Плохой учитель преподносит истину,
хороший – учит её находить.
А. Дистервег
Проблема обучения учащихся доказательству математических предложений всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики. В настоящее время её актуальность возросла в связи с осуществлением процесса гуманизации образования, предполагающего направленность обучения на развитие личности.
Реализация развивающей функции обучения требует от учителя не просто излагать знания в определённой системе, а посредством знаний учить школьников мыслить, искать и находить ответы на поставленные вопросы, добывать новые знания, опираясь на уже известные. Анализ школьной практики показывает, что знания учащихся, связанные с изучением теорем, умением применять их при решении задач, находятся не на должном уровне. Основная причина низкого уровня сформированности у учащихся умения доказывать математические предложения состоит в том, что при обучении доказательству теорем учебно-познавательная деятельность учащихся направляется учителем главным образом на понимание и запоминание, в ущерб ознакомлению школьников с методами и способами рассуждений, лежащих в основе поиска доказательства.
Школьная практика показывает, что в работе учителя преобладает тенденция учить ученика конкретному доказательству тех или иных теорем, но слабо ведётся работа по вооружению школьников умениями доказывать. Необходимо обращать внимание учащихся на приёмы, которые используются при доказательстве теорем, на приёмы поиска доказательства. При таком подходе доказательство каждой новой теоремы будет служить не только объектом усвоения, но и средством для формирования общих приёмов доказательства теорем.
Проблема формирования у учащихся различных методов доказательства и приёмов поиска доказательств является одной из наиболее актуальных.
Для успешного формирования приёмов открытия фактов и поиска доказательств математических предложений необходима систематическая и целенаправленная самостоятельная работа учащихся, которую можно организовать с помощью специальной электронной учебной программы.
Данная программа представляет собой электронный учебник, который включает в себя:
- тест на определение исходного уровня сформированности приёмов открытия фактов и поиска доказательств математических предложений,
- пять обучающих уроков, в ходе которых учащиеся знакомятся с основными приёмами доказательства,
- тест на определение итогового уровня сформированности приёмов доказательства математических предложений.
Перед прохождением обучения учащемуся необходимо пройти тестирование, цель которого заключается в выявлении уровня владения учащимся умениями и навыками работы с математическими предложениями: узнавание различных математических предложений, работа с формулировками теорем и т.д.
Если у ученика возникли затруднения в организации работы с тестом, то на первой странице электронного учебника он может ознакомиться с подробной инструкцией по прохождению теста, нажав на ссылку. Инструкция представляет собой текстовый файл с подробными пошаговыми действиями и необходимыми иллюстрациями. После ознакомления с инструкцией учащийся может без затруднений запустить тест и приступить к тестированию. Первоначально учащемуся необходимо в появившемся окне ввести свою фамилию, имя и класс, в котором он обучается (Приложение 1).
Вопросы в тесте различные и направлены на выявление как теоретических знаний учащихся о математических предложениях, так и практических умений и навыков работы с различными видами математических предложений. В разработанном тесте используются вопросы различных типов:
1) вопросы, при ответе на которые нужно осуществить простой выбор ответа. Пример: Как вы думаете, что называется теоремой?
Варианты ответа:
- утверждение, принимаемое без доказательства,
- утверждение, истинность которого устанавливается с помощью доказательства,
- одна из форм мышления,
- суждение о математических объектах.
2) вопросы, ответы на которые ученик даёт вводом с клавиатуры.
Примеры:
- ВЕРНО (НЕВЕРНО) следующее утверждение «Всякий четырёхугольник является параллелограммом».
- Запишите заключение следующей теоремы: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».
По окончанию тестирования учащийся может получить отчёт о прохождении теста, в котором зафиксированы ответы, данные учеником, а также баллы за ответ. Это даёт возможность ученику проанализировать свои ответы и узнать, на какие вопросы он ответил правильно, а в каких допустил ошибки.
После прохождения тестирования можно приступить к обучению (Приложение 3). В электронном учебнике представлены пять уроков по следующим темам:
- Урок №1. «Математические предложения». В ходе данного урока происходит знакомство с такими формами мышления как понятия, суждения и умозаключения, раскрывается содержание понятия «математические предложения», рассказывается о таких математических предложениях как аксиома и теорема.
- Урок № 2. «Логические основы доказательства». В ходе данного урока формируется представление о понятии «доказательство», происходит знакомство с основными приёмами прямого и косвенного доказательства.
- Урок № 3. «Приёмы прямого доказательства». На данном уроке подробно рассматриваются аналитический, синтетический, аналитико-синтетический методы доказательства. Для более осознанного усвоения того или иного метода предлагаются правила-ориентиры.
- Урок № 4. «Приёмы косвенного доказательства». В ходе данного урока происходит знакомство с такими методами как метод доказательства от противного и доказательство с помощью контрпримера.
- Урок № 5. «Эвристические приёмы доказательства». На данном уроке происходит знакомство с такими приёмами как аналогия, обобщение, абстрагирование.
Каждый урок имеет оглавление и упражнения для самопроверки. После выполнения каждого упражнения ученик при проверке своего ответа получает короткие сообщения о том, правильно ли он ответил на вопрос или же нет. Это даёт возможность ученику проверить, насколько хорошо был им усвоен учебный материал данного урока (Приложение 4).
После окончания обучения учащемуся предоставляется возможность пройти тестирование на определение конечного уровня сформированности приёмов открытия фактов и поиска доказательств математических предложений. Данный тест также позволяет определить, насколько хорошо учащийся овладел умениями и навыками работы с математическими предложениями и приёмами их доказательства (Приложение 5).
В ходе апробации описанной электронной учебной программы выявлена положительная динамика уровня овладения учащимися основными приёмами доказательства математических предложений. Систематическая работа по изучению методов и приёмов поиска доказательств, а также по развитию умений и навыков применять эти методы и приёмы при доказательстве математических предложений способствует усилению интеллектуальной активности учащихся на уроках, формированию системы умений и навыков учебного труда, культуры мышления, развитию умения применять имеющиеся знания для доказательства новых для учащихся теорем.