Еще раз о квадратных уравнениях

Цели урока:

• обеспечить закрепление теоремы Виета;
• обратить внимание учащихся на решение квадратных уравнений ах² + вх + с = 0, в которых а + в + с = 0 (а – в + с = 0);
• привить навыки устного решения таких уравнений;
• способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов;
• развивать самостоятельность и творчество.

ХОД УРОКА

I. Психологический настрой учащихся

– Теперь проверим домашнее задание, а затем пройдём особые свойства квадратного уравнения, применяя которые мы можем быстрее найти корни квадратного уравнения. Давайте и мы зажжём в себе огонь!

II. Проверка дом. Задания

х2 + х – 2 = 0        х1 = 1 и х2 = – 2; х2 + 2х – 3 = 0      х1 = 1 и х2 = – 3; х2 – 3х + 2 = 0      х1 = 1 и х2 = 2; 5х2 – 8х + 3 = 0    х1 = 1 и х2 = 3/5  2х2 – 3х – 9 = 0    х1 = 3 и х2 = – 1,5

пять учеников решают  у доски

Остальные отвечают на вопросы (задания 1-4 и 6:устная работа через мультимедийный проектор).

1. Как  называются уравнения:

5х² – 6х + 1 = 0
– 2х² + 3х = 0
х² – 7х + 5 = 0
5х² – 1 = 0

2. Как называются выражения:  в² – 4ас; k² – ас (по латыни «различитель»)

3. Решить устно:

х² – 4 = 0 (х₁ = 2; x₂ = – 2)
5х² + 3 = 0 (нет корней)
2х² – 4х = 0 (х₁ = 0; x₂ = 2)
х² + 16х + 63 = 0 (х₁ = – 7; x₂ = – 9)

4. Какие из уравнений не имеют корней: х² – 1 = 0

(х – 1)² = 0
(х – 2)² + 4 = 0
(х + 2)² = 0
х² + 5 = 0
| – 2х | + 0,6 = 0

5. Как используется теорема Виета при решении квадратных уравнения общего вида ах² + вх + с = 0? (заменить уравнение равносильным ему квадратным приведённым уравнением).

6. Найти сумму и  произведение корней следующих уравнений:

х² – 3х – 4 = 0                    х = 3 и – 4
х² – 9х + 14 = 0                  х = 9  и 14
2х² – 5х + 18 = 0                х = 2,5 и 9
3х² + 15х + 1 = 0                х = – 7 и – 2

Найти подбором корни 1 и 2 уравнений (х = 4 и – 1) (х = 7 и 2)

III. Работа с тестом (самоконтроль)

Вариант 1.

1. Запишите пример квадратного уравнения.
2. Запишите, чему равен второй коэффициент в уравнении: 2х² + х – 3 = 0.
3. Запишите, чему равны: a, b и c в уравнении – 3х² + 5х = 0.
4. Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение вида ах² + с = 0?  
5. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный?
6. В каком случае уравнение имеет два корня?
7. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.
8. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.
9. Чему равна сумма корней квадратного уравнения ах² + bx + с = 0?
10. Приведите пример целого рационального уравнения.

Вариант 2.

1. Запишите пример квадратного уравнения.
2. Запишите, чему равен первый коэффициент в уравнении: – х² + 4х – 7 = 0.
3. Запишите, чему равны: а, b и с в уравнении 5х² – 8 = 0.
4. Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение вида ax² + bx = 0?
5. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?
6. Какое уравнение называют приведённым квадратным уравнением?
7. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.
8. Напишите формулу корней квадратного уравнения.
9. Чему равно произведение корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0?
10. Приведите пример дробного рационального уравнения.

Физминутка под музыку

IV. Новая тема

– Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения различными способами:

1) выделением квадрата двучлена;
2) по формуле корней;
3) с помощью теоремы Виета.

И каждый раз убеждались в том, что уравнения можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся ещё с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.
Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов

х² – 5х + 1 = 0                                                    1 – 5 + 1 = – 3
9х² – 6х + 10 = 0                                                9 – 6 + 10 = 13
х² + 2х – 2 = 0                                                    1 + 2 – 2 = 1
х² – 3х – 1 = 0                                                    1 – 3 – 1 = – 3

– При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов.

– Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома. (Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратных уравнений).

– Ребята, а сейчас посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти какую-то закономерность

1) в корнях этих уравнений;
2) в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;
3) в сумме коэффициентов.

Попробуем сформулировать правило: Если в уравнении ах² + вх + с = 0 (а + в + с = 0), то один из корней равен 1, а другой (по т. Виета) равен с/а.

Запишем в тетрадях. Это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений.

V. Работа с учебником с.115    №534 (а, б, д) – устно (сверится с ответом)

VI. Решить устно

х² + 23х – 24 = 0 (х = 1 и – 24)
2х² + х – 3 = 0 (х = 1 и – 3/2)
– 5х² + 4,4х + 0,6 = 0 (х = 1 и – 3/25)
1/3 х² + 2,2/3х – 3 = 0 (х = 1 и – 9)

Примечание: если а – в + с = 0 , то х₁ = – 1, х₂ = – с/а 

VII. Закрепление темы № 539(г), 541(в) стр. 116-117

VIII. Выводы

1) Сформулировать теорему Виета.
2) Чтобы полное квадратное уравнение, имеющее дробные корни, решить устно, использую теорему Виета, надо выполнить следующее:

а) свести ах² + вх + с = 0 к виду у² + ву + ас = 0, умножив обе части уравнения на а = 0   а²х² + вах + ас = 0 и ах = у, то у² + ву + ас = 0, т. е. уравнение стало приведённым, имеющим целые корни.
б) решить по теореме Виета
в) разделить каждый полученный корень на первый коэффициент

Пример:

1) 2х² – 3х – 9 = 0 – домашнее уравнение
2 · 2х² – 2 · 3х – 18 = 0
2х = у, то у² – 3у – 18 = 0
По т. Виета у₁ = 6, у₂ = – 3
Итак  х₁ = 6/2 и х₂ = – 3/2
х₁ = 3 и х₂ = – 1,5

2) 4х² – х – 5 = 0               / · 4
4 · 4х² – 4х – 20 = 0
4х = у, то у² – у – 20 = 0
у₁  = 5 и у₂ = – 4
х₁ = 1,25 и х₂ = – 1

IX.

№641(а) – самостоятельно

X. Задание на дом: №547 и №586 (знаки корней уравнения)

XI. Оценивание учащихся.