Говоря о цели общего развития школьников, обучающихся по системе Л.В.Занкова, я уделяю внимание развитию не только учебных умений, но и творческой активности, логического мышления, поисковой деятельности учащихся. Хочу обратить ваше внимание на подготовку учащихся к решению уравнений.
Работа по решению уравнений на уроке математики помогает осознать взаимосвязи между компонентами действий, освоить различные способы вычислений, ознакомиться с математическими свойствами и законами, решать задачи.
Первое знакомство с уравнениями происходит при изучении темы "Сложение и вычитание" (еще в первом классе), в качестве особых равенств, для уяснения взаимосвязи между компонентами действий.
Поиск начинаю вести с наблюдения за равенствами:
5+2=6
4+3=7
6+3=9
Предлагается учащимся найти неверное равенство. Выделение неверного равенства 5+2=6 позволяет формировать и практические умения в выполнении математических действий, и теоретические знания о верных и неверных равенствах, компонентах действий. В верных равенствах устанавливается взаимосвязь между действиями сложения и вычитания. Выясняем, что превращение неверного равенства в верное возможно несколькими способами:
1 способ - изменить 1-ое слагаемое: 4+2=6
2 способ - изменить 2-ое слагаемое: 5+1=6
З способ - изменить значение суммы: 5+2=7
Способ подбора при помощи натурального ряда чисел в дальнейшем определит и первый способ решения уравнений.
?+2=6 5+?=6 5+2=?
Даже на начальном этапе знакомства с уравнениями последняя запись, получившаяся у детей, не вызывает затруднений в прочтении и последовательном выполнении получившегося действия, основанном на понимании смысла сложения, отработке навыка сложения, когда выражение заменяется его значением. Остальные же равенства не дают возможность оценить его верность или неверность при отсутствии одного из компонентов. В дальнейшем различение этих действий поможет детям решать некоторые усложненные уравнения, упрощая их или усложняя простые:
Х - (7+5)= 18 (6+8) – а =4
- Какое выражение в уравнении можно заменить его значением?
20 – а = 4 9 + е = 35
- Какой компонент уравнения можно заменить математическим выражением?
Введение букв латинского алфавита для обозначения неизвестного числа поможет осознать смысл решения уравнения, его отличия от числовых выражений.
- Есть ли среди равенств уравнения?
5 + 3 = 8
4 – а = 29 – 5 = 4
х + 4 = 8е – 5 = 2
2 + 3 = 5
Для лучшего осознания взаимосвязи между компонентами действий учащиеся пытаются найти недостающий компонент уравнения так, чтобы уравнение имело смысл:
А + 2=... 5 – е =... 4 + х =...
Использование таблицы сложения для вычитания на основе взаимосвязи компонентов этих действий позволяет ученикам начать осваивать основной способ решения уравнений уже на начальном этапе. Например, составление уравнений, связанных с данными:
5 + х = 7
7 – х = 512 + х = 16
16 – х = 12
Впоследствии учащимся встречается все больше уравнение, содержащие 2–3 действия, решение которого также происходит на основе взаимосвязей между компонентами математических действий.
Начиная с задания
1) Чем похожи и различаются уравнения каждой строки?!
а + 258 = 734
b - 449 = 483
875 - с = 398k + 429 = 357 + 568
е - 368 = 274 + 319
593 - х = 823 - 437
2) Чем похожи уравнения каждого столбика?
3) Найди корни уравнений первого столбика. Сколько потребовалось выполнить действий для решения каждого из них?
4) Сколько потребуется выполнить действий, чтобы решить каждое уравнение второго столбика? Почему?
5) Какое нужно выполнить преобразование, чтобы уравнения второго столбика стали такими же, как первого? Выполни такие преобразования.
6) Реши уравнения второго столбика. Выполненные' преобразования - это часть решения уравнений?
7) Составь, запиши и реши ещё несколько уравнений.
Принципиально меняется цель работы с уравнениями. До этого момента основным направлением ее является углубление понимания взаимосвязи между обратными действиями. Теперь главным становится осознание постоянно используемого при выполнении многих математических заданий пути – последовательного пошагового упрощения исходного задания за счет выполнения тождественных преобразований.
Основным используемым приемом, позволяющим достичь поставленной цели, является сравнение уравнений, из которых одно является в каждом случае уже знакомым ученикам, а второе является новым и требует некоторого преобразования (упрощения), в результате которого оно становится аналогичным первому, которое дети уже умеют решать.
Так, в заданиях такого типа сравниваются пары уравнений, первые из которых являются простыми, а вторые усложнены за счет того, что правая часть представлена не числом, а числовым выражением.
После сравнения уравнений и выявления особенностей вторых из них по сравнению с первыми в каждой паре основное внимание необходимо сосредоточить на вопросе: “Как сделать так, чтобы второе уравнение каждой пары стало таким же как первое?”
Решение уравнений в рассматриваемых заданиях требует в качестве первого шага нахождения значения этих выражений, в результате чего получаются знакомые простые уравнения.
Знакомство учащихся с математическими законами: сочетательным, переместительным, распределительным; основными свойствами равенств дает возможность ученику найти пути преобразования, которые позволят из более сложного уравнения получить более простое.
23 * х = 253 23 * х + 92 = 253
Сравнение усложненного уравнения с более простым помогает установить, в чем заключается усложнение. Тогда и начинается поиск пути упрощения и решения уравнения.
Когда ученики будут знакомы с правилами установления порядка действий разных ступеней, то смогут не только определять, каким компонентом действия является неизвестное число, но и на каком этапе целесообразно подойти к его нахождению.
23 * х + 92 = 253 23 * 7 + 92 = 253
Неизвестное число входит в состав произведения - действие 2-ой ступени. Его значение увеличивается на 92 в левой части уравнения. При использовании 1 -ого свойства равенств уравнение приобретает вид:
23 * х + 92 – 92 = 253 – 92
23 * х = 161
Позже, когда между двумя множителями - конкретным числом и неизвестным - знак умножения не ставится, можно вернуться к пути решения на основе взаимосвязи компонентов действий:
23 х + 92 = 253
23 х = 253 – 92
когда первое слагаемое, выраженное произведением, находится вычитанием из значения суммы второго слагаемого.
Цель решения усложненных уравнений на данном этапе - нахождение различных путей упрощения.
Упражнения для наблюдения, сравнения и умозаключений поможет в формировании гибкого подхода к решению любого усложненного уравнения:
1) Найти правильный вариант решения уравнения, объяснить.
2) Какие уравнения не имеют решений? В каких уравнениях решением является любое число? Х * 1 = Х Х : Х = 1 0 * Х = 2 Х : 1=Х
5 * Х = О Х : 0 = 8
3) В каких уравнениях можно найти неизвестное число, не выполняя действий?
(х + 31) – 31 = 19 (е * 3) : 3 = 7 у + у + у = 115 * 3
(а + 8) – 47 = 12 12 * 7 = х * 7
4) Не решая, определить уравнения с одинаковым корнем:
5 а + 3 а = 32 32 – 5 а = 3 а 5 а – 3 а = 32
5) Найди уравнения, где надо найти неизвестное уменьшаемое:
З х – 20 – 55 9х – 2х – 10 =11 40 – 3х = 34
6) Сравни:
(х + 5) * 4 = 12 (х + 5) * 4 = 40
В четвертом классе происходит знакомство с новым способом решения уравнений - при помощи использования основных свойств равенств.
Сначала этим новым способом решаются уравнения, которые можно решить и при помощи старых знаний (при этом часто дети считают новый способ менее удобным, требующим большего количества записей, т. к. нужна подробная запись, показывающая использование свойств равенств).
Например, решение уравнения 24х + 96 = 288 при решении на основе взаимосвязи между компонентами действий выглядит так:
24 х = 288 – 96
24 х = 192
х = 192 : 24
х = 8,
а при использовании свойств равенств так:
24х + 96 – 96 = 288 – 96
24х = 192
24х : 24 = 192 : 24
х= 8.
Но главная цель - познакомить учащихся с уравнениями, которые невозможно решить на основе взаимосвязи между компонентами действий.
Если учитель посчитает, что заданий, связанных с этим материалом, в учебнике и тетрадях недостаточно, то их количество он сможет легко увеличить за счет усложнения любого простого уравнения.
Приведем один из возможных вариантов постепенного усложнения одного и того же уравнения:
у + 7 = 13; у + (5 + 2) = 13; у + 7 = 22 – 9;
3у – 2у + 7 = 13; 5( у + 1) – 4 у + 2 = 13
и т. д. Естественно, могут быть использованы уравнения, в которых объединены 2-3 линии усложнения уравнения например, у + ( 5 + 2) = 22 – 9;
Предлагая ученикам задания, связанные с уравнениями, особенно добавляя свои задания, необходимо постоянно иметь в виду, что основная задача этой работы - не формирование навыка решения уравнений, а осознание общего пути преобразования от сложного ко все более простому.
Какого уровня сложности уравнения будут разбираться в каждом конкретном классе, зависит не столько от материала учебника, который дает только усредненную ориентировку, сколько от особенностей класса. Учитель сам определяет уровень трудности, который нужен его детям.
Жизненная ситуация, заложенная в условии задачи, приводит к конкретному конечному результату. В тех случаях, когда этот результат является не искомым, а данным, логично и удобно записать условие задачи в виде уравнения. Искомое число также содержится в условии. Часто о нем говорится "несколько", что помогает ученикам быстро его выделить. Дети с интересом меняют конструкцию задачи, чтобы быстрее обнаружить искомое:
А) "К празднику купили 19 пирожных - корзиночек и эклеров. В 2 одинаковых коробках было по 5 корзиночек. Остальные пирожные - эклеры - в 3 коробках. Сколько эклеров в 1 коробке?"
Б) "К празднику купили 19 пирожных - корзиночек и эклеров. В 2 коробках было по 5 корзиночек, а в 3 коробках по несколько эклеров. Сколько эклеров в 1 коробке?"
Задача приобретает вид:
5*2+х*3=19
10+х*3=19
х*3=19-10
х*3=9
Решение уравнения сводится к нахождению неизвестного множителя, а умение находить неизвестный компонент умножения, деления, сложения и вычитания отрабатывается на решении простых уравнений с первого класса.
Простая задача также может быть записана уравнением:
а) "Когда из трамвая вышли 6 человек, в нем осталось 32 человека. Сколько человек было в трамвае?"
б) "В трамвае было несколько человек. 6 человек вышли. В трамвае осталось 32 человека. Сколько человек было в трамвае?"
Одно и то же условие, но по-разному записанное, позволяет более слабым учащимся понять смысл задачи, увидеть последовательность происходящих событий, понять взаимосвязь между данными и искомым и даже составить план решения: неизвестное уменьшаемое находим сложением:
Х - 6=32
Х=32+6
После выполнения каждого действия в решении задачи дети должны переформулировать ее, введя в условие найденное число.
Первоначальный текст ее таков: 1 т 8 ц 56 кг яблок разложили в корзины по 16 кг и 24 кг. В корзины по 16 кг поместилась четвертая часть всех яблок. Сколько всего корзин потребовалось для упаковки яблок?
Первым действием нужно узнать, сколько яблок поместилось в корзины по 16 кг: 1 т 8 ц 56 кг : 4 = 464 кг. Вводим полученное число в задачу и получаем более простую задачу: 1 т 8 ц 56 кг яблок разложили в корзины по 16кг и 24кг. В корзины по 16кг поместилось 464 кг яблок. Сколько всего корзин потребовалось для упаковки яблок?
Следующим действием узнаем, сколько яблок разложили в корзины по 24 кг. 1 т 8 ц 56 кг - 464 кг = 1392 кг, после чего задача звучит так: В корзины по 16кг разложили 464 кг яблок, а в корзины по 24 кг - 1392 кг. Сколько всего корзин потребовалось для упаковки яблок?
После выполнения последующих действий переформулированные задачи становятся все проще для решения, пока не получается простая задача, решаемая выполнением одного действия.
Вот эти задачи для данного конкретного случая:
Для упаковки яблок использовали 29 маленьких и несколько больших корзин. В большие поместилось 1392 кг яблок по 24 кг в каждую. Сколько всего корзин потребовалось для упаковки яблок?
Для упаковки яблок использовали 29 маленьких и 58 больших корзин. Сколько всего корзин потребовалось для упаковки яблок?
Конечно, уровень трудности задач, с которыми будет строиться такая работа, определяет учитель в зависимости от состава своего класса.
Работа с задачами, решаемыми уравнением, позволяет учащимся лучше усваивать взаимосвязи между величинами, понимать и составлять формулы, пользоваться теоретическими знаниями, чувствовать уверенность в успехе.
Помимо этого основного направления работы с уравнениями в четвертом классе уделено внимание еще нескольким важным вопросам, связанным с ними. Это:
- проверка найденных корней уравнения;
- знакомство с уравнениями, имеющими не один корень и не имеющими корней.
• К сожалению, приходится отметить, что вопросам проверки полученных при решении любых заданий по математике уделяется совершенно недостаточное внимание и в начальной, и в основной школе. Эта ситуация относится и к проверке полученных в результате преобразований корней уравнений. Мало того, приходится сталкиваться с тем, что учитель-предметник в начале обучения в основной школе считает напрасной тратой времени такую проверку. Это тем более удивительно, что в дальнейшем в курсе алгебры во многих случаях проверка корней требуется в обязательном порядке, т. к. при использовании некоторых преобразований уравнений могут возникать посторонние корни, которые являются таковыми для преобразованного уравнения, но не являются таковыми для исходного.
Конечно, в начальной школе ученики не имеют дела с такого рода уравнениями, но воспитать привычку к выполнению проверки, научить выполнять ее правильно необходимо уже в этот период обучения. Особенно важно заняться этим в "занковских" классах, где ученики рассматривают значительно более сложные варианты уравнений, в том числе и такие, в которых переменная присутствует в обеих его частях.
Хотя ученики сталкивались с проверкой корней уравнений, начиная с первого класса, основная работа в этом направлении приходится на четвертый год обучения.