Определение степени с целым отрицательным показателем

Разделы: Математика

Класс: 8

Ключевые слова: степень числа

Класс: 8.

Предмет: алгебра.

Место и роль урока в изучаемой теме: урок изучения нового материала.

Цель урока: организовать деятельность учащихся по изучению и первичному закреплению понятия степени с отрицательным показателем.

Автор УМК: Ю.Н.Макарычев

Тема урока: Определение степени с целым отрицательным показателем.

Задачи:

  • Личностные: осознание математической составляющей окружающего мира.
  • Регулятивные: осознание возникшей проблемы, определение последовательности и составление плана и последовательности действий для решения возникшей проблемы, внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата с учётом оценки этого результата самим обучающимся, учителем, товарищами.
  • Познавательные: моделирование ситуации из жизни, постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
  • Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи, умение работать индивидуально и в парах.

Формы работы учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная, работа в парах.

Ресурсы: мультимедийный проектор, презентация, карточки для самостоятельной работы.

Этап (учебная ситуация)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.Организационный момент.
Цель: мотивировать учащихся к учебной деятельности.

- Здравствуйте, ребята, садитесь! Я рада видеть вас на уроке математики! Давайте откроем тетради запишем число и классная работа.

Ребята садятся на места, готовы к уроку, слушают учителя.

2. Актуализация знаний
Цель: повторить основные элементы треугольника.

Устная работа.
- Сегодня урок открытия новых знаний. Но для того, чтобы узнавать что-то новое, нам необходимо вспомнить тот материал, с которым мы уже знакомы.
1. Вычислите: 32; 43; 0,14;(-6)2;123. Что значит возвести число в степень? (Слайд 1)
2. Давайте вспомним свойства степени с натуральным показателем. (Слайд 2)
3. Вычислите: а) 23·22; б) 57:54; в) (23)2; г) 42:45 (Слайд 3)

Ответы учащихся.

Записывают в тетрадь.

3. Постановка проблемы.
Цель: выявить и зафиксировать причину затруднения; согласовать цель и тему урока.

- Почему не смогли выполнить последнее задание?

- Как вы думаете, над какой темой урока мы сегодня будем работать?

- Запишите тему урока.

- Какая цель стоит перед нами?

Ответы учащихся.

Формулируют цель урока: Определить - что называется степенью с отрицательным показателем?
Научиться применять новые знания к решению заданий

4. Открытие учениками нового знания.
Цель: ввести понятие степени с отрицательным показателем. 		У нас получилось 4-3. Как вы думаете, это положительное или отрицательное число? (Слайд 4)
И сейчас мы разберемся, что означает такая запись. 		Делают предположения.
Задание.
1) Уловите закономерность и продолжите ряд чисел
...1000, 100, 10,... (Слайд 5) 		Работают в группах.
Записывают в тетрадь
...1000, 100, 10, 1, 1/10, 1/100, 1/1000...
2) Представим каждое из этих чисел в виде степени числа 10:
...1000,100,10, 1, 1/10, 1/100,1/1000...
... 103, 102, 101, 10°, 1/101, 1/102, 1/103... (Слайд 6 ) 		... 103, 102, 101, 10°, 1/101, 1/102, 1/103...
3) Подпишем под этими числами показатели степеней:
3, 2, 1, 0,.... (Слайд 7)
Продолжив этот ряд, мы получим числа -1, -2, -3 и т.д. 		3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, ....

Сравним показатели соседних степеней. Показатель каждой степени на 1 меньше следующего. Распространим этот закон на числа справа от 10°. Получим: 1/101 = 10-1, 1/102 = 10-2... (Слайд 8)

Выписывают ряд, улавливают закономерность и делают выводы.

Вопрос: Можем ли мы взять степень с другим основанием? С любым?
Вывод: Итак, мы можем это соглашение распространить на любое число а, отличное от нуля.
Вопрос: Почему мы не можем выбрать в основании 0? 		: 1/101 = 10-1, 1/102 = 10-2
Ответ. Можем. Кроме 0.
Запишите в тетради формулу: a-n = l/an, a≠O. Откройте учебники на с.204 и прочитайте определение. Ответ. На ноль делить нельзя.
Записывают в тетради.

Историческая справка: Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англичанин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В одном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А2, А3 и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а2, 1/а3 пишу а-1, а-2, а-3 и т.д."(Слайд 9)

Что нового вы узнали из исторической справки?

История появления степеней с отрицательными показателями началась с 15 века.
Итак, сколько будет 4-3?
А можно ли записать это число с положительным показателем? 		Вычисляют записывают ответ
Можно. Оно равно дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе - степень с тем же основанием, но с противоположным показателем. 4-3= 1/43.

5. Физкультминутка

В среднем темпе проделать 3-4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 1-2 раза.

6. Этап закрепления изученного материала.
Цель: закрепить полученные знания.

Кому-то удобнее работать с отрицательными показателями, а кому-то с дробями. Как говорят англичане, tastes differ (о вкусах не спорят). Попробуем применить эту формулу для замены степени дробью.
степень => дробь

Учитель предлагает учащимся выполнить задания № 964
Работа в парах: № 965
Дополнительно (для более сильных учащихся) №966
Хорошо! Молодцы, ребята! 		Учащиеся решают задания у доски с комментарием.
Идет взаимообучение

7. Самостоятельная работа
Цель: выявить трудности при первичном применении новых знаний.

Самостоятельная работа с поверкой:

№

1 вариант

Ответ

2 вариант

Ответ

К-во баллов

1

3-2

2-4

1

2

(-1/4)-3

(-1/6)-2

1

3

0,001-1

0,0001-1

2

Выполняют самостоятельную работу, дают оценку своей деятельности (самоконтроль, взаимоконтроль).

8. Домашнее задание

1. Прочитать материал § 12 п.37
2. Выполнить № 967, № 968 (Слайд 10)

Записывают домашнее задание

9. Творческое задание

Решите математическую шифровку. В ней спрятан год рождения очень известного человека:

8°

(1/7)-1

(1/3)-2

(1/9)-1

1

7

9

9

Это год рождения А.С.Пушкина.

10. Этап контроля и оценки. Итог урока (рефлексия деятельности)

Подведем итог нашего урока и продолжим предложения:
«Сегодня на уроке я узнал …»
«Наиболее трудным для меня было…»
«Больше всего мне понравилось…» (Слайд 11)
Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!

Анализируют свою работу на уроке, сами формулируют возникшие трудности.
Стихотворение про степень с отрицательным показателем подготовила учащаяся.

1. Самостоятельная работа с проверкой

Представьте степени в виде дробей с положительными показателями. Ответы впишите в таблицу.

№

1 вариант

Ответ

2 вариант

Ответ

К-во баллов

1

3-4

5-3

1

2

у-1

x-1

1

3

(m-n)-2

(c-d)-2

2

2. А теперь научимся выполнять обратное действие: заменим дробь степенью:
дробь => степень

1/67 = 6-7;

1/у7 = у-7;

1/7 = 7-1.

2. Самостоятельная работа с проверкой

№

1 вариант

Ответ

2 вариант

Ответ

К-во баллов

1

1/58

1/85 1 очко

1

2

1/(b + с)10

1/(b-с)9

1

3

1/(х - у)

1/(х + у)

2

3. Применение - формирование умений и навыков.

А сейчас займемся вычислениями:

4-2= 1/42= 1/16;

(2/3)-3 = 1/(2/3)3 = (3/2)3 = 27/8 = 3 3/8;

0,01-2 = (1/100)-2= 1002= 10000.

4. Самостоятельная работа с проверкой

№

1 вариант

Ответ

2 вариант

Ответ

К-во баллов

1

3-2

2-4 1 очко

1

2

(-1/4)-3

(-1/6)-2

1

3

0,001-1

0,0001-1

2

Задание. Подведите итог своей работы и поставьте сами себе оценки:

  • 12-11 баллов - "5",
  • 10-9 баллов - "4",
  • 8-6 баллов - "3".

5. Творческое задание. Решите математическую шифровку. В ней спрятан год рождения очень известного человека:

8°

(1/7)-1

(1/3)-2

(1/9)-1

1

7

9

9

Это год рождения А.С.Пушкина.

Известный математик К.Вейерштрасс сказал: "Нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе".

Если минус нам не нравится,
С этим горем можно справиться:
Знак меняем в показателе,
Степень пишем в знаменателе,
Сверху ставим единичку.
Получается? Отлично!
Коль числитель единица,
Степень в знаменателе,
Пишем мы ее как степень
С целым показателем:
Дробную черту стираем,
Единицу убираем
И еще, конечно, минус
В показатель добавляем.