Обучающие цели:
- Освоить теоретический материал, необходимый для решения задач, связанных с исследованием свойств функции: выявить необходимое условие существования экстремума функции в точке, изучить теоремы, выражающие зависимость характера монотонности функции от знака производной, получить формулировку достаточного условия существования экстремума в точке, составить алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.
- Дать представление о новом классе задач – исследовании свойств функции с помощью производной.
- Рассмотреть задачи этого типа из материалов для подготовки к ЕГЭ.
Развивающие цели:
- Стимулировать активную мыслительную деятельность, способности к анализу и обобщению.
- Способствовать формированию грамотной математической речи, развитию теоретического мышления.
- Развивать навыки самоконтроля, само- и взаимооценки.
Воспитательные цели:
- Формировать культуру общения, умение слушать.
- Воспитывать работоспособность, учебную активность, дисциплину, уважение ко всем участникам учебного процесса, устойчивый интерес к предмету.
Оснащение урока:
- Компьютер (Windows XP, Office 2007).
- Интерактивная доска (проектор).
- Раздаточные печатные материалы для учащихся ( бланки с заданиями разминки, опорные конспекты основных теоретических сведений, распечатки с тематической подборкой заданий ЕГЭ).
- Презентация к уроку.
Этапы урока
I. Организационный момент
1) Организация учебного пространства в кабинете с противоположным размещением интерактивной и обычной досок.
2) Настрой на продуктивную работу.
II. Актуализация знаний
1) Повторение понятий: монотонность функции, экстремумы, геометрический смысл производной,
2) Создание «ситуации успеха».
Формы работы: индивидуальная тестовая работа, взаимопроверка и взаимооценка результатов теста.
Разминка. Слайды 3-8
Слайд 3.
1. Закончите формулировки утверждений:
A) функцию у = f(х) называют
возрастающей на множестве ХC D(f), если для любых
двух точек х1 и х2 множества
Х, таких, что х1 < х2 ,…
Б) если в некоторой точке графика функции
можно провести касательную, не перпендикулярную
оси абсцисс, то в этой точке функция ….
В) если к графику функции у = f(х) в
точке с абсциссой х = a можно провести
касательную, непараллельную оси Y, то f
‘(х) выражает …
Г) если касательная к графику функции у = f(х)
в точке х = а образует с положительным
направлением оси Х острый угол, то производная в
этой точке …
Слайд 4.
2. Выберите верное утверждение:
А) Точку х0 называют точкой максимума
функции у = f(х)если для всех х ≠ х0
выполняется неравенство f(х) < f(х0).
Б) Точку х0 называют точкой максимума
функции у = f(х), если для всех х ≠ х0 выполняется неравенство f(х) < f(х0).
В) Точку х0 называют точкой максимума
функции у = f(х), если у этой точки
существует окрестность, для всех точек которой,
таких, что х ≠ х0 , выполняется
неравенство f(х) < f(х0).
Слайд 5.
Определите знаки производной в точках, отмеченных на графике функции <Приложение 1. Рисунок 1 >
Ответы к тестовым заданиям ученики вписывают в бланки <Приложение 1>. По окончании – само- и взаимопроверка. Ответы к заданиям – в слайдах 6-8:
Слайд 6.
А) функцию у = f(х) называют
возрастающей на множестве ХC D(f), если для любых
двух точек х1 и х2 множества
Х, таких, что х1 < х2 ,
выполняется неравенство f(х1)
< f(х2).
Б) если в некоторой точке графика функции
можно провести касательную, не перпендикулярную
оси абсцисс, то в этой точке функция
дифференцируема.
В) если к графику функции y = f(х) в
точке с абсциссой х = a можно провести
касательную, непараллельную оси у, то f
‘(a) выражает угловой коэффициент
касательной.
Г) если касательная к графику функции y = f(х)
в точке х = а образует с положительным
направлением оси Х острый угол, то производная в
этой точке положительна.
Слайд 7.
Верное утверждение:
В) Точку х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, таких, что х ≠ х0 , выполняется неравенство f(х) < f(х0).
Слайд 8.
Ответы: производная равна нулю в точках В, D, Н; положительна в точках С, G; отрицательна в точках А, Е и не существует в точках F, K.
III. Постановка учебной задачи
1) Создание ситуации «интеллектуального
конфликта» – выход на задачу, способствующую
выявлению дефицита способностей;
2) Фиксация данной задачи («разрыв») в виде
вопроса, анализ проблемной ситуации.
3) Выход на проблему: в домашнем задании решение
уравнения известными способами не удалось.
Применение производной для исследования функций.
Определенно, существует тесная связь между свойствами функции и ее производной. Но какая – предстоит найти. Итак, …
IV. Решение поставленной задачи: конструирование нового способа действий
Задание 1 (по графику на слайде 10)
- Опишите характер монотонности функций в окрестностях точек х = а и х = b.
- Являются ли точки с абсциссами а и b экстремумами данных функций?
- Как ведут себя касательные к графикам этих функций в указанных точках?
- Найдите, если возможно, значения производных этих функций в данных точках.
- Сделайте вывод о необходимом условии существования экстремума функции в точке.
Выводы, сделанные при выполнении этого задания, обобщаются следующей теоремой.
Слайд 11.Теорема. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Вводим новые термины ( слайд 12):
Стационарная точка – внутренняя
точка области определения функции, в которых
производная равна нулю.
Критическая точка – внутренняя точка
области определения функции, в которых функция
непрерывна, но производная не существует.
Слайд 13.
Задание 2.
Найдите точки, в которых функция у = х3
– 3х + 1 может иметь
экстремумы.
Ученики решают задание в парах с опорой на
теорему. Взаимопроверка проводится по образцу
решения на этом же слайде:
Решение:
f ‘(x) = 3x2 – 3.
f ‘(x) существует при всех значениях
аргумента.
f ‘(x) = 0 при х = 1 и х = – 1. Эти
точки могут быть точками экстремума.
Слайд 14. Сравните данный чертеж с предыдущим и подумайте: является ли указанное условие достаточным для существования экстремума в данной точке?
(На чертеже выделены одна критическая и одна стационарная точки, не являющиеся точками экстремума!)
Учащиеся должны отметить, что в точке а производная равна нулю, а в точке b не существует. Тем не менее, в этих точках экстремумов нет.
Слайд 15.
Вывод: при переходе через точку экстремума характер монотонности функции меняется.
Вопрос: как связаны монотонность функции и производная?
Слайд 16. Рассмотрите рисунки и постарайтесь установить зависимость между знаком производной и характером монотонности функции на промежутке [a;b]. Сформулируйте выводы. ( на рисунках – эскизы графиков монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций, к каждому графику проведены касательные в нескольких точках.)
Слайд 17. Сравните свои выводы со следующим утверждением:
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция y = f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.
На противоположной доске предлагается рассмотреть график возрастающей функции, имеющей т.н. точки перегиба – точки, в которых касательная параллельна оси Х. подходит ли такая формулировка к этой функции?
Слайд 18. Сравните формулировки теорем:
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция y = f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная неотрицательна (соответственно неположительна) во внутренних точках этого промежутка и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция y = f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.
Обобщаем информацию и делаем выводы (слайды 19-21). Используя рисунок слайда 20, ответьте на вопрос: Чтобы точка х = х0 была точкой экстремума функции, достаточно, чтобы: … (ваше мнение?)
Необходимо подвести учеников к осознанию необходимости выполнения следующих условий в точке: непрерывность, равенство производной нулю или ее отсутствие, смену знака производной при переходе через точку. Далее дается строгая формулировка (слайд 21):
Теорема (достаточные условия экстремума).
Пусть функция у = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется неравенство f ‘(x) < 0, а при x > x0 – неравенство f ‘(x) > 0, то х = х0 – точка минимума функции у = f(x);
б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется неравенство f ‘(x) > 0, а при x > x0 – неравенство f ‘(x) < 0, то х = х0 – точка максимума функции у = f(x);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней слева и справа от точки х = х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет.
Продумайте формулировку «рабочего» правила!
V. Первичное закрепление
1) Решение типовых заданий по материалам ЕГЭ прошлых лет.
2) Проговаривание способа решения.
Слайд 22. Решите задачу.
На рисунке – эскиз графика функции у = f '(х) (график производной функции у = f(х)). Укажите:
- Промежутки монотонности функции у = f(х);
- Точки, в которых касательная к графику функции у = f(х) параллельна оси абсцисс;
- Стационарные и критические точки;
- Точки минимума и максимума.
Слайд 23 .Ответы :
- Функция возрастает на промежутках [x0;x2] и [x2; x4]
- Точки, в которых касательная к графику функции у = f(х) параллельна оси абсцисс: х0, х2, х4.
- Стационарные точки: х0, х2, х4. Критическая точка: х5;
- Точка минимума – х0, максимума – х4.
В качестве заданий для первичного закрепления
выбраны задачи из КИМов ЕГЭ, традиционно
вызывающие сложности у выпускников – на
исследование свойств функции по графику ее
производной. (Учебно-тренировочные материалы
ФИПИ).
При наличии времени – решение заданий по
задачнику.
VI. Итог занятия
1) Рефлексия деятельности на уроке (что нового узнали);
2) Самооценка учениками собственной деятельности.
На этом этапе обязательно вслух, с опорой на конспекты <Приложение 2> проговариваются полученные в ходе урока формулировки и утверждения, прогнозируются области применения новых знаний
VII. Задание на дом
Теоретический материал: учебник «Алгебра и
начала анализа. 10 класс. Профильный уровень». А.Г.
Мордкович, П.В.Семенов – §44 п. 1,2
Решение заданий из задачника: §44, № 44.6
(в,г), 44.8 (б), 44.10 (в), 44.35(а)
Творческое задание: подготовить презентацию
о использовании второй производной для анализа
свойств функций.