Цели:
- углубление знаний учащихся: продолжить знакомство с серией замечательных неравенств
- обучение практическому применению замечательных неравенств в решении задач
- развитие творческого подхода к решению задач: обучение умению видеть оригинальность и красоту решения
- демонстрирование связи алгебры с геометрией: дать геометрическую интерпретацию сравнения числовых средних по величине
- расширение кругозора учащихся в области истории математики: показать, как с помощью математики можно объяснить понятие гармонии в музыке
- развитие умения учащихся рассуждать, доказывать, аргументировать с опорой на знания
- развитие логического мышления, интеллектуальных способностей и познавательной активности учащихся
Познавательный аспект: знакомство с рациональным методом решения задач с опорой на замечательные неравенства.
Воспитательный аспект: воспитание целеустремленности, трудолюбия, любознательности, математической культуры и любви к знаниям
Развивающий аспект: развитие устойчивого, познавательного интереса к изучению математики, ее истории, ее связи с развитием культуры
Учебный аспект: Формирование навыков рационального подхода к решению задач, умения аргументировать и доказывать с опорой на знания
Сопутствующие задачи: формирование коммутативных умений при коллективном обсуждении решения задач, развитие монологической речи, создание условий для творческой реализации способностей учащихся.
Оснащение урока:
- графические иллюстрации геометрической интерпретации замечательных неравенств и сведения из истории математики для интерактивной доски
- цветные мелки; карточки с заданиями для групп и для самост. работы
ТСО: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска.
Ход урока
1. Организационный момент
Урок-семинар длится 2 академических часа. Он является заключительным уроком темы: “Числовые неравенства и их свойства”. Предварительно учащиеся класса были распределены по трем группам (по 8 чел.). Каждой группе было дано задание: подобрать интересное неравенство, которое нужно уметь доказать, используя уже известные замечательные неравенства. Подготовленные неравенства на семинаре будут предложены для решения другим группам. Учитывая, что на уроке учащиеся будут работать по группам, нужно соответственно этому расставить столы в кабинете математики.
2. Основная часть
Учитель: Ребята, сегодня мы продолжим знакомство с серией замечательных неравенств в математике, покажем их практическое применение в решении задач. Вы увидите, какими красивыми и рациональными становится от этого решения. Мы познакомимся с новыми числовыми средними величинами и сравним их с уже известными, дадим им геометрическое истолкование. А по пути нам даже придется заглянуть в глубину истории математики. В конце второго часа нашего семинара вам будет дана самостоятельная работа на 30 минут, после этого я соберу тетради и проверю в них и выполнение вами домашней работы. Есть ли у вас ко мне вопросы по домашнему заданию?
(Учитель кратко отвечает на вопросы учеников, если они вопросы задали.)
Учитель. Итак, давайте вспомним уже известные нам замечательные неравенства. ( Ребята выходят к доске по очереди и записывают: )
+
( В)
Учитель. В неравенстве
Коши сравниваются 2 средние величины:
Вспомним их геометрическую интерпретацию сравнения. <Рисунок 1>
Однако есть еще 2 средние величины, применяемые часто в алгебре и в геометрии. Это ( для двух чисел a и b):
1) среднее гармоническое
2) среднее квадратичное
Интересно заметить кое-что из истории: (Приложение 1).
В Древней Греции пифагорейцы считали, что гармонический аккорд при звучании трех струн получается в том случае, если длины этих струн относятся как 3 : 4 : 6. Проверим для этих трех чисел, чему равна средняя гармоническая величина:
Для сравнения посчитаем и среднее арифметическое этих же чисел:
Что заметили? 4 < 4
. Отсюда предположение: вероятно, среднее гармоническое всегда
меньше среднего арифметического?
Проверим это, оценив разность для двух чисел a
и b: 
.
Сейчас я предлагаю вам, ребята, сравнить 4 средних величины. Будем работать в группах:
1-я группа сравнит среднее арифметическое и
среднее гармоническое
2-я группа сравнит среднее гармоническое и
среднее геометрическое
3-я группа сравнит среднее арифметическое и
среднее квадратичное.
(Все работают в тетрадях, а по одному человеку от группы выполняют решение у доски).
Решение:
1-я группа. 
= 
. Значит, 
(1)
2-я группа. 
– 
= 
=
=
= 
Значит,
(2)
3-я группа. 
– 
– как? Воспользуемся свойством:
если х2 – у2 > 0.
то есть (x – y)(x + y) > 0, то при x > 0, y > 0.Значит, x – y > 0. Итак, оценим разность квадратов:
(
=
–
=
=
=
=
=
0. Значит,
(3)
Сравним теперь все 4 средние величины:
, а > 0, b > 0.
Любопытно заметить, что существует геометрическая интерпретация этого замечательного неравенства:
Остается добавить, что существует обобщение неравенства (*) для n положительных чисел: a1,a2, … an.
Рассмотрим неравенства, в доказательстве которых применяются некоторые замечательные неравенства.
Задача.
Доказать
+
Решение (1 человек у доски объясняет подробно решение):
А теперь, ребята, я предлагаю вам обменяться задачами, подготовленными вами дома. Меняетесь задачами по схеме:
(Учащиеся в группах приступают к обсуждению решения. Разрешается помощь консультанта от группы, давшей задание. Он может лишь подска- зать идею или искусственный прием по сути. После того, как задача в группе решена, один представитель от группы выходит к доске и объясня- ет свое решение. Ребята слушают, задают вопросы, находят ошибки, недочеты в решении или опровергают его, возможно альтернативное решение и сравнение предложенных решений ).
Итог урока
Учитель: Молодцы, ребята, вы здорово сегодня поработали! Давайте вспомним, какие замечательные неравенства и методы вы сегодня узнали?( Учащиеся называют, с чем они познакомились. Учитель объявляет оценки за урок наиболее активным учащимся. Кроме этого, каждый участник семинара получает оценку за самостоятельную работу).
Список использованной литературы
- Физико-математический журнал “КВАНТ”,№9,1990 год.
- Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики./М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич – М.: Просвещение,1998.
- История математики в школе (7-8 классы)./ Г.И. Глейзер.- М.: Просвещение, 1982.