Решение задач с помощью аффинных преобразований

Подушкина Ольга Юрьевна

Для начала: на чем основывается метод решения с помощью аффинных преобразований?

Необходим некий краткий теоретический материал для учащихся.

Сообщаем, что система координат не обязательно должна быть прямоугольной. Если выбрать на плоскости 3 точки , не лежащие на одной прямой, то они и будут задавать аффинную систему координат, а точка и векторы и образуют аффинный репер (базис).

Определение 1. Пусть в плоскостях и заданы два аффинных репера и , соответственно. Отображение плоскости на плоскость называется аффинным отображением плоскостей, если при этом отображении точка с координатами в системе координат (репере ) переходит в точку с теми же координатами в системе координат (репере ).

Свойства аффинных преобразований:

1) По свойствам координат аффинное преобразование является взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость:

- каждая точка имеет образ и притом только один;

- разные точки имеют разные образы;

- каждая точка области значений имеет прообраз.

2) Так как аффинное отображение сохраняет координаты точек, то оно сохраняет уравнения фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в прямую.

3) Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.

4) Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые - в пересекающиеся прямые, а параллельные – в параллельные.

5) При аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.

6) Отношения площадей многоугольников также сохраняются.

7) Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы.

Замечание 1: Если А, В, С - три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, а - три другие точки, не лежащие на одной прямой, то существует и притом только одно аффинное преобразование, переводящее точки А, В, С в точки .

Замечание 2: Параллельное проектирование есть аффинное преобразование плоскости на плоскость. Кстати эта тема “Параллельное проектирование” присутствует в школьном учебнике геометрии 10-11(2000) Л. С. Атанасяна в приложении 1. В основном этот материал используется тогда, когда мы учим изображать пространственные фигуры на плоскости.

Чтобы представить, что могут аффинные преобразования, посмотрим картинки. Учащимся лучше всего именно наглядно показать применение аффинных преобразований на отвлеченном предмете и только потом переходить на геометрические фигуры.

Частным случаем аффинных преобразований являются преобразование подобия, гомотетия и движения. Движения — это параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации. Другой важный случай аффинных преобразований — это растяжения и сжатия относительно прямой. На рисунке 2 <Рисунок 2> показаны различные движения плоскости с нарисованным на ней домиком. А на рисунке 3 и 4 <Рисунок 3> <Рисунок 4>показаны различные аффинные преобразования этой плоскости (параллельное проектирование).

А вот на следующей картинке <Рисунок 5> можно объяснить суть метода.

Если перед вами стоит задача о вычислении каких-то соотношений или пропорций на искаженном рисунке, например: найти отношение длины ушей к длине хвоста, то можно найти это отношение на более удобном рисунке (неискаженном), что намного проще, и найденное решение будет соответствовать и искаженному рисунку в том числе. Но нельзя искать отношение, например, длины ушей к толщине зайца, т.к. это отрезки непараллельных прямых.

Теперь перейдем к геометрическим фигурам. Как на них может работать этот метод?

Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, отношение площадей, доказать параллельность или принадлежность точек одной прямой. Причем в условии задачи не должны содержаться данные, не сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.

Свойства фигур называются аффинными, если они сохраняются при аффинных отображениях. Например, быть медианой треугольника- это аффинное свойство (середина стороны переходит в середину при аффинном отображении), а быть биссектрисой – нет.

Суть метода при решении геометрических задач.

Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам, например, к правильному треугольнику. А затем с помощью обратного аффинного преобразования перенести полученный результат на искомую фигуру.

Для начала можно решить всем известную задачу о точке пересечения медиан треугольника.

Задача 1. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. <Рисунок 6>

Решение (по алгоритму).

Пусть дан треугольник ABC. 1) Проверим аффинные свойства фигуры. Треугольник (по замечанию 1) является аффинной фигурой, быть медианой - это тоже аффинное свойство и отношения длин отрезков также сохраняется при аффинном отображении.

2) Значит, можно перейти к более удобной фигуре - равностороннему треугольнику.

3) Возьмем равносторонний треугольник . У этого треугольника медианы , пересекаются в одной точке (как высоты или биссектрисы равностороннего треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Действительно, и . А отношение из прямоугольного треугольника . Значит, .

4) Зададим аффинное отображение, переводящее треугольник в треугольник АВС. При этом отображении медианы треугольника переходят в медианы треугольника АВС и их точка пересечения переходит в точку пересечения их образов и она делит медианы произвольного треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины.

5) Утверждение для произвольного треугольника доказано.

Задача 2. Доказать, что в любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой M и N – середины оснований, Q – точка пересечения диагоналей, О – точка пересечения продолжений боковых сторон. <Рисунок 7>

1) Проверим аффинные свойства фигуры. Трапеция - аффинная фигура (так как трапеция переходит в трапецию), принадлежность точек одной прямой является аффинным свойством. Таким образом, и условие, и вопрос задачи относятся к аффинному классу задач. Значит, можно применить метод аффинных преобразований.

2) Возьмем произвольный равнобедренный треугольник . Существует аффинное отображение, переводящее точки А в , В в , О в . При этом аффинном отображении на отрезке существует точка - образ точки D, а на отрезке - точка (образ точки С). Трапеция равнобокая.

3) Доказать сформулированную задачу для равнобокой трапеции труда не составит (при чем не одним способом).

4) Таким образом, доказав, что точки , , , лежат на одной прямой, применим свойство аффинных отображений (отображение, обратное к аффинному, есть снова аффинное отображение) и поэтому точки O, M, Q, N также лежат на одной прямой трапеции ABCD.

5) Доказанный факт справедлив и для произвольной трапеции.

Примечание. Четырехугольники аффинно эквивалентны тогда и только тогда, когда точка пересечения диагоналей делит их в одном и том же отношении.

Задача 3 (из диагностической работы по подготовке к ЕГЭ-2010). Через точку О, лежащую в треугольнике АВС, проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1; 2.25 и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов (задача из диагностической работы по подготовке к ЕГЭ - 2010)

Решение, предложенное авторами <Рисунок 8>

Но эту задачу легко решить с помощью аффинных преобразований.

Проверим аффинные свойства фигуры. Треугольник является аффинной фигурой, параллельность также относится к аффинным свойствам. Так как известны площади, можно найти их отношение, которое будет сохраняться при аффинных преобразованиях.
Пусть даны два треугольника: произвольный и равносторонний. Решить задачу на равностороннем треугольнике намного проще. Возьмем аффинное отображение, переводящее произвольный треугольник в равносторонний.
Решаем задачу на равностороннем. <Рисунок 9>

Треугольники, получившиеся внутри нашего равностороннего, являются подобными (по 2 углам). Следовательно, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, обозначим - их стороны. Тогда и b=1,5, аналогично и . Сторона нашего равностороннего треугольника будет равна . Его площадь можно найти, например, по формуле . Чтобы найти сумму площадей параллелограммов, надо из общей площади треугольника вычесть сумму площадей всех треугольников .

По свойствам аффинных отображений решение справедливо и для произвольного треугольника.

Мы рассмотрели планиметрические задачи, но свойства аффинных преобразований работают и в пространстве. Например, образом тетраэдра может служить произвольный заранее выбранный тетраэдр. У любого параллелепипеда аффинным образом может быть куб.

Задача 4 (стереометрическая). Докажите, что диагональ параллелепипеда проходит через точки пересечения медиан треугольников и и делится этими точками на три равных отрезка.

Это №372 из учебника Атанасяна (11 класс). В учебнике дано ее решение векторным методом. Но можно применить метод аффинных преобразований, решив эту задачу на кубе уже в 10 классе.

В этой задаче с помощью аффинных преобразований докажем равенство трех отрезков.

1) Проверим аффинные свойства фигуры и условия задачи. Аффинным образом любого параллелепипеда может быть куб. Деление отрезка в заданном отношении – это аффинное свойство.

2) Рассмотрим одноименный куб , в котором диагональ проходит через точки пересечения медиан треугольников и . <Рисунок 10>

3) Докажем, что диагональ делится этими точками на три равных отрезка.

1. Рассмотрим пирамиду . В ней = =- ребра куба, а = = как диагонали равных граней, - точка пересечения медиан треугольника, она же точка пересечения биссектрис, следовательно, является центром вписанной окружности, т.е. центром правильного треугольника. - высота правильной пирамиды . Вычислим длину , предварительно взяв ребро куба за . Тогда = = =, а - радиус описанной окружности. Найдем из треугольника . Тогда = .

2. Аналогично найдем =в пирамиде .

3. Из треугольника находим диагональ куба =.

4. Вычислим =-(+)=.

5. Получили ==. Значит, точки и делят диагональ куба на три равных отрезка.

4) Существует аффинное отображение, переводящее куб в произвольный параллелепипед. Значит, эта задача будет верна и для произвольного параллелепипеда.

5) Обобщения. Какие свойства, доказанные на кубе, сохранятся для произвольного параллелепипеда, а какие нет (обсудить с учащимися).

Например: параллельность плоскостей и отношение сохранится, перпендикулярность диагонали плоскостям нет, правильные треугольники не сохранятся, так же как и центр правильного треугольника, он перейдет в точку пересечения медиан.

Таким образом, уже в 10 классе можно делать с учащимися обобщения для произвольных фигур, пользуясь свойствами аффинных отображений.

Мы рассмотрели задачи программного уровня, а теперь рассмотрим задачи продвинутого уровня.

Вот задача, предложенная учащимся 11-го класса на олимпиаде в этом году. Никто, к сожалению, с ней не справился. Посмотрим, как метод аффинных преобразований поможет нам ее решить.

Задача 5 (олимпиада 11 класс). Треугольная пирамида рассечена плоскостью так, что медианы боковых граней разбиты точками пересечения в отношении 2:1,3:1 и 4:1, считая от вершины пирамиды. В каком отношении, считая от вершины пирамиды, разбиты боковые рёбра? (Из материалов МГТУ им. Баумана). Ответ: 12:7 , 12:5, 12:1

Существует решение, предложенное авторами. В этом решении отсутствуют различные подробные вычисления, поэтому по объему решение недлинное, о сложности будете судить сами.

А решение с помощью аффинных преобразований мы рассмотрим.

1) В задаче фигурирует произвольная пирамида, в которой проведены медианы (а быть медианой - это аффинное свойство), на медианах взяты пропорциональные отрезки ( при аффинном преобразовании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой). Значит, эту задачу можно решить для “удобной” пирамиды, а затем с помощью аффинного преобразования перенести результат на произвольную.

2) Решим задачу для пирамиды, у которой три плоских угла при вершине прямые. Поместим новую пирамиду в прямоугольную систему координат OXYZ. <Рисунок 11>

3) Проведем медиану на одной из граней. и - средние линии треугольника АОВ. Точка , такая что . Тогда координаты точки К или, учитывая, что и середины соответственно ОА и ОВ, К.На другой грани проведем медиану . На ней отметим точку М, такую что . Аналогично находим координаты М или М .Наконец, точка N лежит на медиане и , тогда N или N.

Итак: Кили К , Мили М

N или N

Анализируя, выберем сами удобные числовые координаты для точек А(40;0;0), В(0;15;0), С(0;0;24).

Плоскость (MNK) пересекает ребра пирамиды в неких точках . Найдем сначала координаты точки (х; 0; 0). Точка (KMN), если существуют такие, что, допустим (это векторы). Запишем координаты векторов (15; -5; 1), (16; 1; -8), (х; -5; -8). Тогда имеет место следующая система уравнений . Решаем ее: умножим второе уравнение на 8, получим .Далее, сложив второе и третье, имеем. Откуда найдем и х .

Нам надо найти отношение . Значит, точка делит ребро ОА в отношении 12:1. Вычисления тоже приличные, но понятные. Аналогично можно найти отношения и для двух других сторон.

Решив задачу на “удобной” пирамиде, учитывая, что существует аффинное преобразование, переводящее эту пирамиду в произвольную, переносим результат на произвольную пирамиду.

Если бы в условии данной задачи была предложена “удобная” пирамида, наверное, кто-то из учеников сделал хотя бы попытки решить задачу.Метод аффинных преобразований позволяет трудные факты свести к легкому доказательству.

Например, доказать следующую задачу 6: Пусть заданы два треугольника АВС и в одной плоскости. Прямые, проходящие через соответсвующие вершины этих треугольников пересекаются в одной точке S. Если прямые, содержащие соответсвующие стороны этих треугольников попарно пересекаются, то точки пересечения лежат на одной прямой.

Попробуем доказать.

Любой четырехугольник может рассматриваться, как образ тетраэдра при параллельной проекции на плоскость. Рассмотрим четырехугольник SABС. <Рисунок 12>

Существует аффинное преобразование f, переводящее его в четырехугольник , который в свою очередь является изображением некой пирамиды . . При аффинном отображении . А точки являются изображением точек пирамиды , образующих некоторое сечение пирамиды. Решая задачу на аффинном образе, мы получим результат, который с помощью обратного аффинного преобразования перенесем на первоначальный рисунок. Чтобы избавиться от лишней символики, будем смотреть на конфигурацию Дезарга (первый рисунок) как на изображение пирамиды SABC с сечением плоскостью . А чтобы доказать принадлежность трех точек одной прямой, построим пересечение плоскостей АВС и (так как две плоскости пересекаются по прямой).

Построение.1) , 2) , 3)

В пересечении плоскостей три точки, следовательно, они лежат на одной прямой. Эта задача (теорема Дезарга) доказана.

В продолжение такого применения аффинных преобразований (решение пространственной задачи как планиметрической) можно рассмотреть еще одну интересную задачу.

Задача (Соросовская олимпиада)

Даны три луча в плоскости и три точки A, B, C. Построить треугольник с вершинами на этих лучах, стороны которого проходят через точки A, B, C соответственно (помощью одной линейки).

То есть картинка должна быть примерно такая. <Рисунок 13>

Будем рассматривать эту картинку как аффинный образ (при некотором аффинном отображении) пирамиды XOYZ на плоскость. Вершины пирамиды лежат на осях координат, а точки А, В, С - точки в координатных плоскостях. Тогда задача сводится к тому, чтобы построить линии пересечения плоскости (АВС) с координатными плоскостями. Существует, конечно, способ построения с помощью циркуля и линейки, но нам он не нужен. Итак, без циркуля.

Возьмем произвольную точку S на луче .
Проведем прямые и .
, .
, такая, что Р и С лежат в одной плоскости.
,
ZY,
XYZ - искомый треугольник.

Выводы.

Итак, вам был представлен метод решения задач с помощью аффинных преобразований. Подведем итоги.

Метод позволяет перейти от более сложного к более простому для осуществления процесса решения.
Носит обобщающий характер.
Имеет широкую область применения, в том числе в смежных областях.
Позволяет интегрировать разные разделы математики.
Осмысление и применение данного метода формирует у учащихся конструктивный подход к решению задач и критичность мышления.

Литература

Геометрия: Учеб.для 10-11 кл.общеобразоват.учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. -М.: Просвещение, 2007.
И. Кушнир “Математическая энциклопедия”. Астарта. Киев.1995.
Р. Хартсхорн “Основы проективной геометрии”. Издательство “Мир”. Москва.1970.

Приложение 1

Приложение 2

6.02.2011