Цель урока. Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения.
Задачи:
- Образовательные: научить решать некоторые виды уравнений уравнений модулями и параметрами;
- Развивающие: развивать культуру мысли, культуру речи и умение работать с тетрадью и доской.
- Воспитательные: воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.
Оборудование: наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы. Интерактивная доска, мультимедийное оборудование урока.
Структура урока:
- Повторение изученного материала (устный счёт).
- Изучение нового материала.
- Закрепление изученного материала.
- Итог урока.
- Домашнее задание.
ХОД УРОКА
1. Повторение важнейшего теоретического материала по темам: «Уравнения, содержащие модуль», «Решение уравнений с параметрами»
1) «Уравнения, содержащие модуль»
Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a, если a > 0, число – a, если a < 0, нуль, если a = 0. Или
| | a | ={ | a, если a > 0 |
| 0, если a = 0 | |
| – a, если a < 0 |
Из определения следует, что | a | > 0
и | a | > a для всех a € R .
Неравенство | x | < a, (если a
> 0) равносильно двойному неравенству – a <
х < a.
Неравенство | x | < a, (если a < 0)
не имеет смысла, так как | х | >0.
Неравенство | x | > a, (если a > 0)
равносильно двум неравенствам
Неравенство | x | > a, (если a < 0)
справедливо для любого х € R.
2) «Решение уравнений с параметрами»
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
а) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;
б) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнения.
2. Устные упражнения
1. Решить уравнение | x – 2 | = 5; Ответ: 7; – 3
| x – 2 | = – 5; Ответ: решения нет
| x – 2 | = х + 5; Ответ: решения нет; 1,5
| x – 2 | = | x + 5 |; Ответ: решения нет; – 1,5; решения нет; – 1,5;
2. Решить уравнение: | x + 3 | + | y – 2 | = 4;
Расcмотрим четыре случая
1.
| { | x + 3 > 0 | { | x > – 3 |
| y – 2 > 0 | y > 2 | ||
| x + 3 + y – 2 = 4 | y = – x + 3 |
2.
| { | x + 3 > 0 | { | x > – 3 |
| y – 2 < 0 | y < 2 | ||
| x + 3 – y + 2 = 4 | y = x + 1 |
3.
| { | x + 3 < 0 | { | x < – 3 |
| y + 2 > 0 | y > – 2 | ||
| – x – 3 – y – 2 = 4 | y = x + 9 |
4.
| { | x + 3 < 0 | { | x < – 3 |
| y + 2 < 0 | y < – 2 | ||
| – x – 3 – y – 2 = 4 | y = – x – 9 |
В результате мы получаем квадрат, центр которого (–3; 2), а длина диагонали равна 8, причем диагонали параллельны осям координат.
Из наглядных соображений можно сделать вывод: что уравнение вида | х + a | + | у + b | = с; задает на плоскости квадрат с центром в точке (– а; – b), диагоналями параллельными осям OX и ОУ, и длина каждой диагонали равна 2с. Ответ: (– 3; 2).
2. Решить уравнение aх = 1
Ответ: если a = 0, то нет решения; если a = 0, то х = 1/ a
3. Решить уравнение (а2 – 1) х = а + 1.
Решение.
Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:
1) а = 1; тогда уравнение принимает вид ОX = 2 и не имеет решения
2) а = – 1; получаем ОX = О , и очевидно х – любое.
1
3) если а = + 1, то х = –––
а
– 1
Ответ:
если а = – 1, то х – любое;
если а = 1, то нет решения;
1
если а = + 1 , то х = –––
а
– 1
3. Решения примеров (из вариантов С)
1. При каком значении параметра р уравнение | х2 – 5х + 6 | + | х2 – 5х + 4 | = р имеет четыре корня.
Решение.
Рассмотрим функцию у = | х2 – 5х + 6 | + | х2 – 5х + 4 |
Так как х2 – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3) и х2 – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |, корни квадратных трехчленов отметим на числовой прямой
1 2 3 4 х
Числовая прямая при этом разбивает на 5 промежутков
1.
| { | x < 1 | { | x < 1 |
| y = x2 – 5x + 6 + x2 – 5x + 4 | y = 2x2 – 10x + 10 |
2.
| { | 1 < x < 2 | { | 1 < x < 2 |
| y = x2 – 5x + 6 – x2 + 5x – 4 | y = 2 |
3.
| { | 2 < x < 3 | { | 2 < x <3 |
| y = – 2x2 + 10x – 10 | y = – x2 + 5x – 6 – x2 + 5x – 4 |
4.
| { | 3 < x < 4 | { | 3 < x < 4 |
| y = 2 | y = x2 – 5x + 6 – x2 + 5x – 4 |
5.
| { | x > 4 | { | x > 4 |
| y = 2x2 – 10x + 10 | y= x2 – 5x + 6 + x2 –5x + 4 |
Для случая 3) х0 = – b | 2a = 2, y0 = 25 : 2 + 25 – 10 = 2,5
Итак, (2,5; 2,5) – координаты вершины параболы y = – 2x2 + 10x – 10.
Построим график функции, заданной равенством
Как видно из рисунка, исходное уравнение имеет четыре корня, если 2 < а < 2,5
Ответ: при 2 < а < 2,5
4. Самостоятельная работа по уровням
1 уровень
1. Решить уравнение х2 – | x | = 6
2. При каких целых значениях а имеет единственное
решение уравнение ах2 – (а + 1) + а2
+ а = 0?
2 уровень
1. Решить уравнение: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10
2. Найти все значениях параметра а, при
которых уравнение (а –12) х2 + 2 =
2(12 – а) имеет два различных корня?
3 уровень
1. Решить уравнение | x – 5 | – | 2x + 3| = 10
2. Найти все значениях параметра а, при
которых уравнение (а – 12) х2 + 2 = 2(12
– а) имеет два различных корня?
5. Итог урока
1. Определение модуля.
2. Что значит решить уравнение с параметром?
6. Задание на дом. C5 варианта №11 Ф.Ф. Лысенко. Математика, 2012