I. «Яблоки»
Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока, третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока. После этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?
Решение:
Если первоначальное количество яблок х, то первый покупатель получил 
второй 
, третий 
, …, седьмой покупатель 
.
Получаем уравнение 
или (х+1)
.
Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, получим 
Всего было 127 яблок.
Ответ: 127 яблок.
II. «Трудная задача»
Картина Богдана Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти значение выражения 
Задача, в самом деле, нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя, который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С.А.Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел. Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью: 102 +112 +122=132+142.
Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.
Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности чисел более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов трех их которых равна сумме квадратов двух последних?
Решение:
Обозначив первое из искомых чисел через х, имеем уравнение
Удобнее, однако, обозначить через х не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид
Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем: х2 – 10х – 11 = 0,
откуда х = 
х1 = 11, х2 = 
.
Следовательно, существуют два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского 10, 11, 12, 13, 14 и ряд 
В самом деле, 
= 
.
III. «Задача Эйлера»
Стендаль в «Автобиографии» рассказывает следующее о годах своего учения: «Я нашел у него (учителя математики) Эйлера и его задачу о числе яиц, которые крестьянка несла на рынок…. Это было для меня открытием. Я понял, что значит пользоваться орудием, называемым алгеброй. Но, черт возьми, мне никто об этом не говорил…». Вот эта задача из «Введения в алгебру» Эйлера, произведшая на ум молодого Стендаля столь сильное впечатление.
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь у меня твои яйца, я выручила бы 
крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение:
Пусть у первой крестьянки было х яиц, тогда у второй - (100 – х). Если бы первая имела (100 – х) яиц, она выручила бы 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продала яйца по цене 
за штуку. Таким же образом находим, что вторая крестьянка продавала яйца по цене 
за штуку.
Теперь определяется действительная выручка каждой крестьянки:
первой х
= 
,
второй (100-х)
= 
.
Так как обе выручки одинаковы, то 
= 
.
После преобразования имеем: х2 + 160х – 8000 = 0, откуда х1 = 40, х2 = 
.
Отрицательный корень в данном случае не имеет смысла. У задачи только одно решение: первая крестьянка принесла 40 яиц, значит, вторая – 60.
Задача может быть решена еще другим способом, более кратким. Этот способ гораздо остроумнее, но зато отыскать его значительно труднее.
Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы. Это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем:
k2 = 15: 6
=
отсюда k =
.
Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка имела 40, а вторая 60 яиц.
Ответ: 40 и 60 яиц.
IV. «Стая обезьян»
Другую индусскую задачу я имею возможность привести в стихотворной передаче, так как ее перевел автор превосходной книжечки «Кто изобрел алгебру?» В.И.Лебедев:
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
Решение:
Если общая численность стаи х, то 
откуда х1 = 48, х2 = 16.
Задача имеет два положительных решения: в стае могло быть или 48 обезьян, или 16. Оба ответа вполне удовлетворяют задаче.
Ответ: 16 или 48 обезьян.
V. «Вечеринка»
На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восьмью, Вера – с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?
Решение:
Задача решается очень просто, если удачно выбрать неизвестное. Будем искать число не танцоров, а танцорок, которое обозначим через n:
1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами
2-я, Ольга, танцевала с 6 + 2 танцорами
3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами …
n-я, Нина, танцевала с 6 + n танцорами.
Имеем уравнение n + (6 +n) = 20, откуда n = 7, а, следовательно, число танцоров –
20 – 7 = 13.
Ответ: 13 танцоров.