Применение определенного интеграла при решении задач прикладного содержания. Задачи ЕГЭ

Цель урока: Обобщения и систематизация знаний учащихся по теме.

Задачи:

Дидактические:

• закрепить полученные ранее знания и умения к решению задач прикладного характера;
• стимулировать познавательную деятельность;
• применять накопленные знания, умения, навыки в практической деятельности.

Развивающие:

• развивать мыслительную деятельность (проведение аналогии, анализ, синтез), память, внимание, логическое мышление;
• развивать познавательную активность, математическую речь;
• формировать навыки самостоятельной и практической работы.

Воспитательные:

• развивать чувство коллективизма, выслушивать ответы одноклассников;
• оценивать свою работу и работу товарищей;
• прививать интерес к предмету;
• воспитывать культуру общения, устойчивого интереса к урокам математики.

Тип учебного занятия: Урок систематизации знаний, практико-ориентированный.

Методы и приёмы обучения: Проблемно-поисковый и самостоятельная работа в группах.

Планируемые результаты обучения.

Обучающиеся должны:

иметь понятие

• о связи математики с другими науками;
• о применении определенного интеграла для решения прикладных задач;

знать

• формулы для вычисления некоторых физических величин;

уметь

• вычислять определенные интегралы;
• применять полученные знания и умения при решении задач прикладного характера.

Междисциплинарные связи:

• физика;
• информатика;
• русский язык и культура речи (правильность и содержательность изложения материала);
• иностранный язык (перевод терминов);

Внутрипредметные связи:

• единство терминологии;
• связь с предыдущим материалом (производная функции, её физический смысл; геометрический смысл определенного интеграла);
• связь с последующим материалом дисциплины (вычисление площадей поверхности и объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла).

Основные методы, применяемые на уроке:

• научности;
• наглядности;
• последовательности изложения материалов;
• преемственности;

Средства обучения: персональный компьютер, интерактивная доска, таблицы с формулами, опорные конспекты, карточки с заданиями для групп, сообщения команд.

Структура учебного занятия:

1. Организационный момент -3 мин.
2. Подготовительный этап - 7 мин.
3. Обобщение и систематизация знаний - 30 мин.
4. Подведение итогов уроков - 3 мин.
5. Информация о домашнем задании - 2 мин.

Ход учебного занятия

1. Организационный момент

Подготовить учащихся к работе на уроке.

Вступительное слово учителя. Постановка цели и задачи урока. Мотивация учащихся.

Мы с вами изучили тему "Интеграл и его приложения". Рассмотрели различные методы интегрирования. Научились вычислять площади криволинейных фигур при помощи определенного интеграла. Теперь мы сможем применить наши умения для решения практических задач.

Математика на протяжении всей истории человеческой культуры всегда была её неотъемлемой частью; она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важным компонентом развития личности. На уроке сегодня мы еще убедимся в том, что математика нам помогает познать окружающий нас мир, изучать физические законы природы.

2. Подготовительный этап

2.1. Проверка домашнего задания.

2.2. Проверка основополагающих знаний учащихся.

Проведение устного фронтального опроса:

- Что называется определенным интегралом?

- В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

- Основная формула интегрального исчисления. (Формула Ньютона-Лейбница)

- Перечислить свойства интеграла.

3. Обобщение и систематизация знаний

3.1. Выступление учащихся на тему "История развития интегрального исчисления".

Интеграл (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т.п.

Символ интеграл введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я.Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования "восстанавливает" функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И.Бернулли и Г.Лейбниц согласились с предложением Я.Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И.Бернулли.

Другие термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее "примитивная функция", которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как "начальный": F(x)= - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287-212 до н.э.). Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести.

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме площадей бесконечно большого числа бесконечно малых площадей.

Учитель. Применение определенного интеграла не ограничивается вычислением площади фигуры. Определенный интеграл помогает решать ряд физических и общетехнических задач, поэтому знания, полученные вами на этом уроке, помогут в вашей дальнейшей учебе и практической деятельности.

3.2 Работа в группах.

4. Подведение итогов урока

Ребята, наш урок подходит к концу. Итак, на сегодняшнем уроке мы еще раз обобщили и систематизировали знания по теме «Применение определенного интеграла к решению задач прикладного содержания», которые будут необходимы нам в дальнейшем. Сегодняшний урок еще раз показал необходимость освоения математических знаний для применения их в процессе дальнейшего обучения и практической деятельности. С помощью определенного интеграла мы будем в дальнейшем выводить формулы объемов тел вращения. В ходе урока были использованы ваши знания, умения и навыки, полученные при изучении нескольких учебных дисциплин: физика, русского языка, иностранного языка, информатики, геометрии.

Я думаю, что Вы не утратили интереса к науке, а напротив, будете стремиться к более глубоким знаниям и, что урок поможет в осмыслении важности её изучения для овладения качеств, необходимых современным высококвалифицированным специалистам.

5. Домашнее задание

Изучить применение определенного интеграла в физике, химии и биологии. Найти задачи по этой теме. Подготовить сообщение.

И в заключение урока я предлагаю вам заполнить таблицу, отражающее ваше состояние после урока.

Сегодня на уроке мне понравилось
Я понял(а), что мне надо разобраться в
Тему…я понял(а) хорошо
За работу на уроке я бы себе поставил(а) отметку

Спасибо всем за урок. Здоровья вам и удачного дня.