53,63 0,809.
Поскольку 0,809 > 0,8 для х = 2, покупатели останутся удовлетворены, если в каждый ящик упакованы 102 огурца.
Заключение
В предисловии к своей книге “Аналитическая теория вероятностей” П.Лаплас написал: “...Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей”.
Например, задачи из современной жизни.
По данным телеателье, в течение гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% телевизоров. Какова вероятность того, что из 46 наугад выбранных телевизоров 36 проработают гарантийный срок?
Вероятность рождения мальчика 0,515. Чему равна вероятность того, что среди 80 новорождённых 42 мальчика?
Вероятность встретить на улице своего учителя, допустим, 0,002. Какова вероятность того, что среди 1200 случайных прохожих вы встретите не более трёх своих учителей?
Надеемся, что рассмотренные странные, но интересные задачи помогли вам понять, что теория вероятностей может во многом послужить на благо человека.
Список литературы
- Макарычев, Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2005.
- Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 7-е изд., испр. – М.: Просвещение, 2008.
- Лютикас, В.С. Теория вероятностей: учеб. пособие для учащихся 9-11 кл. сред. шк. [Текст] / В.С. Лютикас. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1990.