Задача с параметром

Савельева Рима Юрьевна, преподаватель

Разделы: Математика

Тип занятия: практическая работа.

Учебно-воспитательные задачи:

Научить учащихся применять различные методы решения неравенств с параметром;
Продолжать формировать умения и навыки применения решения неравенств;
Продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;
Воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений;
Напоминать, что только осознанное применение алгоритмов решения неравенств позволит учащимся качественно усвоить изучаемую тему.

Обеспечение занятия:

Таблица основных методов решения неравенств с параметрами;
Карточки-задания для проверочной работы.

Студент должен знать:

Алгоритмы решения неравенств с параметром.

Студент должен уметь:

Применять полученные знания к решению неравенств с параметром.

Ход занятия

I. Организационный момент.

Задача с параметром.

Нужно усвоить главное:

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет двойственную природу.

Во-первых предполагаемая известность позволяет “общаться” с параметром как с числом.
Во-вторых – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.

Существует класс задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие – либо искусственные ограничения.

II. Рассмотрим задачу:

Найти множество всех а, при которых неравенство <0 выполняется при всех х [1; 2]

III. Повторение опорных знаний учащихся.

Для того чтобы решить задачу, рассмотрим устные упражнения:

1) Что значит решить задачу с параметром?

Ответ: Значит найти все значения неизвестного при всех допустимых значениях параметра

2) Какие методы решения можно использовать?

Ответ: Аналитический метод, метод интервалов, графический метод.

3) Алгоритмы решений:

- Аналитический метод:

Рассмотреть совокупность систем.
Найти решение совокупности систем.
Работа с параметром.
Ответ.

- Метод интервалов:

Рассмотреть функцию (x) и найти область определения.
Найти нули функции.
Отметить положение нулей на числовой оси с учетом D(f).
Найти знаки функции в промежутках между её нулями, начиная с крайнего правого промежутка (всегда положительна?).
Работа с параметром.
Ответ.

- Графический метод:

Рассмотреть плоскость (х; а).
Указать точки, где числитель и знаменатель равны нулю.
Определить знак неравенства в каждой из четырёх областей.
Работа с параметром.
Ответ.

4) При каких а система , не имеет решений?

Ответ: при а 3

5) При каких а система имеет единственное решение?

Ответ: при а = -2

6) При каких а существует ровно три целых числа, являющихся решением системы неравенств

Ответ: при 4<a5

7) При каких а решением системы , является промежуток а) (3;); б) [5;?

Ответ: а) при а 3; б) при а 5.

IV. Решение задачи.

Работа по группам:

1 группа. Аналитический метод решения неравенства.

Данное неравенство равносильно совокупности систем:

ИЛИ

a<x<2a+1

2a+1<x<a

Итак: а<х<2а+1 , 2а+1<x<а

Рассмотрим три случая:

1) a<x<2a+1,

1/2<a<1

2) 2a+1<x<a,

Нет решений

3) 2a+1=a,

a=-1

Нет решений

Следовательно, ответ: 1/2<a<1.

2 группа. Графический метод решения неравенства.

Решим это неравенство методом, аналогичным методу интервалов.

Для этого на плоскости (х; а) укажем точки, где х-2а-1=0 и х-а=0 .

Определим знак неравенства в каждой из 4-х областей. Найдя его в одной точке, например (10;0). Тогда при переходе через любую прямую меняя знак дроби.

Множество точек плоскости, удовлетворяющих данному неравенству, расположены в заштрихованных областях.

Если проведем любую прямую а=a₀, то ее часть, лежащая в заштрихованной области, дает интервал, в котором содержится х и при а=a₀.

Нужно найти такие точки а, при которых этот интервал целиком содержит отрезок [1;2]. Для этого проведем прямые х=1, х=2. Выделим из заштрихованной области ту часть, которая включает в себя полосу 1 х 2 – прямоугольник ABCD.

<a< – ответ.