Урок-панорама "Правильные многогранники". Геометрия, 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

(Панорама – вид местности, открывающийся с высоты).

Цель урока:

  1. Ввести определения правильного многогранника. Рассмотреть свойства правильных многогранников.
  2. Ввести понятие равноугольно полуправильных и звездчатых многогранников.
  3. Познакомить учащихся с историей возникновения и развития теории многогранников.
  4. Формирование пространственных представлений учащихся.
  5. Развитие практических навыков учащихся по изготовлению правильных, равноугольно полуправильных, звездчатых многогранников.

План урок: (записан на доске).

  1. Определение правильного многогранника.
  2. Исследование возможности существований правильных многогранников.
  3. Свойства правильных многогранников. Теорема Эйлера.
  4. Тела Платона.
  5. Тела Архимеда.

Звездчатые многогранники.

Наглядности урока

  1. Диафильм И. Вейцмана «Правильные многогранники».
  2. Портреты Пифагора, Евклида, Архимеда.
  3. Плакат с эпиграфом урока.
  4. Модели параллелепипеда, призмы, пирамиды для фронтального опроса.
  5. Изображение пирамиды Хеопса.
  6. Рисунки выпуклых и невыпуклых фигур к задаче № 1.
  7. Модель трехмерного креста.
  8. Портреты Платона и Л.Эйлера.
  9. Модели правильных многогранников для каждого стола учащихся.
  10. Плакат, поясняющий название каждого правильного многогранника.
  11. Изображение 13 тел Архимеда (равноугольно полуправильных многогранников) на 3 листах ватмана.
  12. Портреты И. Кеплета, Луи Пуансо и О.Л.Коши.
  13. Плакат «Звёздчатые многогранники».
  14. Модели звёздчатых и полуправильных многогранников.
  15. Модель многогранника для задачи 3.

Эпиграф урока:

«Математика есть прообраз красоты мира».

И.Кеплер

I. Вводная часть.

Учитель: Сегодняшний урок посвящен увлекательному разделу геометрии – теории многогранников. Чем привлекательны многогранники? Они обладают богатой историей, которая связана с таким знаменитыми учеными древности, как Пифагор, Евклид, Архимед.

Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии. Рис. 1

В то же время теория многогранников – современный раздел математики, имеющий практическое приложение в алгебре, теории чисел, в естествознании, в областях прикладной математики – линейном программировании, теории оптимального управления.

П. Фронтальный опрос.

1. Что же называется многогранником? Его вершиной, гранью, ребром?

2. Какой многогранник называется выпуклым?

3. Задача 1: Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми и какие невыпуклыми? Рис. 2

4. Какие виды многогранников вы знаете?

5. Что называется призмой, параллелепипедом, пирамидой? 

Правильные многогранники. (Работа с учебником)

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

А какой многоугольник называется правильным?

Задача 2: Данная пространственная фигура называется трехмерной крест. Она состоит из 7 кубов. Почему такая фигура не может быть названа правильной? Сколько квадратов ограничивает ее поверхность? Сколько ребер, вершин и граней у этой фигуры? Рис. 3

Ответ: Эта фигура не является выпуклой, в вершинах многогранника сходится разное число ребер. Фигура имеет 30 граней: у семи кубов 42 грани, у внутреннего куба 6 граней лежат внутри фигуры, и у каждого из остальных шести кубов наружными являются только пять граней. Р = 60, В = 32. (Индивидуальное задание – 1).

Учитель: Школе Пифагора приписывают открытие существования 5 типов правильных выпуклых многогранников. Позже в своем трактате «Тимей» другой древнегреческий ученый Платон изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами. Правильным многогранником посвящена последняя, XIII книга знаменитого труда Евклида. Как называется этот труд? («Начала»). Существует версия, что Евклид написал первые 12 книг для того, чтобы читатель понял написанную в XIII книге теорию правильных многогранников, которую историки математики называют «венцом «Начал». Здесь установлено существование всех пяти типов правильных многогранников, путей их построения и доказано, что других правильных многогранников не существует. А все-таки, почему же правильных многогранников только пять? Ведь правильных многоугольников на плоскости – бесконечное число.

Исследуем возможность существования правильных многогранников. При этом будем опираться на свойство плоских углов многогранного угла.

Теорема: Сумма плоских углов выпуклого многогранника угла меньше 4d (360о).

а) Пусть грани правильного многогранника – правильные треугольники. L = 60о.

Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

60о n < 360o ,

n < 6,

n = 3, 4, 5, т.е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

б) Пусть грани правильного многогранника – квадраты. L = 90о.

Для n – гранных углов n 90о 360о,

n 4,

n = 3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами – куб.

в) Пусть грани - правильные пятиугольники

L = 180о (5 – 2) : 5 = 36о*3 = 108о, n*108о 360о

n*108о 360о  =   n = 3 - додекаэдр.

г) У правильного шестиугольника внутренние углы:

L = 180о * (6 – 2 ) : 6 = 30о * 4 = 120о

В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

(В процессе урока учащиеся в своих тетрадях заполняют таблицу. Рис. 4 На каждом столе – модели правильных многогранников).

1. Какое число вершин, ребер, граней имеют тетраэдр и куб?

2. Сосчитайте число вершин, ребер, граней октаэдра (I ряд), икосаэдра (III ряд).

Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:

эдрон – грань окто - восемь

тетра - четыре додека - двенадцать

гекса - шесть икоси - двадцать

(Запись на доске).

Для всех многогранников подсчитали число В + Г – Р, где В – количество вершин, Р - ребер, Г – граней. Получился один и тот же результат: В + Г – Р = 2. И формула эта верна не только для правильных многогранников. Доказал это соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.), поэтому формула названа его именем. Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России. Современная теория многогранников берет свое начало с его работ,

Сравните 2 столбца таблицы В и Г. Что вы заметили?

Из таблицы видно, что у куба и октаэдра одно и тоже число ребер, но у куба столько вершин, сколько у октаэдра граней, и, наоборот, у куба столько граней, сколько у октаэдра вершин. Аналогичные соотношения имеют место для додекаэдра и оксаэдра. Если центры граней октаэдра принять за вершины другого многогранника, то последний будет кубом. Куб и октаэдр называются взаимно двойственными многогранниками. Взаимно двойственными многогранниками будут также додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр двойственен самому себе. (Рассказ идет на фоне кадров диафильма И. Вейцмана «Правильные многогранники»).

IV. Тела Платона.

1. Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства. Эти многогранники носят название «платоновских» тел – по имени древнегреческого философа Платона (428 – 348 г. до н.э.), в учении которого они играли важную роль. Тетраэдр символизировал огонь, куб – землю, октаэдр – воздух, икосаэдр - воду, додекаэдр – Вселенную. Его по латыни стали называть «duinta esstntia» («пятая сущность»). Рис. 5

Тетраэдр, куб, октаэдр – это формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KАlSO4)2 ? 12 H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). (Индивидуальное задание – 2).

А теперь сосчитаем площадь поверхностей «платоновых тел».

Sтетраэдра = 4 ? (а2 : 4) = а2 (ед2).

Sкуба = 6а2 (ед2).

Sоктаэдра = 8(а2 : 4) = 2а2 (ед2).

Sикосаэдра = 20(а2 : 4) = 5а2 (ед2).

 

(Учащиеся выполняют задания самостоятельно, затем правильность его выполнения проверяется устно).

Учитель. Мы рассмотрели правильные Платоновы тела и доказали, что их существует не более пяти типов. У правильных многогранников все грани – правильные равные одноименные многоугольники и все многогранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные, но разноименные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого типа открыл Архимед (287 – 212 гг. до н.э). Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. Перечислим их.

V. Тела Архимеда.

1. Первые пять многогранников очень просто получить из пяти правильных многогранников операцией «усечения», которая состоит в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетраэдр, который имеет восемь граней, из них 4 – правильные шестиугольники и 4 – правильные треугольники, 12 вершин. Многогранник выпуклый, в каждой вершине сходится три ребра. Он называется усеченным тетраэдром. Если указанным образом срезать вершины правильных октаэдра и икосаэдра, получим усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр. Обратите внимание, что усеченный икосаэдр очень напоминает изображение футбольного мяча. Из куба и додекаэдра тоже можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр. Их плоскости проходят не через треть ребра. Рис. 6 (Индивидуальное задание – 3).

2. Если теперь в кубе провести плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины, получим еще один шестой равноугольно полуправильный многогранник – кубооктаэдр. Его гранями являются шесть квадратов и восемь правильных треугольников, т.е. грани куба октаэдра, отсюда и название многогранника. Аналогично, если в додекаэдре провести плоскости через середины его ребер, выходящих из одной вершины, получим многогранник, который называется икосадодекаэдром. У него двенадцать граней – правильные пятиугольники, и двадцать – правильные треугольники, т.е. все грани додекаэдра и икосаэдра. К этим двум последним многогранникам также можно применять операцию «усечения» вершин. Получим усеченный кубооктаэдр и усеченный икосадодекаэдр. Рис. 7 (Индивидуальное задание – 4).

3. Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом тел. Четыре оставшихся – многогранники более сложного типа. Перечислим их.

Ромбокубооктаэдр: он состоит из 26 граней, из них 18 квадратов и 8 правильных треугольников;

Ромбоикасодадекаэдр: у него всего 62 грани, из них 30 квадратов, 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников;

«плосконосый» куб: у него всего 38 граней, из них 6 квадратов, 32 правильных треугольника:

«плосконосый» додекаэдр: всего 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треугольников.

В трактате «О многогранниках» Архимед описал каждый полуправильный многогранник, дал его рисунок, а также поставил и решил задачу о количестве многогранных углов и ребер каждого многогранника. Рис. 8 (Индивидуальное задание –5).

VI. Звездчатые многогранники.

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. Что же они из себя представляют?

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.

Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр). Рис. 9 (Индивидуальное задание – 6).

(Рассказ сопровождается показом многогранников на плакате, а также их моделей).

Знакомство учащихся с литературой о правильных многогранниках.

 

Учитель: Число В – Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна 2, а для других многогранников она может принимать значения 0; -2; -4; -6.

Задача 3. Подсчитайте эйлерову характеристику данного многогранника. Рис. 10

(Эйлерова характеристика этого многогранника равна нулю)

В – 16; Г – 10; Р – 32,

В – Р + Г = 16 – 32 + 16 = 0).

Задача 4. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра. Рис. 11

Решение:

Пусть речь идет о диагоналях АС и ВД1 куба АВСДА1В1С1Д1. Требуется доказать,

что многогранник, ограниченный четырьмя треугольниками с вершинами в точках А, С, В1, Д1, является правильным тетраэдром. Но это следует из равенства шести соединяющих рассматриваемые точки отрезков: АВ, АВ1, АД1, В1Д1, В1С и СД1 (эти отрезки – диагонали равных квадратов: грани куба).

Учитель: Итак, на уроке мы как бы с высоты сегодняшнего дня рассмотрели историю возникновения и развития теории о правильных многогранниках.

VII. Домашнее задание.

«Геометрия 10 – 11», Л.С. Атанасян и др., М, «Просвещение», 2001 год

стр. 68 – 71, № 280 – 282.

VIII. Выставление оценок и их комментирование.

Литература

  1. «Геометрическая рапсодия», Левитин К.Е., М, «Знание», 1976 год.
  2. «В мире многогранников», И.М.Смирнова, М, «Просвещение», 1995 год.
  3. «Квант» № 5, 1989 год, стр.18.
  4. «История математики в школе, IX – X классы», Г.И.Глейзер, М, «Просвещение», 1983 год.