Урок математики по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательные – обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: частично-поисковый. Тестовая проверка уровня знаний. Работа по опорным схемам, обобщающей схеме, самопроверка, взаимопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная. Парная.

Оборудование: экран, мультимедийная установка, цветные мелки, указка. Листы учета знаний у учащихся, чистые подписанные лис ты и копирка.

План урока:

  1. Оргмомент – 2 мин.
  2. Тест под копирку (с самопроверкой) – 7 мин.
  3. Систематизация теоретического материала: четыре подраздела по 2 мин., 4 мин. , 7 мин. и 3 мин. (3.1, 3.2, 3.3, 3.4).
  4. Дифференцированная с/р. через копирку (с самопроверкой) – 10 мин.
  5. Проверка с/р. – 2мин.
  6. Итог урока – 2 мин.

Ход урока

1. Оргмомент.

Задание на дом: повторить теорию, принести домашние зачетные работы.

cos x – cos3x = sin 2x, 2sin2x + cos4x = 0, 2tgx -3 =2ctgx, sin4x – 3cos4x = 8sin2 2x, cos x – sin x = ,
2sin3x – cos 2x – sin x = 0, cos 3x = cos3 x, cos 3x cos 2x = sin 3x sin 2x, 3sin2x + sin2x = 3, 3sin x + 4 cos x = 2.

2. Тест через копирку (с самопроверкой). Тема “Решение тригонометрических уравнений”.

Цель: контроль и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

Вариант№1.

  1. Каково будет решение уравнения cos x = a при |a| > 1?
  2. При каком значении а уравнение cos х=а имеет решение?
  3. Какой формулой выражается это решение?
  4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = a?
  5. В каком промежутке находится arcos a?
  6. В каком промежутке находится значение а?
  7. Каким будет решение уравнения cos x = 1?
  8. Каким будет решение уравнения cos х=-1?
  9. Каким будет решение уравнения cos х=0?
  10. Чему равняется arccos (-a)?
  11. В каком промежутке находится arctg a?
  12. Какой формулой выражается решение уравнения tg x =a?
  13. Чему равняется arctg (-а)?

Вариант №2.

  1. Каково будет решение sin x = a при |a| > 1?
  2. При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение?
  3. Какой формулой выражается это решение?
  4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin x = a?
  5. В каком промежутке находится arcsin a?
  6. В каком промежутке находится значение а?
  7. Каким будет решение уравнения sin x = 1?
  8. Каким будет решение уравнения sin x = -1?
  9. Каким будет решение уравнения sin x = 0?
  10. Чему равняется arcsin (– a)?
  11. В каком промежутке находится arcctg a?
  12. Какой формулой выражается решение уравнения c tg x =a?
  13. Чему равняется arcctg (-а)?

Тест окончен. Листы с работой собираются, открываем правильные ответы. Учащиеся заносят результат в лист учета знаний.

3. Систематизация теоретического материала.

У доски 2 ученика готовят ответы по теории.

3.1. Устные задания на определение вида простейших тригонометрических уравнений. (Слайды 1, 2).

Цель: Обобщение знаний по видам простейших тригонометрических уравнений.

Здесь вы видите, ребята, схемы решений тригонометрических уравнений. Как вы думаете, какая из схем этой группы является лишней? Что объединяет остальные схемы? Правильно отвечающие ученики заносят в лист учета знаний

Слайд 1

Слайд 2

Ответы: Слайд№1. 3-я схема – лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида sin x = a, а 1, 2, 4, 6 – cos x = a.

Слайд 2. 4-я схема лишняя, так как эта схема изображает решения вида ctg x = a, 1, 2, 3, 5, 6 – tg x = a.

3.2. Классификация тригонометрических уравнений.

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.

На доске записаны уравнения данной серии и повешена системно обобщающая таблица. У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных шагов Р заносят в лист учета знаний соседа.

  1. 3sin2x – sin x cos x – 2cos2x = 0
  2. cos2x – 9cos x + 8 = 0
  3. sin 6x – cos 3x = 0
  4. 2cos2x + 3sin x = 0
  5. 2sin x cos x = cos 2x – 2sin2x
  6. 2cos2x – 11 sin ( – х) + 5 = 0
  7. tg x + 3 ctg x = 4
  8. cos 2x + cos ( – x) = 0)
  9. cos x + sin x = 1
  10. 3 cos x = sin x = 5
  11. cos x + sinx = 2
  12. 4cos x + sin x = 5
  13. sin x + cos x = 1

3.3. Динамичные блоки уравнений (на магнитной доске) на сравнение, обобщение и выделение главного. Раскрытие идеи решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки, выделение общего алгоритма решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным (отвечающие уч-ся правильные шаги р заносят в лист учета знаний).

1. Вопрос. О чем идет речь?

? особенно!

1. sin x =
2. tg(2x – ) =
3. ctg 3x = -
4. cos= a2 + 1

Ответы: 1, 2, 4 – простейшие, решаются по известным формулам. 3 – простейшее тригонометрическое уравнение с параметром. Решение имеет только при а = 0.

2. Вопрос.

1. 2sin2 2x = 5 sin 2x – 3 = 0
2. 6 sin2 x + 4 sin x cos x = 1
3. 3tg x + 5 ctg x = 8
4. 2sin2 + 5cos x + = 0

О чем говорит этот блок уравнений?

Ответ: 1, 3, 4 – одноименные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним. Решаются методом подстановки; 2 – уравнение однородное, заменив 1 в правой части на sin2 x + cos2 x и разделив обе части уравнения на sin2 x (или на cos2 x) получим одноименное тригонометрическое уравнение.

3. Вопрос. Что бы это означало?

? Нельзя!
1. sin x + cos x = 0
2. sin2 x – 5sin x cos x + 4cos2 x =0
3. 3sin x cos x – cos2 x = 0
? МОЖНО!

Ответ:

1 – однородное уравнение I степени, решается методом деления на cos x (sin x),
2 – однородное уравнение, решается методом деления на cos2 x (sin2 x или sin x cos x)
3 – нельзя делить на cos2 x это приведет к потере корней. Можно делить на или разложить на множители.

4. Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.

а)

1. sin 4x – sin 2x = 0
2. arcsin (x + 1) =
3. 5cos 3x + 4cos x = 0

Ответ: 1, 3 – уравнения, решаемые методом разложения на множители. 2 – лишнее, это уравнение содержит обратную тригонометрическую функцию. Так как и sin(arcsin a) = a, получаем х+1= sin, т.е. х +1 = ; х = –.

б)

1. 2cos 3x + 4sin = 7
2.
3. cos x +

Ответ: 2, 3 – уравнения, решаются методом введения вспомогательного аргумента. 1 – уравнение лишнее, оно решается оценкой значений левой и правой части. Так как наибольшее значение левой части равно 6 и 67, это уравнение не имеет корней. Вопрос: А если правая часть равна 6? Ответ: Решение сводится к решению системы уравнений

5. Назовите главный ключевой блок уравнений. Ответ: Блок простейших тригонометрических уравнений– главный, так как решение всех остальных уравнений сводится к решению простейших. 6. Снимаю блоки, решаемые разложением на множители и методом введения вспомогательного угла, и прошу их назвать. 7. Снимая уравнения sin х+ cos х= 0, спрашиваю тип и метод решения.

1. 2sin2x + 5sin 2x – 3 = 0
2. 6sin 2x + 4sin x cos x = 1
3. 3 tg x + 5 ctg x = 8
4. 2sin2 + cos + 1 = 0
1. sin х + cos х = 0
2. sin2x – 5sin x cos x + 4cos2x = 0
3. 3sin x cos x – cos2x = 0

8. Вопрос: Нельзя ли оставшиеся уравнения объединить в один блок?

Ответ: Можно, получится блок тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным. Показывая уравнение 2sin-22x + 5sin 2x – 3 = 0, спрашиваю алгоритм решения. Выделите общий алгоритм решения для остальных уравнений.

Ответ: 1) Сведения к одноименному уравнению. 2) Замена переменной. 3) Решение квадратного уравнения. 4) Решение простейших тригонометрических уравнений.

3.4. Тестовые задания на нахождение идей решения уравнений (лист учета).

Цель: расширение математического кругозора (последнее олимпиадное) Слайд 3. При решении уравнений 1.1-1.4 выберите соответствующий прием (2.1-2.4) и укажите нужную формулу или замену (3.1-3.4).

1.1. cos 2x cos7x = cos 5x cos4x.
1.2. tg x + ctg x + tg2x+ ctg2x = 6,75.
1.3. sin2x + sin2 2x + sin2 3x + sin2 4x = 2
1.4. sin 7x + sin x = cos 3x.

2.1. Замена переменной.
2.2. Преобразование сумм в произведение.
2.3. Преобразование произведения в сумму.
2.4. Понижение степени.

3.1. sin a + cos b = 2 sincos
3.2. 2sin2x = 1– cos 2x.
3.3. tg x ctg x = 1.
3.4. 2cos a cos b = cos(a + b) + cos(a – b).

Ответы:

1.1 2.3 3.4
1.2 2.1 3.3
1.3 2.4 3.2
1.4 2.2 3.1

4. Дифференцированная самостоятельная работа

(Через копирку, с самопроверкой) (10 минут)

Задания трех уровней. Учащиеся работают на листочках через копирку, каждый выполняет задание того уровня, который он выбрал(за одной партой сидят учащиеся из разных групп)

Группа А Группа Б
1. 2cos2x + 3sin x = 0 1. 2sin2x + cos 2x = sin2x
2. sin 2x + sin x = 0 2. Sin 7x + cos 4x = sin x

Группа В

1. cos 2x cos x = cos 3x 2. cos x + sin x = 2

5. Проверка с/работы (2 минуты)

Самопроверка – учащихся сами проверяют свои работы по готовым решениям на доске.

Учащиеся вкладывают в лист учета знаний обобщающую схему, а также один экземпляр самостоятельной работы сдают на проверку.

Решения

6. Итог урока

1. – Какие уравнения называют тригонометрическими?

– Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?

2. Если останется время, то можно фронтально проверить знания учащихся по теме: “Особые случаи простейших тригонометрических уравнений”.

sin x = 0, sin x = 1, sin x = -1, cos x = 0, cos x = 1, cos x = -1.

Дается оценка работы класса.