Цели: показать учащимся различные способы решения задачи на отыскание наибольших и наименьших геометрических величин на конкретном примере. Сформировать у учащихся представление о том, что применение общего метода решения задачи, основанного, на применении производной не всегда является рациональным. Решение геометрических задач различными способами способствуют развитию математического мышления и творческой активности учащихся, а также формированию умения применять теоретические знания на практике.
“Хороший учитель обязан понимать, что
никакую задачу нельзя исчерпать до конца.
Этот взгляд он должен прививать
и своим ученикам”.
Д.Пойа.
Развитие логического мышления является одним из важнейших элементов воспитания личности. Этому служит математика, и в первую очередь - геометрия. Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на отыскание наибольших и наименьших значений геометрических величин. Учащиеся с интересом решают экстремальные задачи на уроках и на внеклассных занятиях.
При решении задач на экстремум учащиеся нередко испытывают трудности в составлении аналитической записи функции, описывающей условие задачи. Причиной этому часто бывает нерациональный выбор независимой переменной. Ее желательно выбрать так, чтобы более коротким путем получить аналитическое выражение данной функции и чтобы выражение было более простым.
Решение задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения геометрической величины с помощью общего метода, основанного на применении производной, не всегда является рациональным. Иногда к цели можно прийти быстрее и более коротким путем, используя элементарные методы и приёмы.
На конкретных примерах из планиметрии и стереометрии, покажем, как при удачном выборе аргумента функции удаётся сократить вычисления и упростить решение задачи.
Задача № 1.
В окружность радиуса R вписана трапеция ABCD, основание AB которой является диаметром окружности. Какова должна быть длина боковой стороны трапеции, чтобы трапеция имела наибольшую площадь?
Решение:
1 способ.
В задаче требуется найти длину боковой стороны трапеции, при которой площадь трапеции будет наибольшей. Ее можно принять за независимую переменную, затем через неё и радиус R окружности выразить площадь трапеции. Обычно учащиеся решают таким способом.
2 способ.
Пусть высота трапеции DH = х. Из прямоугольного 
ODH
(О – центр окружности) находим: 
Значит, 
, и получим:
где 0 < х <
R – простое по форме выражение для функции S.
Однако вычисление производной требует более
сложных выкладок, чем при решении задачи первым
способом.
3 способ.
Пусть BH = х, тогда AH=2R - х. Из свойства высоты
прямоугольного ?ABD имеем: 
и, следовательно,
R< х <2R.
Производная функции S2 = 2Rx3 – x4 находится проще, чем при решении задачи первым и вторым способом. Задачу можно решить и без использования производной.
Так как 3S2 = (6R – 3x ) ·x·x·x. В правой части - произведение переменных, сумма которых постоянна и равна 6R. Это произведение принимает наибольшее значение в случае их равенства, т.е. х= 6R – 3х, откуда
х = 3/2R. При этом AH=1/2R и AD=OD=R.
4 способ.
Пусть 
Тогда
BD=2Rsin2х, DH=2Rsinxcosx.
Находим:
S=4R2sin3хcosx, 450< x < 900 ,
при tg х = 
, т.е. при х = 600
. Остаётся сравнить значение функции S в
критической точке со значениями на концах
промежутка [450, 900].
5 способ.
Введем независимую переменную 
площадь трапеции, равна
сумме площадей треугольников AOD,BOC и COD.
Следовательно,
Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции:
Ее производная 
Критические точки получим, решив уравнение: 
Задача № 2.
В окружность радиуса R вписана трапеция ABCD с основанием AB. При какой длине стороны AD площадь трапеции будет наибольшей, если
где O – центр
окружности?
Решение:
пусть 
.
Площадь AOD:
Найдём
площади треугольников: AOD, BOC и COD.
Учитывая, что 
получим:
Проведём диаметр М? окружности параллельно
основанию AB трапеции. Площадь трапеции не может
быть наибольшей, если хорды AB и CD будут лежать по
одну сторону от М?. Поэтому следует считать, что 
Функция Ѕ имеет наибольшее значение одновременно с функцией
Найдём производную этой функции:
С учётом границ изменения х, получим:
или, несколько расширяя границы этих промежутков:
Следовательно, при всех допустимых значениях х
имеем: 
и 
тогда и только
тогда, когда 
откуда 
Итак, в промежутке 
функция f(x) имеет единственную
критическую точку х0, в которой,
производная меняет знак с плюса на минус. Значит,
в этой точке функция имеет максимум, а значит и
искомое наибольшее значение. Таким образом,
площадь трапеции ABCD будет наибольшей в том
случае, когда дуги ВС, СD и AD равны и 
Задача № 3.
Куб, ребро которого равно 
, пересекается плоскостью,
проходящей через его диагональ. Какую наименьшую
площадь может иметь сечение и при каком угле
наклона сечения к плоскости основания?
Решение: 1 способ.
Пусть плоскость, проходящая через диагональ B1D
куба, пересекает его ребро АА1 в точке К.
Тогда она пересекает ребро СС1 в точке L,
симметричной К относительно центра куба. В
сечении получится параллелограмм B1 КDL,
площадь которого равна удвоенной площади B1 КD. Проведем
высоту КМ в B1 КD.
Пусть B1 D = d, KM = h, DM = y,
AK = x.
Площадь сечения определяется формулой: S = dh, где
d = 
Следовательно, задача сводится к нахождению
наименьшего значения h. Из прямоугольных B1 КМ и DКМ, выразим
по теореме Пифагора двумя способами КМ, получим
уравнение:
откуда
Следовательно,
или 
Отсюда следует, что 
при 
Наименьшее значение площади сечения равно 
Угол 
между
плоскостью этого сечения и плоскостью основания
ABCD куба найдем по формуле: 
Получим: 
2 способ.
Задача сводится к нахождению кратчайшего
расстояния h между скрещивающимися прямыми АА1
и B1D. Так как ребро АА1 параллельно
плоскости ВDB1, то h равно расстоянию от
вершины А куба до плоскости ВDB1, т.е. равно
высоте АР прямоугольного ABD. Получим:
Следовательно, наименьшее значение площади
сечения 
Угол наклона сечения к плоскости основания находим так же, как и в первом способе.
3 способ.
Простое геометрическое решение задачи получим, если используем формулу:
где ? – угол
между плоскостью сечения B1 КDL и плоскостью
грани ABCD куба.
Построим линию пересечения этих плоскостей,
прямую l, и проведем B1Н
l. По теореме о трёх
перпендикулярах 
l, следовательно, 
Площадь сечения будет
наименьшей, когда сечение проведено так, что угол
– наименьший.
Так как 
то имеет
наименьшее значение, когда ВН имеет наибольшее
значение. Поскольку катет прямоугольного
треугольника меньше гипотенузы, то ВН
BD, и наибольшее
значение ВН достигается в том случае, когда точки
Н и D совпадают.
Очень часто краткое и красивое решение геометрической задачи на экстремум сразу найти не удаётся. В этом случае после решения задачи общим методом следует предложить учащимся изучить найденное решение и полученный результат. При этом часто можно подметить такие особенности фигуры, которые позволяют найти более рациональное решение задачи.
Литература
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. М., Просвещение,1992.
- Буслаева И.П. Решение экстремальных задач без использования производной. М., 1995.
- Чебурахин И.Ф. Решение одной геометрической задачи на экстремум. Математика в школе. №3,1996.
- Математика в школе. №4,1970.