Сумма n первых членов арифметической прогрессии. 9-й класс

Цель урока:

• вывести формулу суммы п-первых членов арифметической прогрессии;
• формировать умение применять полученную формулу на практике;
• вырабатывать умение обобщать, систематизировать, логически мыслить, умение грамотно высказывать свои мысли.

Ход урока

Американский математик Нивен однажды сказал: “ Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!” Я надеюсь, что каждый из вас сегодня на уроке будет не простым наблюдателем, а активным участником открытия новых знаний.

1. Устная работа( актуализация опорных знаний)

№1

(а_н): – 1; 5…. – арифметическая прогрессия
Найдите разность этой прогрессии.

№2

( в_н) – арифметическая прогрессия
5; в_2; 11; в₄; 17
Найдите неизвестные члены этой прогрессии

№3

( с_н) – арифметическая прогрессия
С₁= – 0,8 d =4
Найти: С_3; С_{10 ;}С_{к ;} С_п

№4

Могут ли членами одной арифметической прогрессии быть числа:

№5

Английский математик Абрахам де Муавр в престарелом возрасте однажды обнаружил, что продолжительность его сна растёт на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.

– Чему равна разность арифметической прогрессии, составленной Муавром?

– Какую формулу он использовал в своих вычислениях?

Постановка проблемы

Классу предлагается решить две задачи :

– Что общего у этих двух задач? (речь идет об арифметической прогрессии)

– Каким образом задается арифметическая прогрессия? (указан первый член и разность)

– назовите первый член и разность этой прогрессии (по ходу обсуждения на переносной доске и в тетрадях учащихся записываются краткие записи обоих задач)

– Чем отличаются эти задачи? (разный вопрос)

– Что нужно найти в первой задаче? (одиннадцатый член прогрессии)

– А что нужно найти во второй задаче? (сумму одиннадцати членов прогрессии) Давайте эту сумму обозначим следующим образом S₁₁.

Один человек идет к доске и решает задачи на переносной доске; остальные работают в парах на местах.

– Вы смогли решить вторую задачу?
– В чем затруднение?
– Чего мы еще не знаем?
– Какой у вас возникает вопрос?
– Так какой будет тема нашего урока? (вывешивается и записывается в тетрадях тема урока)

Решение проблемы.

Для начала давайте проведем небольшое исследование, чтобы открыть интересное свойство арифметической прогрессии, без которого нам сегодня не обойтись.

1.  Зададим произвольно арифметическую прогрессию.

Пусть а₁ =7; d = 2.

– Назовите первые 10 членов этой прогрессии: (дети пишут в тетрадях; я – на доске)

а₁=7; а₂= 9; а₃=11; а₄=13…… а₁₀ =25

– найдите суммы: а₁ + а₈ = 28

а₂ + а₇ = 28
а₃ + а₆ = 28
а₄ + а₅ = 28

– что интересного вы заметили в этих равенствах? (имеют равные значения)

– обратите внимание на номера членов прогрессии, которые я выбирала.

– что вы заметили?

– что можно сказать о сумме этих номеров?

– а теперь найдите мне сумму членов прогрессии, у которых номера в сумме дают, например,8.(на доске появляются соответствующие равенства)

– Так какой вывод можно сделать? Попытайтесь сформулировать это свойство прогрессии. / Если суммы номеров членов прогрессии равны, то равны и суммы соответствующих членов прогрессии/

Это свойство можно сформулировать в таком виде:

Если а_н – арифметическая прогрессия и p +m = k +l , То
a_p + а_m = а_k + а_l

доказательство (ученик доказывает свойство возле доски, используя формулу н-ного члена арифметической прогрессии)

Упражнение 1.

Рассмотрим конечную арифметическую прогрессию

а₁а₂ а_{3 ……………}а_н-2 а_н-1 а_н

– найдем сумму первого и последнего члена а₁+ а_н

– какие еще пары будут давать сумму, равную этой? Почему?

2. В учебнике Магницкого, изданном 200 лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул в ней не дано.

Между тем, сумма членов арифметической прогрессии вычисляется простым и наглядным способом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая прогрессия изображалась ступенчатой фигурой (лесенкой).

Пусть, например, надо вычислить сумму членов прогрессии, состоящей из 10 первых натуральных чисел:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

– Эта прогрессия изображалась так (вывешиваю на доску)

– Ну а дальше пририсовывали к этой лесенке еще одну, в точности такую-же, только расположенную “вниз головой” так, чтобы получился прямоугольник.

– Проанализируйте предложенный способ и расскажите, как с его помощью можно найти сумму членов этой прогрессии?

– чему будет равна сумма всех членов последовательности? (10 Х 11=110)

– сколько одинаковых лесенок мы взяли? (две)

– на сколько надо поделить полученную сумму, чтобы получить окончательный результат? (на 2)

3. – А теперь представьте, что я хочу найти сумму, например, 150–ти членов прогрессии.

-– Удобно в этом случае пользоваться лесенками? (нет)

– А обязательно ли их вообще рисовать? Может, можно как-то схематизировать предложенный способ, чтобы обойтись без лесенок? Предложите свои варианты.

– Что если вместо первой лесенки я запишу все члены нашей прогрессии в один ряд? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

– Ну а что можно сделать вместо второй лесенки? (записать такой же ряд, но в обратном порядке)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

– чему равна сумма в каждом столбце? (11)

– Сколько таких сумм мы имеем? (10)

– чему равна сумма членов прогрессии в двух строчках?(110)

– как найти искомую сумму?(/2)

4. А теперь давайте таким – же способом найдем сумму н – первых членов произвольной прогрессии (а_н)

– Что мне для этого надо сделать? (дважды записать в прямом и обратном порядке)

– Чему равна сумма в первом столбце?

– А в последнем столбце?

– Можем ли мы утверждать, что суммы во всех столбцах равны? Почему? (суммы номеров равны)

– сколько всего таких сумм? (п.)

– Чему равна сумма всех записанных здесь членов прогрессии?

– Чему равна искомая сумма?

На доску вывешивается опорный конспект.

– попробуйте сформулировать словами, как найти сумму н – первых членов арифметической прогрессии. (Спрашиваю значение каждого символа);

– расскажите друг другу эту формулу;

– несколько человек проговаривают формулу вслух.

Закрепление

1. Решается задача из постановки проблемной ситуации ( на доске)
2. №369а – устно
3. №369б – на доске
4. На картине Богданова – Бельского “Устный счет. В народной школе С.А.Рачинского” изображены реальные события, происходящие в 1872 году в селе Татево: урок математики; дети сосредоточены на решении примера

Можно ли применить полученную нами сегодня формулу для того, чтобы упростить вычисления в этом примере?