Дифференциальное исчисление - это раздел анализа математического, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применения производных к исследованию свойств функций.
Центральные понятия дифференциального исчисления - производная и дифференциал - возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них - физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно одну из них.
Будем вслед за итальянским ученым Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Пусть t- время, отсчитываемое от начала падения; a s(t)- пройденное к моменту t расстояние. Галилей экспериментально нашел, что зависимость s(t) имеет следующий простой вид:
где t-время в секундах, а g- физическая постоянная, равная примерно 9,8 м/с2.
Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t)? Ясно, что, зная зависимость s(t), т.е. закон движения падающего тела, мы в принципе должны иметь возможность получить отсюда и выражение для скорости v(t) как функции времени.
Попробуем найти зависимость v от t. Будем рассуждать следующим образом: фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h- небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдет путь, равный s(t + h) — s(t). Если промежуток времени h очень маленький, то скорость тела за время h не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если h мало, то приближенно
или
причем последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше h (чем ближе величина h к нулю). Значит, величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства (2) отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t + h, когда величина h стремится к нулю. Сказанное записывают в виде
Проведем указанные в соотношении (3) вычисления, исходя из найденной Галилеем зависимости
Сделаем сначала элементарные вычисления:
а теперь, разделив на h, получаем
Когда h стремится к нулю, второе слагаемое записанной справа суммы тоже стремится к нулю, а первое остается постоянным, точнее, не зависящим от величины h, поэтому
нашли закон v(t)=gt изменения скорости свободно падающего тела. Обратите внимание, формула (3) одновременно дает и определение, и правило вычисления значений v(t) мгновенной скорости изменения функции s(t).
Поскольку скорость v(t) сама есть функция времени, то можно было бы поставить вопрос о скорости ее изменения. В физике скорость изменения скорости называется ускорением. Таким образом, если v(t) - скорость как функция времени, то, рассуждая как и при выводе формулы (3), для мгновенного ускорения а(t) в момент времени t получаем выражен
Посмотрим, что дает эта формула для случая свободного падения, в котором, как вычислили, v (t) = gt:
и, поскольку g - постоянная, то из (4) получается, что a (t) =g, т. е. ускорение свободно падающего тела постоянно и величина g есть та самая физическая постоянная, которая выражает ускорение свободного падения у поверхности Земли.
Нетрудно заметить полное сходство выражений (3), (4) и понять, что мы нашли общее математическое выражение для мгновенной скорости изменения переменной величины. Конечно, результат вычислений по формулам (3), (4), как убедились, зависит от конкретного вида функций s(t) или v(t), но сами операции над этими функциями, которые предписываются правыми частями формул (3), (4) одни и те же.
Обобщая сделанные наблюдения, в математическом анализе уже для любой функции y=f(x) рассматривают важную величину:
которую называют производной функции f.
Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х; последняя теперь уже не обязана иметь физический смысл времени.
Значение производной f'(х) зависит от значения аргумента х, поэтому, как и в случае скорости, производная f'(х) некоторой функции f(х) сама является функцией переменной х.
Например, если f(х) = х3, то
далее, при h, стремящемся к нулю, величина, стоящая в последних скобках, стремится к нулю, а вся правая часть при этом стремится к значению Зх2. Мы нашли таким образом, что если f(х) = х3, то f'(х) = Зх2.
В формуле (5) величину h разности (x
+ h)- х называют приращением аргумента
функции и часто обозначают символом 
х, а разность f(x + h)-f(x) обозначают
обычно через df и называют приращением функции,
соответствующим данному приращению аргумента. В
этих обозначениях выражение (5) приобретает вид:
или 
Таким образом, значение f'(х)
производной функции f(х) в точке х - это предел
отношения приращения функции 
, соответствующего смещению 
от точки х, к приращению 
аргумента х, когда 
стремится к нулю.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения, как мы теперь понимаем, дифференцирование-это определение скорости изменения переменной величины.
В дифференциальном исчислении выводятся производные основных элементарных функций. Укажем, например, что производными функций ха, sinх, cosx являются соответственно функции ахa-1, cosx и - sinx.
В дифференциальном исчислении выводятся также следующие общие правила дифференцирования (Приложение1):
|
(вынесение постоянного множителя); |
(дифференцирование суммы и разности функций); |
|
(дифференцирование произведения функций); |
|
(дифференцирование частного функций). |
Наконец, справедливо также следующее
важное правило дифференцирования сложной
функции: если y=f(u), а u=
(х), то производная функции f((х)) равна (f((x)))’=f ’((x)) . ’(x).
Общие законы дифференцирования существенно облегчают отыскание производных а для любых комбинаций элементарных функций делают дифференцирование столь же доступной операцией, как и арифметические действия для человека, знающего таблицу умножения.