Цели:
- Использование средств алгебры и тригонометрии при решении геометрических задач.
- Провести диагностику усвоения системы знаний и умений ее применения для выполнения заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
- Содействовать рациональной организации труда.
- Развивать познавательные интересы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность.
- Выработать критерии оценки своей работы.
- Повышать интерес учащихся к нестандартным задачам.
- Формировать у учащихся положительный мотив к обучению
Содержание темы. Исследование и решение стереометрических задач, в которых для решения требуется применение тригонометрических функций.
Тип урока. Интегрированный урок обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения. Групповая, индивидуальная.
Оборудование.
- ноутбук,
- проектор,
- экран.
Структура урока:
- мотивационная беседа с последующей постановкой цели;
- актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведется повторение основных фактов, ведущих идей и основных теорий на основе систематизации знаний.
- Диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
- Подведение итогов урока.
- Творческое домашнее задание
- Рефлексия.
ХОД УРОКА
I. Мотивационная беседа
Задачи по стереометрии – прекрасные упражнения, способствующие развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, способствующие более глубокому усвоению всего школьного курса математики. Решение стереометрической задачи чаще всего сводится к решению планиметрических задач. Поэтому, решая задачи по стереометрии, всё время приходится возвращаться к планиметрии, повторять теоремы, вспоминать формулы, необходимые для решения. При решении стереометрических задач ещё в большей мере, чем в планиметрии, используются средства алгебры и тригонометрии. Таким образом, стереометрические задачи способствуют творческому овладению всей совокупностью математических знаний.
II. Актуализация опорных знаний
Устно: повторим определения угла между прямыми в пространстве, проекции прямой на плоскость, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями, а также определения основных тригонометрических функций угла.(слайды 1-5)
III. Диагностика
Тригонометрические функции при решении стереометрических задач применяются довольно часто. Рассмотрим задачу, в которой устанавливается зависимость между углами.
Задача 1. (Приложение,
слайд 6) Прямая a образует с плоскостью угол 
и пересекает её в точке O. В
данной плоскости через точку O проведена прямая b,
образующая с проекцией прямой a на плоскость угол
. Найти угол 
между прямыми a и b.
<Рисунок 1>
Решение. Пусть AC –
перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки
A прямой a к плоскости, OC – проекция наклонной АО
(рис 1). Затем в плоскости проведём перпендикуляр
CB к прямой b.Тогда AB | OB по теореме о трёх
перпендикулярах.
Из прямоугольных треугольников AOC, COB и AOB
находим:
Перемножив первые два равенства
почленно, получим: 
Ответ.
Заметим, что OABC – трёхгранный угол,
двугранный угол при ребре OC которого прямой.
Полученная формула выражает зависимость между
его плоскими углами, она находит применение при
решение задач и её стоит запомнить.
Соотношение
называют теоремой Пифагора для трёхгранного
угла или теоремой о трёх косинусах.
Необходимо обращать внимание на начальную
стадию решения каждой задачи – анализ, когда
намечается ход решения, причём нередко
правильный путь находится не сразу, а после ряда
неудачных попыток. Выполнив чертёж, следует
внимательно изучить связи между данными и
неизвестными элементами фигуры и попытаться
связать их цепочкой промежуточных величин.
Рассмотрим конкретный пример.
Задача 2. Высота правильной треугольной пирамиды равна стороне её основания, длина которой a. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания перпендикулярно противоположному ребру.
Решение
Пусть NH – высота данной пирамиды NABC и BCL – сечение плоскостью, перпендикулярной ребру AN. Поскольку пирамида правильная, то H – центр правильного треугольника ABC. Треугольник BCL – равнобедренный. Чтобы найти его высоту KL, достаточно последовательно вычислить длины отрезков AK, AH и AN.
При решении данной задачи мы
использовали метод, который называют
поэтапно-вычислительным или методом прямого
счёта. Он является разновидностью
алгебраического метода. При поэтапном решении
последовательно вычисляются промежуточные
величины, с помощью которых искомые величины
связываются с данными.
После того, как задача решена, следует убедиться
в правильности решения и попытаться найти более
короткий путь, ведущий к решению задачи.
2-й способ решения
Просматривая предложенное решение, можно заметить, что высоту KL треугольника BCL можно вычислить по-другому. Отрезок KL является катетом прямоугольного
Решая задачу вторым способом, мы узнали
свойство правильной треугольной пирамиды: если
её высота равна стороне основания, то боковое
ребро пирамиды наклонено к плоскости основания
под углом = 60o.
3-й способ решения
Это решение можно ещё немного упростить, если заметить, что треугольник BCL есть ортогональная проекция треугольника ABC на плоскость BCL, и поэтому
При решении задачи третьим способом мы
использовали теорему о площади ортогональной
проекции многоугольника на плоскость Sпр = S · cos f,
где S – площадь данного многоугольника, Sпр –
площадь его проекции на плоскость, f – угол между
плоскостью данного многоугольника и плоскостью
его проекции.
При решении некоторых задач целесообразно для
нахождения искомой величины сначала найти
некоторую другую величину. Её называют
вспомогательной неизвестной. Иногда следует
ввести несколько вспомогательных неизвестных.
Приведём пример.
Задача 3. Основанием призмы
ABCA1B1C1 служит равносторонний треугольник ABC.
Вершина A1 верхнего основания проектируется в
центр H нижнего основания. Определить площадь
боковой поверхности призмы, если AB = a и 
A1AH = a.
Решение. Прежде всего заметим, что грань BCC1B1 призмы является прямоугольником.
Решение задачи начинается с выполнения
чертежа и анализа; выясняются геометрические
свойства фигуры и намечается план решения. При
оформлении нельзя ограничиваться одними
вычислениями, необходимо дать полное
обоснование решения. Так, при решении
приведённой задачи было доказано,что одна из
граней призмы–прямоугольник, а две другие–
равные параллелограммы.
На примере следующей задачи покажем применение
теоремы об ортогональной проекции
многоугольника на плоскость.
Задача 4. Рассмотрим правильную четырёхугольную призму ABCDA1B1C1D1, диагональное сечение которой – квадрат. Через вершину D1 и середины рёбер AB и BC проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения, если AB = a.
<Рисунок 4>
Решение. Построение сечения видно на рис. 4, где K и L – середины сторон AB и BC основания призмы, E и F – точки пересечения прямой KL соответственно с продолжениями сторон DA и DC. Сечением является пятиугольник KLMD1N, площадь которого можно найти. Можно сначала вычислить площади треугольников EFD1 и LFM,а потом от площади первого треугольника вычесть удвоенную площадь второго (поскольку треугольники LFM и EKN равны). Этот способ решения вы разберете дома.
IV. Подведение итогов урока
Мы замечательно поработали. Те навыки, которые вы получили на уроке, помогут нам в дальнейшей работе. А чтобы вы их не потеряли, но продолжили развивать, выполните дома следующие задания.
V. Домашнее задание
1. Через сторону основания
правильной треугольной пирамиды проведена
плоскость перпендикулярно противоположному
боковому ребру. Сторона основания равна a,
секущая плоскость делит боковое ребро в
отношении 3 : 2, считая от вершины пирамиды. Найти
боковое ребро и площадь боковой поверхности
пирамиды.
2. (Задача 4, 1-й способ)
Рассмотрим правильную четырёхугольную призму
ABCDA1B1C1D1, диагональное сечение которой – квадрат.
Через вершину D1 и середины рёбер AB и BC проведена
плоскость. Найти площадь полученного сечения,
если AB = a.
VI. Рефлексия
С учащимися обсуждается работа на уроке; выясняется, что нового узнали.