Производная и ее приложения к решению математических задач

Цели урока:

• Образовательные:
  • закрепление и углубление знаний студентов о производной и её приложении к исследованию свойств функции;
  • формирование умений по применению знаний и способов действий в изменённых и новых учебных ситуациях.
• Развивающие:
  • развитие подсознательной активности студентов, формирование учебно-познавательных действий по работе с дополнительной и справочной литературой;
  • углубление знаний студентов о моделировании процессов действительности с помощью аппарата производной.
• Воспитательные:
  • формирование умений по рецензированию ответов товарищей и корректированию собственных ответов;
  • воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;
  • формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради;
  • воспитание дружеского отношения между студентами при проведении урока.

Студент должен знать:

• Понятие сложной функции.
• Правило нахождения  производных.
• Исследование функций с помощью аппарата производной.

Студент должен уметь:

• Находить по правилу производную функции.
• Находить критические точки.
• Находить интервалы монотонности функции.
• Исследовать функцию и троить графики.

Межпредметные связи:

• информатика: «Кодировка информации. Табличный редактор MS Excel;
• физика: «Механическое движение», «Электромагнитные колебания».

Методическое обеспечение занятия: таблички с названиями команд, раздаточный материал к уроку (см. Приложение), три вида цветных карточек

Опора на ранее полученные знания:

Темы:

•  Нахождение производных элементарных функций.
•  Таблица производных.

ХОД УРОКА

«Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой-нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа,
как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине XVII века»

Ф. Энгельс

I. Вступительное слово преподавателя о роли понятия «производная» в науке и практике

Исторически понятие производной возникло из практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной материальной линии, а та же тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике.

II. Работа преподавателя с группой

Группа заранее поделена на четыре команды, сидят студенты уже по группам, на партахтаблички с названиями команд. Названия команд называются на занятии впервые. Состав каждой команды: капитан – 1, штурман – 1, члены экипажа – 4.

• Команда № 1: Производная
• Команда № 2: Возрастание функции
• Команда № 3: Экстремумы функции
• Команда № 4: Наибольшее и наименьшее значения

Преподаватель даёт установку: если какая – то команда затрудняется в выполнении задания, то осуществляется «сигнал» карточкой красного цвета, а если задания выполняются успешно, то осуществляется «сигнал» карточкой зелёного цвета.

Задание №1. «Большому кораблю большое плавание»

К доске вызываются капитаны  команд. Работают только капитаны у доски. Оставшаяся часть группы (её действиями руководит штурман) делает записи в тетрадях следом за капитанами.

Капитану № 1

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 1 – 2х – х² на
2. Вашему вниманию предложена заполненная обобщающая таблица. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными. Ответы обоснуйте

3. Найдите интервалы монотонности функции f(x) =

Капитану № 2

1. Исследуйте функцию у = х³ – 4х² + 3х

2. Найдите промежуток монотонности функции у =

3. Заполните обобщающую таблицу:

Капитану № 3

1. Назовите по следующим данным промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума

2. Существует ли математическая запись между определением производной на аналитическом языке и графическом языке. Если да, то в чём она заключается?

3. Найдите область определения функции у =

Капитану № 4

1. Исследуйте  на экстремум функцию у = –

2. Предложена обобщающая таблица. Проверьте правильность её заполнения.

3. Покажите, что функция у = х⁵ +6х³ возрастает на всей числовой прямой

Задание № 2. Тестовая работа по вариантам

Работает вся группа. Тест выполняется на листочках и затем сдаётся на проверку преподавателю. Можно сделать взаимопроверку по группам, или же самопроверку, но всё равно с последующей сдачей листочков преподавателю.

Вариант 1. Найти производные функций.

Вариант 2.

Задание 3. «Трудный вопрос»

Капитаны команд берут со стола преподавателя карточки с заданиями. Предложенные задания решает вся группа, сидя на местах. После решения заданий, каждая группа представляет своё решение с полным выделением тех математических знаний, которые приходилось применять при решении. Преподаватель осуществляет корректировку сформированных способов действий, обращает внимание на моменты, которые должны были вызвать затруднения у команд. Хорошо провести это задание под лёгкую инструментальную музыку и при этом ограничить время выполнения заданий, ведь от этого в конце занятия будут зависеть оценки.

III. Подведение итогов занятия. Рефлексия

Преподаватель: мы сегодня на занятии выполняли

• исследование функций
• применяли аппарат производной к исследованию  функций.
• осуществили пооперационный контроль за выполненными действиями
• делали выводы относительности правильности выполнения операций
• вы пытались найти ошибку в рассуждениях своих товарищей

Подумайте и ответьте на такие вопросы:

– Что дало мне сегодняшнее занятие?
– Чем ценен для меня изученный материал?
– Как я оцениваю свою работу на занятии? (Cтуденты должны поднять карточку соответствующего цвета, т.е. как бы выставляя себе оценку: 5, 4, 3)
– Ощущаю ли я состояние усталости, тревожности, беспокойства?
– Испытываю ли я эмоциональный подъём, чувство удовлетворения от урока?