Материал данной статьи может использоваться при организации факультативных занятий или элективного курса для учащихся девятых классов. Целью такого занятия является обобщение известных им свойств модуля квадратичной функции и её графика, а также равносильных переходов при решении иррациональных неравенств.
Включение параметра в условие задачи ставит учащихся перед необходимостью проводить сравнительный анализ поведения функций в зависимости от возможных значений параметра, составлять системы необходимых и достаточных условий для выполнения требований предложенного задания. Кроме того, умение находить и применять различные способы решения достаточно простой задачи, переформулировать условие задачи в иных терминах развивает навыки творческой работы при столкновении учеников с нестандартными заданиями.
Исходная задача. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
3- | х-а| >х2 имеет хотя бы одно отрицательное решение.
1 способ. Раскрытие модуля по его определению и использование свойств графика квадратичной функции.
Данное неравенство будет иметь хотя бы одно отрицательное решение, если хотя бы одно решение имеет любая из систем неравенств I или II.
I: 
II: 
Пусть f(x,a)=x2 + x – a – 3 = (x+0.5)2 -a-3.25,
g(x,a) = x2 – x + a – 3 = (x-0.5)2 + a - 3.25.
Исследуем систему I. Так как она требует
одновременного выполнения условий х >= а и х < 0,
то при а >= 0 у неё нет решений. Предположим, что а
< 0. Семейство парабол, определяемых функцией
f(x;a), в системе координат Оху имеет вершину на
прямой х = -0.5 и для того чтобы первое неравенство
системы выполнялось, ордината вершины параболы
должна быть отрицательной, откуда -а - 3.25 < 0, т.е.
а > -3.25 (см. рис.1а). При этом условии неравенство
(1) будет иметь отрицательные решения, однако, мы
должны ещё добиться выполнения требования х >=
а. Очевидно, что если а 
(-3.25;-0.5] , то в решениях (1)
содержатся х >= а. При а (-0.5;0) для наличия решений у системы I мы
должны потребовать выполнения необходимого и
достаточного в этом случае условия f(a;a) < 0 . f(а;а)
= а2 - 3. 
Для всех а (-0.5;0)
f(а;а) < 0 и, следовательно, реализуется ситуация,
изображенная на рис.1б. Таким образом, система I
будет иметь решения при а (-3.25;0).
Исследуем систему II. При а >= 0 она сводится к
системе
имеющей
решения при g(0;а) < 0 (см. рис.2а).Так как g(0;а) = а-3,
нас устраивают а
[ 0;3). При а < 0 мы получаем систему условий 
Устраивающий нас
случай соответствует рис.2б. Необходимым и
достаточным условием для наличия решений этой
системы является выполнение неравенства g(a;a) < 0;
g(a;a) = a2 - 3, следовательно, 
Объединяя значения а,
полученные при исследовании системы I и системы
II, приходим к выводу, что условию исходной задачи
удовлетворяют все а (-3.25;3).
2 способ. Использование координатной плоскости Оха.
Разрешим совокупность систем I и II, представленных ранее, относительно параметра а.
I 
II 
Изобразим в координатной плоскости Оха множества точек, соответствующие решениям систем I и II, предварительно преобразовав первые неравенства систем к удобному для этой цели виду: a > (x+0.5)2 - 3.25 и
a < -(x-0.5)2 + 3.25.
Множеству точек, соответствующему решению системы I, принадлежат точки координатной плоскости Оха, лежащие выше параболы, задаваемой уравнением а = (х+0.5)2 - 3.25, не выше прямой а = х и имеющие отрицательные абсциссы. Множеству точек, соответствующему решению системы II, принадлежат все точки координатной плоскости, лежащие ниже параболы а = -(х-0.5)2 + 3.25, выше прямой а = х и имеющие отрицательные абсциссы. Объединение множеств точек, соответствующих решениям систем I и II , изображено на рис.3. Ординаты точек указанного множества образуют интервал (-3.25;3). Все значения а, принадлежащие данному интервалу, представляют множество решений исходной задачи. Ответ: -3.25 < a < 3.
3 способ. Привлечение решений иррациональных неравенств.
Значения а, при которых исходное неравенство имеет отрицательные решения, можно получить, исследуя совокупность систем I и II.
I: 
II: 
Решим квадратное относительно х неравенство (1). D = 4а + 13. При D <= 0 неравенство (1) решений не имеет. При D > 0, т.е. при а > -3.25 решениями неравенства будут все значения х из интервала (х1;х2), где
Поскольку х1<0,
среди решений неравенства будут отрицательные.
Определим, при каких а среди отрицательных
решений неравенства будут содержаться решения,
удовлетворяющие условию х >= а. Очевидно, что при
а >= 0, отрицательные значения х неравенству х >=
а не удовлетворяют.
При а < 0 нас устраивает взаимное расположение интервала (х1;х2) и точки а на числовой оси, изображенное на рис. 4а,б,в, не устраивает - на рис. 4г.
Допустимые отрицательные значения а находим из
совокупности условий: 
Решаем совокупность неравенств: 
Еще раз следует отметить необходимость соответствия условию D > 0, т.е. выполнение строгого неравенства а > -3.25, что позволяет правильно обозначить промежуток устраивающих систему
I значений параметра а: а (-3.25;0). Рассмотрим неравенство (2)
системы II. D = 13-4а, при D <= 0 это неравенство
решений не имеет. При D > 0, т.е. при а < 13/4,
решением неравенства будет промежуток (х3;х4),
где 
Этот промежуток
содержит отрицательные значения, если х3 <
0, т.е. при а < 3. При этом можно подчеркнуть, что 
Отрицательные
значения х, удовлетворяющие неравенству х < а,
существуют, если при выполнении условия а < 3
справедливо неравенство х3 < а.
Учитывая одновременно условия а < 13/4( D > 0 ), a
<3 (x3 < 0 ), 
получаем, что система II имеет решения
при 
Объединяя
множества значений параметра а, полученные при
решении систем I и II, имеем: условию задачи
удовлетворяют все а (-3.25;3).
4 способ. Привлечение элементов графического метода.
Пусть f(x)=3 - x2,
g(x) = | x-a| . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x),
исследуя их взаимное расположение в зависимости
от значений параметра а (см. рис. 5).
II. Определим а1 из условия: график функции y = g(x) проходит через точку с координатами (0;3);g(x) = a1-x при x < a1. 3 = a1 - 0, a1 = 3.
III. Прямая, касательная к квадратичной параболе, имеет с ней одну общую точку. а2 определим из условия, что квадратное уравнение 3 - х2 = х - а2 имеет единственное решение. D = 4a+13, D = 0 при а2 = -3.25. Итак, исходное неравенство имеет хотя бы одно отрицательное решение при -3.25 < a <3.
Решение задач с параметрами помогает ученикам приобретать еще в рамках среднего учебного заведения навыки исследовательской работы. Одной из ее особенностей является сочетание двух как дополняющих, так и в ряде случаев исключающих друг друга факторов: поиска общего метода решения задач определенного класса и использование в конкретной задаче наиболее простого, красивого и, возможно, искусственного приема решения.
5 способ. Использование схемы равносильного перехода при решении неравенств, содержащих модуль, с последующим сравнением нулей квадратичной функции.
Во многих случаях удобно воспользоваться
равносильным преобразованием неравенства 
Сначала
рассмотрим громоздкое аналитическое решение,
использующее данный прием.
Условие исходной задачи можно переформулировать теперь следующим образом: при каких значениях параметра а система неравенств (I) имеет хотя бы одно отрицательное решение. Область определения выражений в (I): -3.25 <= а <= 3.25.
Пусть 
В этих
обозначениях система (I) принимает вид: 
Поиск
отрицательных решений х требует совместного
выполнения неравенств: x > x1, x < x2, x
> x3, x < 0, поскольку x4 > 0 для всех
значений а, при которых определен 
Найдем, при каких а х2 < 0.
Из двух
условий: x < x2 и x < 0 при a<-3 более строгим
является требование x < x2. Для наличия
решений у системы необходимо выполнение условия
х3 < х2, поскольку на области
определения рассматриваемых выражений при а 
-3.25 х1 < х2.
Определим, какие из значений а (-3.25;-3) удовлетворяют неравенству
х3 < х2. 
Данное неравенство легко решается
методом возведения в квадрат 
Следовательно, при а (-3.25;-3) система неравенств (I)
имеет отрицательные решения. Если х2 >= 0,
то для существования отрицательных решений у
системы I должна быть совместна система
неравенств 
х1
< 0 для всех a [-3.25;3.25]. Отрицательные решения
получившейся системы неравенств будут при х3 <
0, т.е. при -3.25 <= a <3. Поскольку х2 >= 0 при а
>= -3, мы приходим к выводу, что при а [-3;3) система неравенств (I)
также имеет отрицательные решения. Окончательно
получаем ответ, совпадающий с уже полученным
ранее четырьмя предыдущими способами, объединяя
найденные промежутки (-3.25;-3) и [-3;3).
6 способ. Схема равносильного перехода с избавлением от модуля и свойства графиков квадратичной функции.
И, наконец, приходим к рассмотрению самого короткого и красивого способа решения исходной задачи.
Для выполнения условий задания у неравенств системы должно быть хотя бы одно совпадающее отрицательное решение. Ответ на вопрос задачи получаем, сравнивая взаимное расположение парабол, задаваемых функциями y = x2 + x и y = x2 – x, с соответствующими горизонтальными прямыми y = a + 3 и y = - a + 3. Так как абсцисса вершины первой параболы отрицательна (x0 = -0.5, ветви параболы направлены вверх), то отрицательные решения у первого неравенства будут при a + 3 > y0 = - 0.25, то есть при
a > -3.25. Нули другой квадратичной функции x1 = 0, x2 = 1, ветви соответствующей параболы направлены вверх. Отрицательные решения у второго неравенства получаются при –a + 3 > 0, то есть a < 3.
Графики двух функций y = x2 + x и y = x2 – x пересекаются в начале координат. Первое неравенство системы начинает иметь помимо отрицательных положительные решения при a > -3, при этом у второго неравенства уже есть отрицательные решения. При a = -3.25 x = - 0.5 - решение второго неравенства. Следовательно, при -3.25 < a <3 система неравенств имеет отрицательные решения.