Цель урока:
- Знакомство с понятием сечения многогранника.
- Определение видов многоугольников, являющихся сечениями тетраэдра и параллелепипеда.
- Классификация задач на построение сечений по способу задания секущей плоскости.
- Рассмотрение примеров решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.
Ход урока
Изложение нового материала.
Назовем секущей плоскостью многогранника плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки называется сечением многогранника. Поскольку тетраэдр имеет четыре грани, его сечением могут быть только треугольники и четырехугольники (учитель показывает Слайд 1 из презентации 1). Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть только треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (Слайд 2 из презентации 1).
Типы задач на построение сечений.
(Слайд 3 из презентации 1)
В задачах на построение сечений секущая плоскость может быть задана:
- Двумя пересекающимися прямыми.
- Двумя параллельными прямыми.
- Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.
- Тремя точками, не лежащими на одной прямой.
Поскольку прямая задается двумя точками, то все задачи на построение сечений можно свести к построению сечения плоскостью, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
Эти точки могут быть расположены: А) в вершинах; Б) на ребрах; В) на гранях.
В соответствии с вышесказанным можно сформулировать следующие типы задач, в зависимости от того где расположены три точки, задающие секущую плоскость:
1) ААА; 2)ААБ; 3)ААВ; 4)АББ; 5)АБВ; 6)АВВ; 7)БББ; 8)ББВ; 9)БВВ; 10)ВВВ.
Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, после чего останется провести отрезки соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.
Рассмотрим решение задачи 1 из текста учебника. (Презентация 2, ученики выполняют построение в тетрадях.)
На ребрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Решение.
Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани АВС. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой МЕ. Прямая МЕ пересекает ребро АС в некоторой точке Q. Четырехугольник MNPQ искомое сечение.
Закрепление нового материала.
Решение задачи Т-ББВ (один из учеников решает на доске, остальные решают в тетради).
Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки Е и F, лежащие на ребрах DC и BD соответственно, и точку G, лежащую на грани ABC.
Решение задачи П-ББВ (один из учеников решает на доске, остальные решают в тетради).
Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки Е и F, лежащие на ребрах АВ и DD1 соответственно и точку G, лежащую на грани BCC1.
Домашнее задание.
Задачи Т-ААБ, Т-АБВ, П-ААА, П-БББ
(Учитель раздает распечатки с текстом задач из Приложения 1.)