Ясно, что тема “Сравнение обыкновенных дробей” - одна из ключевых тем курса математики 5-6 классов. По учебнику Дорофеева Г.В. (и др.) эта тема изучается во второй половине курса 5 класса и в нем предлагается один подход к ее изучению, по учебнику Виленкина Н.Я. (и др.) эта тема изучается в начале курса 6 и в нем предложен совершенно иной подход. Я попыталась выстроить свою линию в изучении этой темы, которая сочетает в себе элементы, предложенные разными авторскими коллективами.
Среди учащихся встречаются и дети с хорошо развитым образным мышлением, и дети со стройным логическим мышлением. При изучении нового материала одни стремятся создать определенную картинку, которая служит им основой для рассуждений, другие стремятся упорядочить рассуждения и сформулировать правило или выстроить алгоритм, поэтому я рекомендовала ребятам по возможности опираться в своей работе на модели и коротко фиксировать свои мысли. Приведу фрагменты двух уроков, где учащимся изначально были предложены для сравнения 12 пар дробей. Доводы, которые они приводили в своих ответах, были очень любопытными и убедительными, а выводы оригинальными и интересными.
1. 
и 
Ребята вспомнили “истории” этих дробей. У них
одинаковые знаменатели, значит, и в первом и во
втором случаях предметы разделили на 5 равных
частей. Но в первом случае взяли 3 таких части, а
во втором – 2 части. Понятно, что > .
2.
и 
В этом случае в рассуждениях были также
упомянуты “истории” дробей и было замечено, что= 1, а < 1.
Значит,
< .
3. 
и
.
Здесь было замечено, что >1 а < 1. Поэтому >.
4. 
и
.
Доли, на которые разделили первый предмет,
крупнее, чем доли, на которые разделили второй
предмет. Поэтому, > .
5. 
и
.
И в первом и во втором случаях взяли по 4 доли, но
в первом случае они более мелкие, чем во втором.
Поэтому < . Хотя в данном примере дети картинку не
рисовали, но понятно, что рассуждения строились
на определенном мысленном образе. Затруднений
это задание не вызвало.
6. 
и
.
ближе к 1 чем , т.е. первая дробь отличается от 1 на 
долю, а
вторая – на 
долю. А так как < , то > .
7. 
и
.
видно, что меньше половины, а больше половины, т.е. < 
, а > .
Поэтому < 
.
8. 
и 
.
было замечено, что =
. Теперь можно сравнить дроби и ,
используя рассуждения аналогичные тем, которые
были приведены в примере 5. таким образом, > .
9. 
и .
Было замечено, что =
, а так как <, то <.
10. 
и 
.
Каждую из этих дробей можно привести к новому знаменателю.
Например, = 
= 
= … , = 
= 
= … .
Можно подобрать такой знаменатель, чтобы он был общим для обоих дробей, т.е. это будет число, которое будет делиться и на 15, и на 12. Но таких чисел будет много, например, 120, 1200 и т.д. Чтобы найти наименьшее из них, нужно осуществить упорядоченный перебор. Например, увеличивать больший знаменатель в 2 раза, в 3 раза, в 4 раза и т.д. до тех пор, пока не получим число, которое будет делиться на второй знаменатель. Оно и будет являться наименьшим общим знаменателем дробей.
15 • 2 = 30, 30 не делится на 12.
15 • 3 = 45, 45 не делится на 12.
15 • 4 = 60, 60 делится на 12.
60 :12 = 5, 5 – дополнительный множитель для дроби ; 4 –
дополнительный множитель для дроби .
= 
= 
, = 
= 
.
Так как < , то < .
В результате работы над двумя последними заданиями выстроился своеобразный алгоритм нахождения наименьшего общего знаменателя дробей.
Чтобы найти наименьший общий знаменатель двух дробей, надо:
- проверить, делится ли больший из знаменателей на меньший, если делится ,то он и будет являться наименьшим общим знаменателем данных дробей;
- если не делится, то увеличить его в 2 раза и снова проверить, делится ли результат на меньший знаменатель, если делится, то он и будет являться наименьшим общим знаменателем данных дробей;
- если не делится, то увеличить его в 3 раза и т.д.
В ходе таких рассуждений сразу находятся и дополнительные множители для дробей.
Затем был предложен более сложный случай:
10. Сравнить дроби 
и 
.
К этому примеру не применимы рассуждения,
приведенные в первых девяти случаях. Поэтому
нужно привести дроби к наименьшему общему
знаменателю. Пользуясь алгоритмом, сначала
убеждаемся в том, что 42 не делится на 30. теперь
увеличиваем число 42 в 2 раза, в 3 раза и т.д. до тех
пор, пока не найдем число, которое будет делиться
на 30. можно сделать прикидку. Так как искомое
число будет делиться на 30, то оно должно
оканчиваться нулем. Поэтому умножим 42 сразу на 5.
42 • 5 = 210. действительно, 210 : 3 = 7. значит, = 
= 
, = 
= 
. А так
как >, то > .
Такой алгоритм хорошо используется в большинстве несложных случаев, но он иногда бывает трудоемок в применении.
Например:
11. Сравнить дроби 
и 
.
Здесь рассуждения направляются в другую сторону. Наименьший общий знаменатель этих дробей должен делиться на 22 и на 26, значит, его разложение должно содержать все простые множители, входящие в разложения каждого из чисел. Так как 22 = 2•11, 26 = 2•13, то наименьший общий знаменатель дробей – это значение произведения 2•11•13, т.е. 286.
= 
= 
, = 
= 
.
Так как >, то > .
Я стремилась организовать работу учащихся таким образом, чтобы не оставить белых пятен в изучении темы. Проведенное исследование послужит хорошей базой для успешного изучения такой важной темы в математике, как “Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями”.