Ориентировочная деятельность при обучении доказательству теорем

Разделы: Математика

Известно, что доказательство теорем является главным камнем преткновения учащихся при изучении школьного курса геометрии. Они заучивают теоремы, воспроизводят их учителю и … забывают. Если изменить положение чертежа, обозначить его другими буквами, то учащиеся часто не могут справиться с доказательством. Изучение теорем у многих учащихся остаётся на уровне простого заучивания, не приводит к формированию приёмов доказательства, составляющих важную часть математического мышления. Эта проблема является объектом внимания не только преподавателей геометрии, математиков-методистов, но и психологов.

Центральным звеном доказательства геометрических утверждений, является нахождение пути его осуществления, что во многом зависит от овладения учащимися ориентировочной деятельностью. Выделим компоненты ориентировочной деятельности, кратко рассмотрим сущность каждого из них.

1. Распознавание понятий.

Умение распознавать геометрические понятия, входящие в условие доказываемых утверждений, особенно важно тогда, когда признаки этих понятий содержатся в условии в опосредованном виде, т.е. заданы через системы признаков других понятий. Существует довольно большая категория теорем (как и задач на доказательство), доказательство которых сводится к обоснованию наличия в условиях этих теорем того или иного геометрического понятия. Доказать такого рода теорему– это значит подвести заданные в её условии геометрические явления под искомое понятие, т.е. проверить обладают ли геометрические явления, заданные в условии, всеми необходимыми и достаточными признаками искомого понятия, содержащегося в заключении.

Рассмотрим примеры.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Посмотрим, какие признаки заданы в условии.

  1. BD – это биссектриса, значит BD – 1) отрезок, 2) проведённый из В, 3) соединенный с точкой на противолежащей стороне, 4) делящий В пополам (ABD = CBD).
  2. ABC – равнобедренный означает, что 1) AB = BC, 2) BAC = BCA.

Выделим признаки, по которым можно указать, что требуется.

  1. Доказать, что BD - медиана ABC, значит установить, что BD – 1) отрезок, 2)проведённый из вершины В, 3) соединяющий В с серединой противолежащей стороны и 4) AD = DC.
  2. Доказать, что BD - высота ABC, значит установить, что BD - это 1) отрезок, 2) проведённый из В, 3) соединяющий B с точкой на противолежащей стороне и 4) BD AC.

Но даже хорошо владея действиями “распознавание понятий” и зная признаки искомого понятия, ученик может не знать, как найти их, как системой одних обнаружить систему других. Например, чтобы доказать, что BD – высота, надо “ развернуть” понятие и увидеть, что скрывается за этим понятием. Таким образом, формирование полноценной системы понятий является очень важным условием целостности доказательства теорем, однако это лишь предварительные условия.

2. Проведение анализа состава доказываемого утверждения.

Необходимо обучать учащихся этому. Успешному осуществлению такого рода анализа способствует использование следующей системы указаний по его проведению:

1) Выделить условие и требование доказываемого утверждения; сделать их сокращённую запись.

2) Начать изучение условия по чертежу. При выполнения рисунка избегать частных случаев, выделить на рисунке (цветом или толщиной линии) данные и искомые величины.

3) Сформулировать определения тех понятий, которые содержатся в условии и заключении.

3. Поиск плана доказательства.

При поиске плана доказательства утверждений полезно использовать следующие указания:

1) Вспомнить и применить теорему (или другое истинное утверждение), которое непосредственно устанавливает зависимость между данными и искомыми величинами.

2) Сделать попытку расчленить данное утверждение на ряд более простых утверждений, последовательное доказательство которых может привести к искомому доказательству.

3) Вспомнить утверждение, аналогичное данному. Воспользоваться способом его доказательства.

4) Если возникает трудность при доказательстве равенства двух величин, то одну из них или обе заменить равносильными и доказывать равенство последних.

5) При необходимости заменить утверждение, которое надо доказать, другим, равносильным данному.

Вернёмся к нашему примеру.

Сопоставим заключение с условием. Из условия видно, что BD – это 1) отрезок, 2) проведённый из вершины В, 3) соединяющий В с точкой на противолежащей стороне.

1.Чтобы доказать, что BD – медиана, достаточно показать, что AD = DC.

Вспомним признаки равенства отрезков, мы знаем, что

а) два отрезка равны, если при наложении они совпадают;

б) два отрезка равны, если их длины равны;

в) два отрезка равны , если каждый из них равен третьему;

г) два отрезка равны, если они являются отрезками соответственно равных фигур.

Выберем признак, который нам нужен. Это г).

Осталось доказать, что ABD = CBD

ABD = CBD по 1 признаку

AB = BC по условию, т.к. ABC – равнобедренный

BD – общая.

ABD = CBD, т.к. BD биссектриса.

Из равенства треугольников следует AD = DC.

2. Что бы доказать, что BD – высота, достаточно показать, что BD AC.

Развернем условие BD AC.

а) прямые BD и AC пересекаются под прямым углом;

б) ADB – прямой, CDB – прямой;

в) хотя бы один из углов прямой;

г) ADB и CDB смежные и равны.

Подходит г).

АВD = CBD, значит ADB = CDB, кроме того они смежные, т.е. BD – высота АВC.

Для доказательства теоремы необходимо было подвести данное условие, под понятие “медиана” и “высота”. Как видно из этого примера при доказательстве теорем учащийся должен обладать умением выводить следствие из условия. А это необходимо формировать.

4. Доказательства вспомогательных утверждений.

Этот компонент ориентировочной деятельности часто облегчает пути доказательства основного утверждения. Важное значение при этом имеет выработка умения переносить принцип доказательства со вспомогательного утверждения на основное. Это умение, как показали исследования, базируется на проведении анализа условия вспомогательного утверждения через его соотнесения с требованием данного.

Например, утверждение “Если AОB = CОB, то DB AC и AB = AC, BAD = CAD. Доказать, что DC = DB.” являются вспомогательными для теоремы о свойстве биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

5. Применение указаний по использованию конкретных методов доказательств.

Группой ученых психологов под руководством Н. Талызиной проведены исследования, которые позволили установить, что все теоремы, изучаемые в школе, могут быть доказаны с помощью трех методов:

а) метод подведения под понятие, путем выделения системы необходимых признаков, скрытых за другими понятиями;

б) метод доказательства от противного;

в) использование дополнительных построений.

Суть метода от противного.

  1. Допускаем, что истинно утверждение, которое противоречит тому, что требуется доказать.
  2. Преобразуем это утверждение, получая необходимые признаки его справедливости. Используем при этом данные условия и другие истинные положения.
  3. Доказательство окончено, если получено утверждение, которое противоречит условию, или ранее доказанному утверждению, или какой либо аксиоме.
  4. Обосновываем правильность доказываемого утверждения.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Т.е. получим противоречие с условием теоремы. Таким образом, утверждение, что AB и CD скрещивающиеся верно. Теорема доказана.

6. Применение обучающих алгоритмов доказательств определенных типов утверждений.

Следует отметить, что, чем лучше учащиеся владеют различными алгоритмами доказательства тех или иных типов утверждений, тем выше уровень их умений осуществлять поиски доказательств. Если обратиться к задачникам геометрии, то нетрудно заметить, что можно выделить ряд общих алгоритмов доказательства определенных типов теорем. Рассмотрим некоторые из них.

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Сравнивая эти теоремы можно увидеть общие логические шаги. Найденный обобщенный прием работы по доказательству оформим в виде алгоритма.

  1. Выделить на чертеже нужные треугольники.
  2. Обосновать их подобие.
  3. Составить пропорции из соответственных сторон этих треугольников.
  4. Получить из пропорции доказываемое равенство.

При обучении учащихся самостоятельно конструированию алгоритмов в процессе доказательства теорем можно использовать различные проблемные ситуации, ставящие ученика в положение исследователя. Чем отличаются доказательства рассмотренных теорем? Что общего можно выделить в рассмотренных доказательствах? Выпишите общие компоненты обоих доказательств. Такова должна быть методика по обучению доказательств с помощью алгоритмов.

Опыт показывает, что систематическое проведение работы по ориентировочной деятельности учащихся по усвоению и обучению доказательств теорем обеспечивает повышение умения доказывать утверждения и решать задачи.

Литература

  1. Груденов Я.И. “О психологических основах построения системы упражнений по математике и методике преподавания геометрии”. Канд. дис. Калинин, 1963 г.
  2. Волович М.В. “Математика без перегрузок”. М. : Педагогика, 1991 г.
  3. Боковнев О.А. “Преподавание алгебры и геометрии в школе”. М. : “Просвещение”, 1982 г.