Цели урока:
обучающие – повторение и закрепление теоретического материала, т.е. актуализация опорных знаний и отработка умений находить производную функции, исследовать функцию с помощью производной; владение геометрическим и физическим смыслом производной; применение производной при выполнении заданий ЕГЭ;
развивающие –
- формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности на основе расширения представлений о производной, умения ориентироваться в информационном пространстве, развитие умения составлять задачи и задачи, обратные к ним;
- вовлечение учащихся в коммуникативную, практическую деятельность как фактор личностного развития;
- научить детей работать в нестандартной ситуации;
воспитательные – воспитание уважения к мнению других, умение слушать.
Ход урока
I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
Число. Тема. Цели.
Вы умеете находить производные функций и решать задачи на применение производных.
Сегодня вы будете работать в нестандартной ситуации, познакомитесь с заданиями по теме: "Производная", которые предлагались на ЕГЭ.
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
Основной вопрос: Виды задач, встречающиеся на применение производной.
Ребята в группах провели исследовательскую работу по отбору задач из КИМов ЕГЭ и на этом уроке представят нам свои проекты.
Ребята, нужно слушать внимательно, записывать в тетрадь, т.к. будет самостоятельная работа, где встретятся похожие задачи.
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ.
1. Геометрический смысл производной.
Повторение теории.
Практическая часть:
- Устная работа. Слайды 3-4.
- Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y= 2x+eх в его точке с абсциссой xo=0.
Ответ: 3. - Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой xo=π/2.
Ответ: 7.
- Письменная работа. Слайды 5-8.
-
Найдите т. xo, если тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y=3x2-7x+5 в точке с абсциссой xo, равен 2.
Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой xo равен значению производной функции в точке xo, то tgα=y' (xo)=2. Найдем производную y'=6x-7 и решим уравнение
6 xo-7=2
xo=1,5.
Ответ: 1,5. -
Пусть касательная к графику функции y= f(x), проведенная в т. М(-2;-9) параллельна прямой 28x-4y+420=0. Найдите значение производной f '(-2).
Решение. Значение производной f ' (-2) это угловой коэффициент касательной к графику функции y= f(x) в т. М(-2;-9). Так как эта касательная параллельна прямой 28x-4y+420=0, то их угловые коэффициенты равны.
Найдём угловой коэффициент прямой:
28x-4y+420=0,
4y=28x=420,
y=7x+105.
k=7=kкас = f ' (-2).
Ответ: 7. - В8. На рисунке изображен график производной функции y=f (x).
1) К графику функции y=f(x) в точке с абсциссой xo =-4 проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент.
Ответ: -2.
2) К графику функции проведены все касательные параллельные прямой y=x-5,(или совпадающие с ней). Найдите число этих касательных.
Ответ: 3.
3) Найдите число касательных к графику функции y=f(x), которые наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс.
Ответ: 3.
4) Найдите наибольшую из абсцисс точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс [прямой у=6].
Ответ: 4.
2. Физический смысл производной.
Повторение теории.
Практическая часть:
- Устная работа. Слайд 3.
Найдите момент остановки тела, движущегося по закону s(t)= t²-6t-16
Ответ: 3
- Письменная работа. Слайды 4-8.
-
Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t)= t²+t+2, где x(t) – координата точки в момент времени t (время измеряется в секундах, расстояние в метрах). В какой момент времени скорость точки будет равна 5 м/с?
Решение: Скорость точки в момент времени t есть производная от координаты по времени.
Т.к. v(t) = x'(t) = 2t+1 и v = 5 м/с, то
2t +1= 5
t=2
Ответ: 2. -
При торможении маховик за t секунд поворачивается на угол φ(t)= 6t - t² радиан. Найдите угловую скорость ω вращения маховика в момент времени t=1 с.(φ(t) – угол в радианах, ω(t) – скорость в рад/с., t – время в секундах).
Решение:
ω(t) = φ'(t),
ω(t) = 6 – 2t,
t = 1 c,
ω(1) = 6 – 2 × 1 = 4 рад/с.
Ответ:4. -
При движении тела по прямой его скорость v'(t) (в м/с) изменяется по закону v(t)=15+8t-3t² (t – время движения тела в секундах). Каким будет ускорение тела (в м/с²) через 1 секунду после начала движения тела?
Решение:
v(t)=15+8t-3t²,
a(t)=v'(t),
a(t)=8-6t,
t=1,
a(1)=2 м/с².
Ответ: 2. -
Заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, вычисляется по формулеq(t)=2t2-5t. Найти силу тока при t=5c.
Решение:
i(t)=q'(t),
i(t)=4t-5,
t=5,
i(5)=15 А.
Ответ: 15. -
При движении тела по прямой расстояние s(t) от начальной точки М изменяется по закону s(t)=t4 -4t3 -12t +8 (t – время в секундах). Каким будет ускорение тела (в м/с2) через 3 секунды?
Решение.
a(t)=v '(t)=s''(t).
Найдем
v(t)=s'(t)=(t4-4t3-12t +8)' =4t3-12t2-12.
a(t)=v '(t)= s''(t)= (4t3-12t2-12)' =12t2-24t,
a(3)=12×32-24×3=108-72=36м/с2.
Ответ. 36.
3. Монотонность функции. Экстремумы
Повторение теории. Слайды 1-4
Практическая часть:
Устная работа. Слайды 6-7.
- Функция у =f (х) определена на промежутке (-4; 13). График производной у = f '(x) изображен на рисунке.
- Найдите число критических точек функции у = f (x).
- Укажите число точек максимума функции у = f (х).
- Найдите число промежутков убывания.
- Найдите длину промежутка возрастания функции.
Письменная работа. Слайды 8-10.
- На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-9;8).
- В какой точке отрезка[-8;-4] функция f(x) принимает наименьшее значение?
- В какой точке отрезка[0;6] функция f(x) принимает наибольшее значение?
- Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
- Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Рисунок 1.
- Найдите число точек экстремума разностей функций у = f (х) и у = 5х - 6, используя график производной у = f ' (x) (на рис.1).
Решение: Найдем точки экстремума функции g (x) = f (x)-5x+6.
Поскольку производная g' (x) = f '(x) – 5 существует при всех х из (-8;13), то в точке экстремума xo выполняется g' (xo) =0.
График функции g'(x) =f ’(x) – 5 получается из графика функции у = f ' (x) параллельным переносом вдоль оси у на 5 единиц вниз и пересекает ось абсцисс в двух точках: х=2, х=6 (рис.2). Производная в этих точках g ' (x) =f ' (x) – 5 равна нулю и при переходе через каждую из них меняет знак.
Следовательно, в этих двух точках функция g (x) имеет экстремумы.
Ответ: 2
Рисунок 2.
Вывод. Ребята проработали достаточно много материала, отобрали и рассмотрели задачи на применение производной, в особенности задачи на использование графика производной функции. Нужно обратить внимание на то, что задан график не только функции, но и её производной.
На партах лежат листы с демонстрационным вариантом ЕГЭ. Найдите задания, при решении которых применяется производная. Вы запишите эти задания и выполните дома.
III.УСТНАЯ РАБОТА.
Задание 1. Найти производную функции y= 7x+4/x в точке х0=-1.
Ответ: 3.
Задание 2. Изменив формулировку данной задачи, составьте задачи на нахождение производной.
- Найдите f ’(-1), если f(x)=7x+4/x.
- Найдите скорость изменения функции f(x)=7x+4/x в точке х0=-1.
- Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)= 7x+4/x в точке х0=-1.
- Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)= 7x+4/x в точке х0=-1.
Задание 3. Составьте задачи, обратные составленным.
- Найти х0, если значение производной функции у=7х+4/х в точке х0 равно 3.
- Найти абсциссу точки графика функции f(x)=7x+4/x, в которой скорость изменения функции равна 3.
- Найти абсциссу точки графика функции f(x)=7x+4/x, в которой, угловой коэффициент касательной равен 3.
Вывод. При изменении фабулы задачи схема решения одна и та же. При выполнении этих заданий надо владеть геометрическим и физическим смыслом производной.
IV. ПЕРВИЧНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ.
Самостоятельная работа (листы с текстом с/р. на партах).
Вариант 1. [Вариант 2].
А1.Найдите производную функции y=lnx+sin2x [y= ex+ cos2x].
1) 2sin2x; 2) 1/x-2cos2x; 3) 1/x+2cos2x; 4) 1/x+ cos2x. [1) 1 -cos2x; 2) ex+sin2x; 3) ex-2sin2x; 4) ex+2sin2x. ]
В1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x)=3x-4ex [f(x)=7x – 5lnx] в его точке с абсциссой х0=0 [х0=1].
В2.Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0= -3 [х0=4],если на рисунке изображён график производной этой функции.
В3.Функция у = f(x) определена на промежутке (-4,5;5) [ (-4,5;4) ]. На рисунке изображён график её производной. Найдите число точек минимума [максимума] функции у=f(x).
В4. Найдите наибольшую [наименьшую] из абсцисс точек, в которых тангенс угла наклона касательных равен -1 [1], используя график производной из задания В2.
С*. Составьте задачу, используя график производной функции у = f(x) (из зад. В2).
Время выполнения – 10 мин.
Критерий оценивания:
- 5-6 заданий – "5" НА ДОСКЕ.
- 4 задания – "4"
- 3 задания – "3".
Взаимопроверка.
| А1 | В1 | В2 | В3 | В4 | |
| №1 | 3 | -1 | 1 | 2 | 4 |
| №2 | 3 | 2 | -1 | 1 | -3 |
Вывод. "5" – , "4" – , "3" –
V. ЗАДАНИЕ из ЕГЭ
Найти точки минимума функции .
Решение:
f (x) = 3x4 + 7x3– 18x2 + 5–log 0,2 (x³+8).
D (f): x > -2.
Преобразуем показатель степени: -log0,2(x³+8)=-log5(x³+8)/log50,2=log5(x³+8), тогда степень равна 5–log 0,2 (x³+8)=5log5(x³+8) =(x³+8).
Функция примет вид:
f (x) = 3x4 + 7x³– 18x² + x³ + 8
f (x) = 3x4 + 8x³ - 18x² + 8
f '(x) = 12x³ + 24x² - 36x
f '(x) = 0, 12x³ + 24x² - 36x = 0
x³ + 2x² - 3x = 0
x(x² + 2x – 3) = 0
x = 0 или x² + 2x – 3 = 0
x1=-4; x2=1.
x=1 – точка минимума
Ответ: 1.
VI. ИТОГ УРОКА.
Рефлексия
О чём мы говорили на этом уроке? Какие умения нужны при решении задач на применение производной?
(Умение находить производную функции, владение геометрическим и физическим смыслом производной (Баз.), умение исследовать функцию с помощью производной (Повыш.)).
На следующем уроке продолжим работу по вопросу: Виды задач на применение производной, рассмотрим решение задач на нахождение производной.