Введение
В вечерней школе я работала по совместительству учителем математики еще в начале своей педагогической деятельности, а сейчас – это моя основная работа.
Высокая социальная значимость вечерней школы не подлежит никакому сомнению. Но здесь возникают проблемы. С одной стороны, вечерняя школа должна давать те же знания, что и массовая школа, того же качества, но за меньший промежуток времени. С другой стороны, она имеет дело, как правило, со слабо подготовленным контингентом, когда пробелы в знаниях и умениях обучающихся слишком велики (тянутся чуть ли не с начальных классов!).
Речь идёт об обязательном едином государственном экзамене для вечерней школы без права выбора альтернативных форм аттестации. В силу тех причин, которые привели обучающихся именно в вечернюю школу, выпускники вечерней школы не способны конкурировать с учащимися дневных школ. Достижение некоторых обучающихся вечерней школы даже базового уровня представляет сложную педагогическую задачу.
С целью творческого подхода решения этой задачи, выполняя одну из образовательных целей нашей школы – создание базы для решения проблем обучения – в 2009 году разработала учебное пособие «Рекомендации по выполнению типовых вариантов заданий В1-В14 по математике» и сборник задач «Проверь себя».
Цель данной работы: представление учебно-методического комплекта.
К числу основных задач, решавшихся в ходе исследования, относится:
1) дать рекомендации обучающимся по решению
задач базового уровня;
2) составить систему задач базового уровня;
3) рассмотреть рациональные приемы и методы
решения задач.
1. Рекомендации по выполнению типовых вариантов заданий В1-В15 по математике
Цель учебного пособия «Рекомендации по выполнению типовых вариантов заданий В1-В15 по математике» – помочь обучающимся старших классов подготовиться к единому государственному экзамену.
Подготовить обучающихся к единому государственному экзамену на основе централизованного тестирования – одна из задач учебного пособия.
Выработать стратегию составления учебного пособия для подготовки к ЕГЭ по математике помогли демонстрационные варианты контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация контрольных измерительных материалов и кодификаторы требований к уровню подготовки выпускников, составить представление о требованиях к полноте и правильности решений – приведённые критерии оценивания.
Разработка учебного пособия и сборника задач ориентирована на каждый учебный год, так как материал учебного пособия и сборника задач ежегодно обновляется в соответствии с утвержденной демоверсией и спецификацией по математике.
При разработке учебного пособия учитывалось, что:
1. Особенность организации учебного процесса в
вечерней школе связана с особым контингентом
обучающихся: у них либо изначально слабые знания,
либо значительный перерыв в обучении. Так как
обучающие вечерней школы в значительном
большинстве мало подготовлены к
систематическому изучению математических
дисциплин и у многих из них имеются большие
пробелы в знаниях, полученных ранее, то при
изучении нового материала им требуется
значительное время для его закрепления.
2. Основной задачей повторения является
приведение в систему полученных знаний. Создание
полной картины пройденного материала помогает
обучающемуся яснее видеть цель и результаты
обучения, а также пробелы в своих знаниях.
3. Основная роль в организации учебного процесса
отводится решению задач, что служит целью и
средством обучения и математического развития.
Организация дифференцированного подбора задач
способствует нормализации нагрузки обучающихся,
обеспечивает их посильной работой и формирует
положительное отношение к учёбе.
4. Основным условием правильной организации
учебного процесса является выбор учителем
рациональной системы методов и приёмов обучения.
5. Основная задача в работе учителя — научить
обучающихся работать по образцу, т. е. выполнять
различные преобразования по алгоритмам, схемам и
т. п., с использованием справочной литературы.
Особенности учебно-методического комплекта:
1. Ответы к задачам записаны так, как они должны
быть записаны в бланке ответов.
2. В учебном пособии легко и быстро можно найти
нужную информацию и задачу с решением, в сборнике
«Проверь себя» те же задачи под теми же номерами.
3. Задачи – своеобразная копилка экзаменационных
задач с 2009 года, в том числе пробных и повторных
экзаменов, демонстрационных вариантов, задач из
сборников Федерального института
педагогических измерений.
4. Пособия удобны в пользовании как обучающимся
для самоконтроля, так и учителю для контроля.
5. Не требуется дополнительная литература, так
как основной теоретический материал отражен в
учебном пособии.
6. В разделе «Задания В15» даны приемы быстрого
решения задач без производной.
При разработке учебного пособия по математике я преследовала цель логически упорядочить материал, дать его компактное и наглядное изложение. На первых страницах пособия: форма записи ответов в бланк; правило обращения обыкновенной дроби в десятичную; действия над обыкновенными, десятичными дробями, над рациональными числами, так как неправильные ответы связаны в основном с арифметическими ошибками, а также при записи ответа.
Рекомендации по выполнению заданий даны в каждом разделе учебного пособия. Например:
Задания В3: чтение графика функции
«В заданиях В3 предложены простые задачи на чтение графика функции. Ответ на задание записывать в целых числах.
1. Если при чтении графика по оси Ох указано
время суток от 0:00 до 24:00 (0:00), то определите, какая
дата или день недели (если они не подписаны)
соответствует указанному времени суток. Потом
определяйте наибольшую или наименьшую
температуры, ориентируясь по горизонтальным
линиям.
2. Если по оси Ох указаны даты, то наибольшую или
наименьшую температуры определяйте,
ориентируясь строго по вертикальным линиям, что
соответствует датам.
3. При определении по графику количества дней из
указанного периода ориентироваться строго по
вертикальным линиям, что соответствует датам.
4. При нахождении разности между наибольшим и
наименьшим значением: от большего значения
отнимаем меньшее и получаем целое положительное
число.
5. «Не ниже 3оС» – значит, t > 3оС;
«не меньше, чем 515» – значит, > 515. «Превышало
800» – значит, > 800; «превосходила 25оС» –
значит, t > 25оС.
«Не больше, чем на 20» – значит, < 20; «не
превосходило 350» – значит, < 350.
«Ниже 2,5оС» – значит, t < 2,5оС.
«В пределах от 2оС до 4оС» – значит, 2оС
< t < 4оС».
Задания В12: текстовые практические задачи на составление неравенства или уравнения
«Решение практических задач средствами математики содержат три основных этапа:
1) формализацию (перевод исходной задачи на язык
математики);
2) решение полученной математической задачи;
3) интерпретацию найденного решения («перевод»
его с языка математики в терминах первоначальной
задачи).
На третьем этапе выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный результат.
В заданиях В12 предлагаются задачи на составления неравенства или уравнения.
1) Составить неравенство (уравнение).
2) Решить его.
3) В ответе записать искомую величину.
Не забывайте, что означают слова в условии задачи: «более» – значит >; «не более» – значит <; «менее» – значит <; «не менее» – значит >.
По смыслу задачи составляйте неравенство, если в условии используются другие слова, например, «превосходить», «наименьшая», «максимальная» и т.п.»
Наличие примеров на применение правил, образцов решения задач позволяет самостоятельно работать с пособием. Справочный материал учебного пособия содержит формулировки правил, определений, свойств, формулы и т.д. (Приложение 1).
При подготовке обучающихся к единому государственному экзамену по математике учебное пособие способствует более быстрому и эффективному повторению материала. Большое количество примеров с решениями и методические указания помогут приобрести навыки в решении основных типов задач, предлагаемых на едином государственном экзамене.
Регулярное пользование учебным пособием способствует непроизвольному запоминанию формул и правил, системному усвоению материала, сборником задач «Проверь себя» (Приложение 2) – обеспечению устойчивого, безошибочного решения задач.
2. Система задач базового уровня
Учебное пособие «Рекомендации по выполнению
типовых вариантов заданий В1-В15 по математике.
ЕГЭ-2014» – это фундаментальная книга, которая
иллюстрирует основные идеи ЕГЭ. В ней собраны
задания, которые предлагались на пробных
экзаменах, на экзаменах 2009-2013 учебных годов, в
демонстрационных вариантах, а также задания,
которые рекомендованы в сборниках для
подготовки к ЕГЭ с грифом «ФИПИ».
Все задания В1-В15 решены, к некоторым заданиям
даны несколько способов решения. Рассмотрено 296
задач.
В заданиях В1-В2 предложены простые задачи на
вычисление, показаны образцы решения на
проценты, на составление пропорции, на
нахождение наименьшего и наибольшего числа, на
определение времени, на нахождение прибыли и
сдачи.
В заданиях В3 – простые задачи на чтение графика
функции.
В заданиях В4 – несложные практические задачи.
В заданиях В5 – задачи на вычисление площадей
треугольника, четырехугольника, круга и его
частей.
В заданиях В6 – простейшие задачи по теории
вероятностей.
В заданиях В7 – блоки: рациональные уравнения
(линейное уравнение, квадратное уравнение);
дробно-рациональные уравнения; иррациональные
уравнения; показательные уравнения;
логарифмические уравнения; тригонометрические
уравнения.
В заданиях В8 – вычисление элементов
прямоугольного треугольника; окружность, углы.
В заданиях В9 – блоки: функция задана формулой
(геометрический смысл производной; механический
смысл производной); производная задана графиком
(признаки возрастания и убывания функции; точки
экстремума функции); первообразная и интеграл.
В заданиях В10 – несложные задачи на вычисление
площадей поверхностей или объемов пирамиды,
призмы, цилиндра, конуса и шара.
В заданиях В11 – блоки: вычисление значения
логарифмического выражения; вычисление значения
числового выражения; вычисление значения
числового выражения, включающих степени;
вычисление значения числового выражения,
включающих радикалы (корни); вычисление значения
тригонометрического выражения.
В заданиях В12 – решение практических задач
средствами математики.
В заданиях В13 – простые задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей)
многогранников и тел вращения.
В заданиях В14 – блоки: задачи на движение; задачи
на совместную работу; задачи на расход топлива;
задачи на проценты; задачи на смеси.
В заданиях В15 – исследование функции с помощью
производной; приемы быстрого решения без
производной; первообразная, интеграл.
Ежегодно «копилка» задач пополняется новыми
задачами в соответствии с утвержденными
демоверсией и спецификацией по математике.
3. Рациональные приемы и методы решения задач
Для большинства обучающихся вечерней школы главное – набрать минимальный балл.
Верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.
Для них рекомендовано ориентироваться на решение тех заданий, в которых даны рациональные методы и приемы решения.
Проведена большая исследовательская работа с целью поиска более коротких путей решения задач.
Например, в заданиях В5 на вычисление площади треугольника или четырехугольника предлагается более простой способ решения таких задач, применяя только формулы площади прямоугольника и прямоугольного треугольника.
Решение некоторых заданий В5 может существенно облегчить удачный выбор дополнительных построений, например: «Площадь треугольника АВС равна 28. DE – средняя линия. Найдите площадь трапеции АВDЕ». Нередко полезным бывает провести прямую, параллельную боковой стороне или диагонали данной фигуры.
Если предложить обучающимся полезную информацию, то на решение задачи тратится меньше времени. Например, проще и быстрее выполнить задание В10 «Объем прямоугольного параллелепипеда равен 64. Чему равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в 4 раза?», зная, что при увеличении (уменьшении) линейных размеров тел в k раз площади их поверхности увеличиваются (уменьшаются) в k2 раз, а объемы – в k3 раз. Если объем прямоугольного параллелепипеда V = 64, тогда после уменьшения каждого ребра параллелепипеда в 4 раза его объем будет равен: V1 = 64 : 43 =1.
Зная, что при увеличении (уменьшении) объема тела в k3 раз (в k раз – изменение линейных размеров этого тела) вес этого тела увеличивается (уменьшается) во столько же раз, проще решить задачу «Бетонный шар весит 0,75 т. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего радиуса, сделанный из такого же бетона?». Получим: если бетонный шар весит 0,75 т, значит, шар вдвое большего радиуса будет весить в 23 раз больше, т.е. 23 · 0,75 = 8 · 0,75 = 6 (т).
Тратится меньше времени на решение задачи «Объем цилиндра равен 12 см3. Чему равен объем конуса, который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный цилиндр?», зная, что объем цилиндра больше объема конуса в 3 раза, если цилиндр и конус имеют одинаковые основания и высоты. Тогда Vк = Vц : 3 = 12 : 3 = 4 (см3).
При нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на данном отрезке можно использовать приемы быстрого решения без производной для большинства заданий В15, учитывая, что ответ без округления должен быть целым числом или конечной десятичной дробью.
Например, при нахождении наименьшего значения
функции y = 5 cosx – 6x + 4, где числа 5, 6, 4 – целые, на
отрезке [–3π/2; 0] берем из концов данного отрезка х
= 0. Тогда наименьшее значение данной функции на
данном отрезке y(0) = 5 cos0 – 6 · 0 + 4 = 9.
При нахождении наименьшего значения функции y =
8tgx – 8x –2π + 5 на отрезке [–π/3; π/3] берем из данного
отрезка х = – π/4, т.к. – 8х – 2π = 0. Тогда y = 8tg(– π/4) + 5 =
– 3, т.е. – 3 – искомое число.
Применяя свойство е0 = 1, легко и быстро
найдем наименьшее значение функции у = (21 – х)е20–х
на отрезке [19 : 21]. Берем из данного отрезка х = 20,
т.к. по свойству е20–х = 1. Значит, у(20) = (21–20)·1
= 1 – наименьшее значение данной функции на
заданном отрезке. Рациональные приемы и методы
решения задач по математике сократят время
выполнения заданий В1 – В15 во время ЕГЭ.
Заключение
Таким образом, разработано учебное пособие, где
даны рекомендации, чтобы помочь обучающимся
старших классов подготовиться к единому
государственному экзамену.
Решенная проблема в обучении: развитие навыков
безошибочного решения заданий первой части
теста при использовании учебно-методического
комплекта сэкономит время для решения более
сложных задач.
Практическая значимость внедрения: учебно-методический комплект используется с 2009-2010 учебного года обучающимися и учителями математики старших классов, востребован и пользуется спросом.
Учителя могут вместе с обучающимися использовать учебно-методический комплект в нескольких направлениях: при изучении нового материала, начиная с 9 класса, в плане закрепления и систематизации знаний; с целью восполнения пробелов в знаниях обучающихся; для повторения курса математики при подготовке к ЕГЭ.
Надеюсь, что материал учебного пособия будет полезен обучающимся и учителям при подготовке к экзаменам в форме ЕГЭ.