Author: user1809

Свойства аффинных преобразований.
1)прямая переходит в прямую;
2) преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.
3) точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые- в пересекающиеся прямые, а параллельные – в параллельные.
4) при аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.
5) отношения площадей многоугольников также сохраняются.
6) не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы.
Замечание1: Если А, В, С- три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, а - три другие точки, не лежащие на одной прямой, то существует и притом только одно аффинное преобразование, переводящее точки А, В, С в точки .
Замечание2: Параллельное проектирование есть аффинное преобразование плоскости на плоскость

Свойства фигур называются аффинными, если они сохраняются при аффинных отображениях. Например, быть медианой треугольника- это аффинное свойство ( середина стороны переходит при аффинном отображении в середину), а быть биссектрисой – нет. Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам.

Понятие преобразование совпадает с понятиями функция, отображение .При геометрических исследованиях преобразование даёт возможность заменять изучение соотношений в одной фигуре изучением соотношений в другой, получаемой из первой по определённым правилам, что в ряде случаев может оказаться проще.

Определение
Отображение плоскости на плоскость называется аффинным отображением плоскостей, если при этом отображении точка с координатами в системе координат ( репере ) переходит в точку с теми же координатами в системе координат (репере ).

Частным случаем аффинных преобразований являются преобразование подобия, гомотетия и движения. Движения — это параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации. Другой важный случай аффинных преобразований — это растяжения и сжатия относительно прямой.

Алгоритм решения задач методом
аффинных преобразований.
Проверить аффинные свойства фигуры (или конструкции).
Перейти к более «удобной» (более простой) фигуре (или конструкции).
Решить задачу для простой фигуры(или конструкции).
Перенести решение на исходную задачу.
Если возможно, сделать обобщение для произвольной фигуры.

Задача 1. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в от ношении 2:1, считая от вершины.
Решение. Пусть дан треугольник ABC. Возьмем равносторонний треугольник (рис.). У этого треугольника медианы пересекаются в одной точке (как высоты или биссектрисы равностороннего треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Действительно, и значит.А отношение
из прямоугольного треугольника . Значит
Зададим аффинное отображение, переводящее треугольник в треугольник АВС. При этом отображении медианы треугольника переходят в медианы треугольника АВС и их точка пересечения переходит в точку пересечения их образов и она делит медианы треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины.