Основные свойства и графики тригонометрических функций

Разделы: Математика

Цели урока: отрабатывать навыки исследовательской культуры учащихся на уроке, закрепить знания, полученные на предыдущем уроке, продолжить изучение темы.

Задачи урока:

  • Образовательные: закрепить основные свойства функций у =  и у = , познакомиться со свойствами функций у = tqх и у = ctqх, их графиками, закрепить тему при решении и коррекционной проверки упражнений;
  • Воспитательные: способствовать воспитанию ответственности, самокритичности, аккуратности, трудолюбия, внимания, активности, организованности;
  • Развивающие: содействовать развитию организованности памяти, творческого мышления, логического мышления, устной и письменной математической речи, познавательного интереса, интереса к математике, развивать и формировать навыки общения, работы в группе

Оборудование: интерактивная доска, раздаточные карточки, листы размера А2 с начерченной системой координат, ведомость выполненных работ, трафареты графиков тригонометрических функций

Ход урока

Организационный момент.

Сегодня у нас необычный урок. Наша школа (Слайд 1 Презентация) это научно исследовательский институт, а наш 10 «а» один из его отделов, я его руководитель. Работать будем в 4 лабораториях со старшими научными сотрудниками (представить по именам), а все остальные младшие научные сотрудники. В данное время наш отдел 2 урок занимается вопросами «Основные свойства и графики тригонометрических функций» .

Откроим тетради и запишем дату и тему урока. На сегодня распорядок дня такой. (Слайд 2) А цель нашей работы на сегодня: закрепить основные свойства функций у =  и у= , разобрать свойствами функций у = tqх и у = ctqх, потренироваться с упражнениями на построение графиков всех тригонометрических функций. На уроке предстоит выполнить графический диктант, самостоятельную, практическую работу.

Распорядок работы.  
1. Летучка 9.00 - 9.15
2. Разбор материалов прошлого дня. 9.15 - 11.00
3. Связь исследовательской темы с жизнью: 11.00 - 13.30
а) информация к размышлению  
б) задания на ЕНТ  
4. Обед. 12.30 -13.30
5. Плановая работа в отделе 10 «А» 13.30 - 15.00
6. Разбор корреспонденции 15.00-15.30
7. Индивидуальная работа в лабораториях. 15.30 – 16.30
8. Обзор выполненной работы 16.30 - 16.45
Подведение итогов. 16.50 -17.00

Каждый старший научный сотрудник получает сегодня по ведомости выполненных работ, просьба объективно проставлять баллы после каждого вида работы своим младшим научным сотрудникам.

Имя сотрудника Графический диктант Разбор материалов прошлого дня Исследовательская тема в жизни Самостоятельная работа Разбор корреспонденции Практическая работа Итоговая оценка
               
               
               
               

Ход урока

I. Летучка (разминка).

(Слайд 4)

Диктант графический.

Выполняется на листочках и сдаётся старшему научному сотруднику в группе.

(Если вы согласны с утверждением, то ставите , если нет, то)

1 вариант.

  1. Областью определения функции у= является промежуток
  2. Область значения функции у= является открытый луч (0; +∞)
  3. Период функции у= Т = 2.
  4. Функция у= нечётная.
  5. Максимальное значение функции у= равно 1.

Ответ:

2 вариант.

  1. Область определения функции у = является промежуток (- ; +  ).
  2. Область значений функции у = является отрезок .
  3. Период функции у = Т = .
  4. Функция у = нечётная.
  5. Минимальное значение функции у = равно -1.

Ответ:

II. Обзор материалов предыдущего урока. (Индивидуальный опрос.)

(Слайд 5 и 6)

Проводить обзор материалов предыдущего урока будут ученик А из 1 лаборатории и ученик В из 3 лаборатории. Экспертами этих групп будут лаборатории 2 и 4 . Из двух групп (какие определяет учитель) выходят по одному ученику к доске и рассказывают, показывают свойства графиков функций у= и у = . Группа может дополнить или исправить ответ отвечающего из своей команды. Группа экспертов ставит оценку отвечающему ученику и его команде

III. Связь исследовательской темы с жизнью.

(Слайд 7)

а) информация к размышлению:

Каждый из сотрудников получил при начале нашей исследовательской работы найти в дополнительной литературе связь нашей темы с жизнью. Заслушиваются сообщения (количество их может быть разным, но для подстраховки идею двух сообщений можно предложить двум ученикам)

Учитель: Я предлагала найти в Интернете, в книгах примеры, где встречаются на практике тригонометрические функции. Сегодня перед уроками 2 учащихся подошли и сообщили о том, что они нашли такие примеры. Заслушаем их.

Учащиеся показывают по 1 слайду, освещающему суть их выступления. Они заранее сбрасывают подготовленный материал на компьютер и получаются мини - презентации. Для примера включены в презентацию учителя слайды «Модель биоритмов»(Слайд 8), «Траектория пули» (Слайд 9), «О повороте на 360° Земли за 365 дней»(Слайд 10), « Колебательные движения маятника»(Слайд 11)

Как вы увидели слова Н. И. Лобачевского : « Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира» (Слайд 12) верны и дают ответ на часто встречающийся вопрос «А зачем изучается данная тема?». К тому же интересные факты могут послужить началом создания исследовательского проекта. Подумайте об этом.

б) Нет ничего злободневного на сегодняшний год как подготовка к успешной сдачи ЕНТ, нередко в тестах встречаются вопросы о периодичности тригонометрических функций. Проверим себя, как вы усвоили эту тему.

«Задания на ЕНТ» Самостоятельная работа. (Слайд13)

1 вариант 2 вариант
Определите наименьший положительный период функции
1) У = 1) У = tq (3х –)
2) У = 2) У =
3) У =3 3) У = 4
4) У =  tq4х 4) У = 5tq 3х
5) У = 5 + 5) У = -  

Поменяйтесь друг с другом и проверьте работу. Выставите оценку. (Слайд 14)

Ответы к самостоятельной работе:

1 вариант 2 вариант
1) Т = 4 1) Т =
2) Т = 2) Т = 10
3) Т = 10 3) Т =
4) Т = 4) Т =
5) Т = 5) Т =6

Итак , и в жизни исследуемая тема встречается и на ЕНТ .Убедившись в важности изучаемой темы пообедаем и продолжим дальнейшее углубление знаний по ней.

IV. Обед.

(Слайд 15) Обратим внимание на слова Анатоль Франса:

Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.

Осмыслив слова А. Франса продолжим дальнейшее углубление знаний по теме «Основные свойства и графики тригонометрических функций»

V. Плановая работа в отделе. Исследование свойств функций у =tqх , у = ctqх (Объяснение нового материала).

Запишем в тетради число и тему урока: Функции у =tqх , у = ctqх их графики и свойства.

1) Рассуждения о функции y=tg x и её графике. (Слайд 16, 17)

Функция тангенс — это частное от деления функции синус на функцию косинус. Мы вспомнили свойства этих функций сегодня и уже знаем некоторые свойства исследуемой функции. так давайте, с помощью этих знаний, исследуем и сформулируем свойства функции y=tg x, построим график этой функции. Даётся 1.5 - 2 минуты на обсуждение в группах – отделах (Учащиеся вспоминают в каких четвертях эта функция принимает положительные в каких отрицательные значения а также значение этой функции при 00 , 300 , 450 ,600 , 900 , то что данная функция нечётная и значит график симметричен относительно начала координат ., что есть точки когда у = равен нулю а значит y=tg x не существует, период исследуемой функции) Те свойства, которые никто не сформулирует, наводящими вопросами учитель добавляет. (Рисунок 1 и рисунок 2)


Рисунок 1

tg
Рисунок 2

2) Исследование свойств. Свойства записываются в тетради.(Слайд 18)

  1. D(tg х) =R, кроме х = П/2 + Пn, nN
  2. E (tg х) = R.
  3. Периодичная функция с основным периодом T=П.
  4. Нечетная функция.
  5. Возрастает на всей области определения
  6. Нули функции: у(х) =0 при х= Пn,
  7. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
  8. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

3) Построение графика функции у = ctqх и исследование её свойств.

Исследование аналогично как для предыдущей функции (Рисунок 3)

(Слайд 19, 20)


Рисунок 3

(свойства закрепляются с помощью презентации) (Слайд 21)

  1. D(сtg х) =R, кроме х= Пn, nN
  2. E (сtg х) = R.
  3. Периодичная функция с основным периодом T=П.
  4. Нечетная функция.
  5. Убывает на всей области определения
  6. Нули функции: у(х) =0 при х= П/2 + Пn,
  7. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
  8. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения

VI. Разбор корреспонденции.

(заранее для каждого отдела на партах лежат по два конверта в которых задания) (Слайд 22)

Задания. (Устно): С помощью, каких преобразований можно получить графики функций.

у = tqх + 2, у =tq(х – , у = 2tq(х –  - 3, у = tq(х +  – 3

у = ctqх + 2, у = ctq  ) , у = 3ctq(х –  + 5, у = ctq(х-  + 1

(Построение 4 графиков показывается в презентации после того как учащиеся дали ответ) (Слайды 23 - 26)

VII. Индивидуальная работа в лабораториях. Практическая работа по парам.

(как сидят за партами). (Слайд 27)

На листах А2 нанесена координатная плоскость.

Построить графики функций:

1 вариант:

  1. у =
  2. у =

2 вариант:

  1. у =  + 3
  2. у =

VIII. Обзор выполненной работы.

  • Презентация проектов- практических работ и коллективная проверка(Слайды 28 – 31)
  • Выставление оценок в оценочные листы
  • Запись домашнего задания в дневник. п. 7, №65(б, в), № 679(г,д,е) , свойства всех четырёх функций. (Слайд 32)

IX. Итог урока.

Учитель: (Слайд 33)

Дружить наукам можно вечно,
Вселенная, ведь бесконечна!
Спасибо всем Вам за урок.
А главное, чтоб был он впрок.

Используемая литература:

  1. Абылкасымова А. Е. , Е. Д. Шойынбеков « Алгебра и начала анализа», Алматы: «Мектеп», 2011.
  2. Ершова А П., В. В. Голобородько «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 -11 классов», Илекса, Москва, 2008.
  3. Баранова Е.В., Зайкин М.И..Как увлечь школьников исследовательской деятельностью. //Математика в школе. – 2004. -№ 2. - С. 7.
  4. presentaci.ru/prezentac
  5. free-math.ru/load/shkolnaja_matematika/algebra_10_klass/grafiki_trigon/13-1-0-120
  6. www.myshared.ru/slide/191635/