Советы по установлению добрых отношений с параметрами

Более 10 лет я преподаю математику и физику по программе углубленного изучения данных предметов с 8-го по 11-й класс. Мне нравятся мои ученики, радуют их результаты последующего обучения в лучших вузах Москвы и Санкт-Петербурга, а когда меня спрашивают о самых сложных этапах работы, то я неизменно отмечаю математику в 8 классе и физику в 9 классе. Если на этих этапах не формируется умение самому себе задавать вопросы и искать самостоятельно на них ответы, ученики сталкиваются с большими проблемами в работе с нестандартными заданиями в старшей школе.

В выпуске 2001 года в моем классе училась прекрасная девочка Вика, обладавшая множеством талантов: она замечательно танцевала, хорошо рисовала, а также умела критически взглянуть на самые разные проблемы. Сейчас Вика заканчивает МАИ, а многочисленные беседы, инициированные ею в классе, позволяют мне лучше понимать моих нынешних учеников. Сразу отмечу, что в том выпуске были и более способные к математике ребята, которые поступили на мехмат МГУ, однако, опыт моей работы подсказывает, что ориентироваться на их уровень понимания проблем на начальном этапе обучения нельзя.

Контрольные работы с 8 класса я проводила по следующей схеме: у ребят был избыточный набор заданий, которые оценивались различным числом баллов, и для получения оценки “отлично” можно было выбрать самому различные задачи. И практически никто из учащихся не выбирал задания с параметрами. Мне приходилось придумывать самостоятельные работы, состоявшие только из подобных задач, фактически переходя от демократии к диктатуре. Ситуация стала меняться к лучшему после разговора именно с Викой. Она старательно и честно рассказала о всех “глупых” вопросах и сомнениях, которые вызывали мои задания, а потом на дополнительных занятиях со всем классом выяснилось, что в большей мере эти же проблемы возникали и у других ребят. Разрешали мы их в ходе бесед, которые носили неформальный характер.

В данной статье курсивом выделены мысленные или прямые вопросы учащихся, а также сформулированные ими в итоге советы ( правила) по обращению с параметрами. Возможно, эти советы помогут и другим ученикам.

Четкий голос преподавателя: “Задание на доске. Приступайте к решению”. И мои глаза видят следующую запись: (а+1)· х = а² – 1? Что нужно делать? .. Кажется, я отвлеклась, что-то пропустила. Что я могу? Раскрыть скобки, разделить, умножить, сложить? Что на что? Что вначале: умножить или все же не трогать скобки? И зачем? Похоже, без повторной формулировки задачи не обойтись. “Что это?”, - вопрос соседу. И его грустная констатация: “Опять уравнение с параметром”. Наводящий вопрос соседу: “Параметр – это что???”. - “Буквочка, не помнишь?”?! Но их здесь две! И в тот момент, когда ты уже отказалась от борьбы, откуда-то изнутри возникает фраза “Никогда не сдавайся!”.

После подобных размышлений Вика сама решила постараться определить, что же мешает понять условие задачи. Правда, на это ушло несколько дней домашней работы и консультаций с учителем.

Начнем с другого, что я в этом задании понимаю. На доске написано УРАВНЕНИЕ.

Вика хорошо училась в 5-7 классе, по математике у неё были только пятерки. Да и заглянуть в сохранившиеся учебники прошлых лет труда не составило.

Математика 5. Автор Н.Я. Виленкин.

- Да, тогда я занималась по понятному учебнику.

“Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти”. “Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения”. “Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня)”. А в учебнике 7 класса появляется дополнительное пояснение: буква скрывает под собой неизвестную величину; равенства бывают с одной или двумя неизвестными величинами.

- А с тремя бывают? А с десятью?

- Мы, оказывается, уже “проходили” линейные уравнения с одним и с двумя неизвестными? Вспоминаю: х + 3 =5 , х + у =5 тоже уравнения.

“Решением уравнения называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство”.

У нас на доске равенство с двумя буквами! Мы на верном пути и сейчас получим способ борьбы с ним.

А сколько таких пар существует? И как их найти? Попробуем подобрать: х₁ =2, у₁ =3 – не подходит, х₂ = 2, у₂ = 2 – сошлось!

-Всё?

- Нет, х₃ = 3, у₃ = 1 – тоже подходящая парочка. Как же учили? у = 4-х. Берем любое х, получаем любое у. Как красиво записать ответ? Ага, х R, у R. Кажется, я подразумевала не то, х – то я могу взять любое, а у для него определяется по правилу

у = 4 – х, у считается по формуле.

-Да, между переменными есть связь, они подчиняются определенному закону.

-Понятно, значит х можно брать любое, а у вычислять по формуле.

- Необязательно. Зная у, можно найти для него подходящее х, обращающее уравнение в верное числовое равенство. Решая уравнение с двумя переменными, мы пытаемся установить закон, который связывает их.

- А всегда ли этот закон существует? х + у = х + у. Здесь я не промахнусь, записав х R, у R. Красота! Бери х – любое, бери у – любое – и всё получается. Свобода! х и у свободны друг от друга, между их значениями нет связи. Вот бы таких уравнений побольше на уроках предлагали!!! Но, кажется, эти уравнения имеют и другое название…

- А бывает ли так, что для одной неизвестной величины закон писан, а для другой нет?

- Рассмотри уравнение (х + 1) ((у+1)(у-1) – у²) =0.

- Как там говорилось на кружке? Раскрою скобки. Я получаю равносильное уравнение

(х +1) (-1) = 0. (Красивое слово: равносильность, там еще произносили слово транзитивность, надо как-то перенести занятия по танцам, а то я посещаю только половину занятий кружка и не всё понимаю). А где же y? Оказывается равенство от него не зависит, y может быть любым. Что же получается? Решением уравнения будет любая пара чисел, в которой первое число, соответствующее x, равно –1. (-1; y – любое), (-1; y I R), а лучше запишем так, как уже опробовали ранее: (-1; y), где yI R.

Попробуем подвести первые итоги. Уравнения с двумя “буквами” мы уже встречали, правда, называли их уравнениями с двумя неизвестными. Упорядоченные пары значений переменных, при подстановке которых в уравнение мы получаем верное равенство, называются решениями уравнения. Решая уравнение с двумя переменными, мы старались найти все такие возможные пары или доказать, что их вообще не существует.

И еще остается проблема представления, предъявления решений, если их очень много или даже бесконечно много.

Рассмотрим простейшее линейное уравнение с двумя неизвестными: x + 2y =1 (1). В этом уравнении переменные величины x и y совершенно равноправны.

x = 1 – 2y, а Тогда решения уравнения – пары значений: а) (1 – 2y; y), где y I R; или же б) (x ; ), где x I R. Пар значений подобного вида бесконечно много, а задают они и в форме а) и в форме б) одно и то же множество решений.

Упорядоченной паре значений переменных можно сопоставить координаты некоторой точки в декартовой системе координат, тогда каждому решению уравнения (1) соответствует точка на этой координатной плоскости. Всё же множество решений задает некоторую прямую на координатной плоскости Oxy.

- Значит, если переменных две, то решений бесконечно много?

Уравнение с двумя переменными не обязательно должно иметь бесконечно много решений, например, уравнение x² + y² = 0 имеет 1 решение – пару значений переменных (0;0), а уравнение x² + y² = -1 вообще решений в действительных числах не имеет.

- Всё это прекрасно, но пока что нам нигде не встречалось зловредное слово параметр. Для чего использовать его, когда так просто сразу обе переменные величины назвать неизвестными?

Ограничимся присутствием двух букв в записи уравнения. Что означает разделение их на два класса – неизвестная величина и параметр?

- Да зачем их вообще разделять?

- Давай попробуем поразмышлять. Вот известный тебе закон Ома: I = U/R. Что изменится, если ты его запишешь в виде: R = U/I? Чем отличается одна форма представления закона от другой? Первую форму записи можно трактовать как зависимость силы тока от напряжения и сопротивления, а вторую как зависимость сопротивления от напряжения и силы тока. С точки зрения физики, имея проводник некоторого сопротивления и меняя приложенное к нему напряжение, мы исследуем силу тока в электрической цепи. В приближении, что R = const, эта форма записи четко разделяет переменные: аргумент функции– независимая переменная U, R – неизвестное, но постоянное значение, I = I(U). Физическая величина сопротивление R в нашем приближении не зависит от силы тока и приложенного напряжения. Однако, есть и более сложные ситуации, когда сопротивление нелинейных элементов в электрической цепи зависит от приложенного напряжения. Таким образом, исследователь, изучая некоторую проблему, ищет связь между физическими величинами, одна из которых меняется им в ходе эксперимента, а другая от неё зависит.

- Кстати, в классической физике физической величиной, которая является независимым аргументом, безусловно было время. И основной задачей механики было изучение движения одних тел относительно других с течением времени.

Параметр – это фиксированное, но неизвестное число. Для этапа представления результата признание одной величины неизвестной переменной, а другой фиксированным неизвестным числом позволяет сделать вывод о том, что при решении уравнения мы должны разрешить параметру “носить маску неизвестности” буквально до последнего мгновения, до ответа. Как видно на примере даже самых простых заданий, мы обычно решаем различные классы задач, делая предположения о том, какие значения может принимать параметр. Результат же нашей работы позволяет для любого допустимого значения параметра выбрать среди исследованных классов задач ту, что соответствует выбранному числовому значению параметра. Мы должны получить неизвестную величину из уравнения в виде некоторого выражения, возможно многозначного, которое может зависеть от параметра. Если параметр “сбрасывает маску”, то есть мы приписываем ему определенное численное значение, то правильно записанный ответ позволяет при подстановке этого численного значения в формулы, найти числовое решение уравнения, то есть значение неизвестной переменной.

- Вспомню запись на доске (a + 1)· x = a² – 1.

Есть ли правило, которое позволяет одну величину считать в этом уравнении неизвестной, а другую параметром?

- Когда речь идет о задачах, предлагаемых на уроках математики, выбор чаще всего определяется автором задачи, желаемой для него формой представления результата. Кстати, если посмотреть на формулы, задающие физические законы, то мы можем увидеть число буквенных обозначений, намного превышающих два. Так что, по сути, мы имеем дело с решением задачи со многими переменными или с несколькими значениями параметра.

Давай попробуем сыграть в две различные игры.

Правила 1 игры: x – неизвестное, а – параметр, мы хотим установить закон, позволяющий по значению а, находить значения x, превращающие уравнение в верное равенство при одновременной подстановке в него численных значений а и x. Переменная х входит в уравнение в первой степени, относительно х это уравнение – линейное.

- Мы можем рассматривать х в качестве неизвестного сомножителя в уравнении на доске!

- Всегда ли, задав произведение и один из сомножителей, мы можем найти другой? Увы, нет. Представь, что ты решаешь уравнения:

I. 2 · x =6, x = 3.

II. 0 · x = 4 - ни одного х для обращения уравнения в верное равенство подобрать не удается

III. 0 – x = 0 - любое х обращает уравнение в верное равенство.

- Но ведь у нас нет чисел, а стоит это непонятное”фиксированное в маске” a.

- А мы на его загадочность и таинственность даем адекватный ответ, как бы устанавливая фильтры, проходя через которые фиксированный незнакомец сообщает интересующую нас информацию.

Вход для a + 1 = 0

Сюда может попасть только a = -1. Во что превратится уравнение при a = -1? 0 · x = 0. В него можно подставлять любое x , равенство при этом остается верным.

Вход для a + 1 0

Так как a + 1 ? 0 , то дробь, определяющая x, существует. Теперь можно подумать и над тем, как её упростить: x = a – 1.

Мы готовы теперь к тому, что а “скинет” свою маску.

Ответ: если a = -1, то решением уравнения является любое действительное число, а если a -1, то, зная это a, можно найти x, обращающее уравнение в верное равенство, пользуясь формулой x = a – 1.

Полученные результаты можно наглядно трактовать и с помощью графических методов. Давайте введем координатную плоскость Oax; ось абсцисс – Oa, ординат – Ox. На этой плоскости удобно изобразить линии, позволяющие определять по известному значению a удовлетворяющие уравнению неизвестные значения x. Именно по этой причине мы выбрали для представления значений a ось абсцисс, а значений x – ось ординат. У нас есть две зависимости: x R при a = -1 и x = a – 1 при a R, a -1.

- Так сколько же у нас решений? Два или бесконечно много?

- Для ответа на твой вопрос подумаем над тем, что скрывается за формулировкой, часто нас терзающей: “Сколько решений имеет уравнение?”. Пусть это будет наш “друг”

(а+1)х = а² – 1. Сколько одновременно значений a можно в него подставлять, чтобы искать x. Ответ элементарно прост: одно. А вот сколько при этом а будет получаться устраивающих нас значений x , столько и будет решений у нашего уравнения. Из рисунка 2 следует, что при любом a -1 уравнение имеет ровно одно решение (одному значению a соответствует одно значение x), а при a = -1 решений бесконечно много (a = -1 соответствует любое действительное x).

- Зачем на прямой x = a – 1 изображены стрелочки?

- Они показывают, что при a = -1 на этой прямой нам в поисках x находиться нельзя.

- А нельзя ли их заменить привычной выколотой точкой?

- Нет, так как тогда эту точку мы должны будем отнести и к прямой a = -1, а на этой прямой запрета x принимать значение –2 нет.

Устанавливаем правила игры №2: a – неизвестная переменная, x – параметр.

Мы хотим установить закон, позволяющий по значению x находить значения а, превращающие уравнение в верное равенство при одновременной подстановке в него численных значений a и x.

Неизвестная переменная a входит в уравнение во второй степени, относительно a это уравнение – квадратное. Преобразовав его к виду , получаем

a₁ = - 1; a₂ = x + 1. Решение a₁ уравнения не зависит от значения параметра x, а решение a₂ получается различным для различных x.

- Мы готовы сформулировать ответ: для всех действительных значений параметра x, входящих в уравнение, его решениями будут два значения a₁ = - 1; a₂ = x + 1, то есть каждому значению параметра x соответствует два различных значения a, превращающих уравнение в верное равенство.

- Нет ли неточности в нашем ответе?

- Есть. Оказывается, что при x = -2 a₁ = a₂ .

Представим результаты игры №2 на координатной плоскости Oxa, по оси абсцисс откладываем значения параметра x, по оси ординат – значения переменной величины a.

Для каждого x ? -2 существуют два значения a, которые при подстановке с соответствующим x в исходное уравнение обращают его в верное равенство, значению x = -2 соответствует только одно значение a = -1.

На первое знакомство с параметром потрачено немало усилий. Но, возможно, “сольются тысячи дорог в один великий путь”, а предложенные для сравнительного анализа рисунки 2 и 3, точнее, элементы симметрии этих рисунков при изображении их в одной системе координат, дадут возможность начать разговор о таком важном понятии в математике как обратная функция и условия её существования.

Советы по установлению добрых отношений с параметрами.

1. Не бойся “незнакомца в маске”.
2. Всегда анализируй условие поставленной задачи.
3. Различай параметр и неизвестную величину.
4. Подумай о том, кто в поставленной задаче определяет правила “игры” - ты или автор? До какой степени ты свободен в выборе способа решения и представления результата?
5. Если установил, что в задаче играет роль параметра, постарайся через него выразить неизвестную величину.
6. Обращайся с параметром деликатно, проверяй возможность совершения тех или иных действий.
7. Учись проводить разветвления в ходе решения задачи, качественно изменяющие его в зависимости от возможных численных значений параметра. Предлагай испытания для параметра, заставляющие его “снимать маску”.
8. Старайся привлекать графики для получения решения и интерпретации результатов.
9. Привыкай к использованию координатной плоскости, в которой по оси абсцисс откладывается параметр, а по оси ординат – неизвестная переменная.
10. Особое внимание уделяй представлению ответа, он может быть объемнее решения.
11. Не избегай встреч с параметром, не пасуй перед трудностями!

Самое интересное может скрываться за трудно открываемыми дверями…