“При изучении наук примеры полезнее
правил”.
Исаак Ньютон
В преподавании стереометрии большую роль играет компьютерная программа “Живая математика”. Требование времени - подвижная картинка. Наши ученики чуть ли не с пелёнок смотрят телевизор, мобильный телефон берут в руки едва ли не раньше, чем кубики. Уроки труда, на которых что-то пилили, строгали, клеили, заменили компьютерными технологиями. А на дачах пилят и забивают гвозди гости из Ближнего и Дальнего зарубежья.
И внимание в классе таблица с застывшей призмой не привлекает.
Уже с седьмого класса на уроках геометрии по мере изучения материала надо собирать с учащимися в конверт модели многоугольников, на обороте писать свойства, и повторять их постоянно, не только потому, что в ЕГЭ пришла геометрия.
По этому рисунку из конверта можно повторить весь курс планиметрии, задавая в начале урока вопросы, например:
1) если AE перпендикулярно BC, DE перпендикулярно BA, назовите высоты треугольника ABE; ABC;
2) запишите все формулы площади треугольника ABE; ABC при сохранении условия 1);
3) при условии, что 
ABE равнобедренный с тупым углом при
вершине a и боковой стороной a, вычислите
основание треугольника и его высоту BC…
(вариантов вопросов великое множество).
В десятом классе, пока идёт введение, аксиомы стереометрии, расширение на пространство параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, свойства из планиметрии надо повторять. Модели куба и тетраэдра и их изображения, а также развёртки должны пополнить конверт.
Но вот ввели наклонную и перпендикуляр к плоскости и пришло время открывать новый конверт: “Стереометрия”.
Наклонную и перпендикуляр к плоскости надо “потрогать”!
А тут ещё свойства: “равные наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, имеют равные проекции”, “точка, равноудалённая от сторон многоугольника, проектируется в центр вписанной окружности”, “точка, равноудалённая от вершин многоугольника, проектируется в центр описанной окружности”… И рисунок на доске не убеждает.
Не пожалейте время, сделайте с ребятами складную модель. Для этого нужны бумага, карандаш, иголка и цветные нитки потолще.
Задача №6 п.16 по учебнику “Геометрия 7-11” Погорелова А.В.
Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника.
К задаче дан чертёж. Но попробуйте продемонстрировать ребятам на уроке модель, “сшитую”.
Задача.
Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a, пересекающие её в точках C и D соответственно. Найдите расстояние между точками A и B, если AC =3 м, BD =2 м,CD=2,4 м и отрезок AB не пересекает плоскость a.
Задача.
Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин C и B, если AC =a, BC =b, AD =c.
Это рисунок к задаче, но ребята вряд ли увидят здесь четыре прямоугольных треугольника. Правда, к этому моменту теорема о трёх перпендикулярах ещё не доказана, и задача может быть решена без неё. Но попросите своих учеников заранее приготовить на листе плотной бумаги размером с тетрадный лист чертёж.
Берите иголку с ниткой и начинайте шить.
С изнанки через точку В протаскиваем иголку, по лицевой стороне соединяем точки B и D, по изнанке нить прокладываем вдоль отрезка DA и возвращаемся на лицевую через точку A.
Через D проходим на изнанку и, не сгибая листа, завязываем концы нитей, торчащие из точек D и B (хвостики можно закрепить скотчем). Перегибаем по линии сгиба, натягиваем нитки до положения, кода плоскости ABD и ABC перпендикулярны и….
Задавайте свои вопросы:
1) перечислите перпендикулярные плоскости;
2) назовите прямоугольные треугольники;
3) назовите наклонные к плоскости ABC и их проекции;
4) назовите наклонные к плоскости ABD и их проекции (внимание к проекциям!).
А через пару уроков у ваших детей иллюстрация к теореме о трёх перпендикулярах и не только:
1) назовите углы, образованные прямыми DA, DB, DC и плоскостью ABC;
2) назовите углы, образованные прямыми DA, DB, DC и плоскостью ABD;
3) назовите угол между плоскостями ABC и ABD(не забудьте подтянуть нитки с изнанки, чтобы изменить перпендикулярность плоскостей).
Задача №57.
Из вершин A и B острых углов прямоугольного треугольника ABC восставлены перпендикуляры AA1 и BB1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка A1B1, если A1C=4 м, AA1 =3 м, B1C = 6 м, BB1= 2 м и отрезок A1B1 не пересекает плоскость треугольника.
Модели на фотографиях сделаны с помощью ниток, иголки, цветных фломастеров на ватмане. Они хранятся в конвертах, их легко применять. С их помощью легко отрабатываются основные понятия стереометрии: наклонная и проекция, углы между плоскостями, угол между прямой и плоскостью, перпендикулярность плоскостей и т.д.
Ребята используют их при подготовке к зачёту, на контрольной работе на первых порах. Если не получается домашняя работа, ученик приносит такую модель и рассказывает решение задачи по ней. Со временем необходимость в моделях отпадает, или ребята делают свои варианты.
Экспериментируйте!
Треугольник равносторонний
Правильный
Прямоугольный
Тупоугольный окружностями вписанной и описанной;
Параллелограмм
Ромб
Квадрат
Прямоугольник
Трапеция прямоугольная, равнобедренная
Произвольный четырёхугольник
Правильный шестиугольник, семиугольник, десятиугольник.