Программа элективного курса для учащихся 11-го класса "Обратные тригонометрические функции"

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс для учащихся 11-го класса посвящен одному из важнейших понятий математики. Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса вводятся в курс алгебры и начал анализа во время изучения учащимися простейших тригонометрических уравнений. При этом следует заметить, что практически все старшеклассники плохо знают, а тем более понимают, эти определения. Что же тогда говорить об обратных тригонометрических функциях?

В последнее время в материалах ЕГЭ и вступительных экзаменов в высшие учебные заведения, часто предлагаются задания по данной теме. Такие задачи вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по этой теме в школьных учебниках мало.

Цель данного элективного курса – повысить математическую культуру учащихся в рамках школьной программы по математике, прояснить и дополнить школьный материал, связанный с обратными тригонометрическими функциями, представить его систематизацию и помочь старшеклассникам успешно сдать ЕГЭ по математике.

В курсе заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности осваивания нового материала. Следовательно, программа применима для самых различных групп школьников, в том числе не имеющих хорошей подготовки.

На изучение всего курса отводится 11 часов, по окончании предусмотрено зачетное мероприятие на 2 часа, а также возможны и другие формы комбинированной диагностики.

Учебно-тематический план

Содержание

Тема 1. Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение данного курса. Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Основное внимание здесь нужно уделить на идеально точное воспроизведение определений, так как даже самое маленькое отличие от “идеала” влечет за собой большие ошибки.

Темы 2-4. Функции у=arcsin x, y=arccos x их графики и свойства.

Свойства функций: область определения, область значений, непрерывность, четность и нечетность, возрастание и убывание, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения, сохранение знака. Графики функций и их преобразование.

Темы 5-7. Функции у=arctg x, y=arcctg x, их графики и свойства.

Свойства функций: область определения, область значений, непрерывность, четность и нечетность, возрастание и убывание, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения, сохранение знака. Графики функций и их преобразование.

Тема 8. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Решение различных заданий, связанных с понятием обратных тригонометрических функций, из вариантов ЕГЭ (группа В и С).

Тема 9. Итоговый контроль.

Итоговая диагностика может быть проведена в виде зачета, виде тестовых заданий, но обязательно дифференцированного характера.

Занятие 1. Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

При решении тригонометрических уравнений простейших (кроме частных случаев) или более сложных неизменно приходишь к формулам корней, в которых есть несколько “магических” слов: арксинус, арккосинус, арктангенс или арккотангенс. Эти четыре слова почти для всех старшеклассников становятся “камнем преткновения”, большинство школьников (в том числе и те, кто потом блестяще сдают математику) не могут точно определить эти функции.

Итак, попробуем разобраться в этих запутанных определениях.

у=arcsin x: у – это число (а не угол!), причем у , такое, что sin у = х. Здесь нужно констатировать еще один факт: х [-1;1].

Продемонстрируем на задачах, как применяется это определение.

№1.

а) arcsin 1/2 =?

Решение: 1/2= х. Значит, мы должны найти такое число у, из отрезка , синус которого равен 1/2. Можно сделать вывод, что у=.

arcsin 1/2 = .

б) arcsin=?

Решение: Рассуждаем аналогично. = х. Значит, мы должны найти такое число у, из отрезка , синус которого равен . Можно сделать вывод, что у= .

arcsin= .

в) arcsin (-)=?

Решение: К этому моменту, почти все старшеклассники (особенно те, которые чуть слабее в знаниях), понимают, что ответ гораздо быстрее найти в учебнике, на первых страницах (есть там такие “замечательные” таблицы). И тут начинаются ошибки. Их надо сразу пресечь, четко повторяя, что у – число из отрезка . Для того чтобы найти это число у, можно воспользоваться такой формулой arcsin(-х)= - arcsin х.

Теперь, решение будет гораздо проще.

arcsin (-)= - arcsin = - .

y=arccos x: у – это число (а не угол!), причем у, такое, что cos у = х. Здесь нужно констатировать еще один факт: х [-1; 1].

у=arctg x: у – это число (а не угол!), причем у , такое, что tg у= х. Причем для х здесь ограничений нет.

y=arcctg x: у – это число (а не угол!), причем у , такое, что ctg у= х. Причем для х здесь ограничений нет.

№2.

а) arccos 1/2=?

Решение: 1/2=х. Значит, мы должны найти такое число у, из отрезка , косинус которого равен 1/2. Можно сделать вывод, что у=.

arccos 1/2= .

б) ) arccos=?

Решение: Рассуждаем аналогично. = х. Значит, мы должны найти такое число у, из отрезка, косинус которого равен . Можно сделать вывод, что у= .

arccos= .

в) arccos(-)=?

Решение: Для того чтобы школьники опять не воспользовались таблицами, следует сразу им дать формулу: arсcos(-х) = – arсcos х.

Для вычисления отрицательных значений арктангенса и арккотангенса применимы формулы: arctg(- x) = - arctg x

№ 3.

Вычислить:

а) arctg0

б) arсcos(-1/2)

в) arсctg(-1)

г) arcsin 1

д)

е) arcsin (-0,5)

ж)

№ 4.

Найти область допустимых значений переменной для выражений:

а) arcsin(1-х)

б) arсcos(2-х/2)

в) arcsin(2х+х²)

г) arctg (1-х²)

д)

№5.

Вычислить:

а) sin (arсcos (-1/4))

б) cos (arcctg(-2))

в) sin (2 arcsin 1/3)

г) tg (2 arcsin 1/3).

Решение: а) sin (arсcos (-1/4))=?

Пусть у= arсcos (-1/4). Значит, мы должны найти sin y.

По определению арккосинуса у – это число, из отрезка , косинус которого равен -1/4.

Итак, у= arсcos (-1/4), у, т.е. у может принадлежать I и II четвертям. При этом cos у = -1/4.

Теперь можно уточнить, у принадлежит II четверти, т.к. cos у<0. Используем формулу

sin²y + cos²y =1.

sin²y= 1 - cos²y

sin y = ±, т.к. у II ч., то sin y>0.

Значит, sin y= .

Ответ: sin y=.

№6.

Произведите указанные действия:

а) arcsin 3/5 + arcsin 12/13

б) arсcos 7/25 + arсcos 3/5

в) arсctg 5 - arсctg 4

г) arctg4 + arctg 5.

Решение:

Пусть arcsin 3/5 + arcsin 12/13= у, тогда cos у=cos(arcsin 3/5 + arcsin 12/13). Применим формулу косинус суммы и получим:

cos у= cos (arcsin 3/5) cos(arcsin 12/13) – sin(arcsin 3/5) sin(arcsin 12/13)

Вычисляя каждое выражение в отдельности, получим cos у= -16/65, значит у=arсcos(-16/65)

Ответы:

3. а) 0 б) в) г) д) е) ж) 0.

4. а) [ 0;2] б) [ 2;6] в) г) ж)

5. б) в) г) .

6. а) arсcos(-16/65) б) arсcos(-3/5) в) – arctg1/21 г) arсctg(-19/9)

Итогом этого занятия должен быть математический диктант с последующей проверкой. Проверка может осуществляться через проецирование с помощью оверхеда, ответы могут быть заранее готовы на дополнительных досках, а также к проверке можно привлечь и учащихся.

Занятия 2-4. Функции у=arcsin x, y=arccos x, их графики и свойства.

Данные занятия следует начинать с понятия обратная функция.

Определение. Пусть каждому значению у Е(f) соответствует только одно значение х D(f), для которого у= f (х). Указанное соответствие у>х задает функцию с областью определения Е(f) и областью значений D(f). Эту функцию называют обратной к функции f (х). Обозначив обратную функцию через g, имеем: если у= f (х), то х = g(у).

Примерами обратных функций могут служить показательная и логарифмическая функции. Для каждой из этих функций всегда можно найти обратную функцию. А вот для функции у=х² есть обратная функция только при определенных условиях. При каких? (Монотонность функции. y=х² имеет обратную ей только для х ). Каким свойством обладают графики взаимообратных функций? (Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х).

Используя эти определения и свойства, построим графики функций у=arcsin x, y=arccos x. Объяснение лучше проводить с помощью ИКТ.

Слайд 1.

С помощью средств анимации построение графика функции у= arcsin х будет выполнено пошагово и наглядно.

Аналогично поступаем и с функцией у= arccos x.

Слайд 2.

Далее необходимо напомнить учащимся о возможных преобразованиях графиков функций и выполнить с классом устную работу.

Устная работа.

1. Установить соответствие между графиком и формулами.

Слайд 3.



2. Указать для каждой из данных функции область определения и область значений.

3. Решить уравнения:

а) arccos x= 3^х+ 3,15

б) arcsin х= (1/2)^х + 1,58

№1.

Построить графики функций:

а) у=2 arccos (х+2) – 2

б) у= -0.5 arcsin (x-1) +1

в) y= | 3 arccos (х+1,5)- 5 |

Это задание может быть выполнено школьниками с помощью таблиц Эльконина–Давыдова с последующей взаимопроверкой. Таблица выглядит следующим образом.



№2.

Укажите все точки на оси Ох, являющиеся проекциями точек графика функции:



Текст задания поставит в тупик многих школьников. Смысл этого задания состоит в том, что процесс нахождения области определения функции совпадает с заданием в этом номере.

№3.

Решить уравнение:



Текст этого задания можно варьировать: найти нули функции, найти абсциссы точек пересечения графиков функций, определить значения х, при которых точки одного графика лежат на графике другой функции.

№4.

Найти область определения функции:



№5.

Найти область значений функции:



Текст этого задания можно сформулировать иначе: найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции, указать число целых значений функции.

Ответы:

2.а) (0;1] б) в) (0;1]

3.а) 1 б) -1 в) 2

4. а) б) [0;1/2] в) [2;3)U(3;4]

5. а) [1;2] б) в) [0;25]

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить:



2. Найти область определения функции:



3. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции:



4. Решить уравнение:



Занятия 5-7. Функции у=arctg x, y=arcctg x, их графики и свойства.

Объяснение материала рекомендую вести с помощью ИКТ, проводя сравнительный анализ между функциями у=tg x и у=arctg x, y=ctg x и y=arcctg x. С помощью средств анимации построение графиков функций будет выполнено пошагово и наглядно.

Слайд 4.



Слайд 5.



Далее необходимо напомнить учащимся о возможных преобразованиях графиков функций и выполнить с классом устную работу.

Устная работа.

1.Установить соответствие между графиком и формулами:

Слайд 6.



2. Для каждой из предложенных функций указать область определения и область значений.
3. При каком значении а уравнения не имеют решений:

а) arctg x=cos x+ a

б) arcctg x - а = ^х.

№1.

Построить графики функций:

Это задание может быть выполнено школьниками с помощью таблиц Эльконина–Давыдова с последующей взаимопроверкой. Таблица выглядит следующим образом.

№ 2.

Решить уравнения:

Опыт показывает, что нередко ученик, “берясь” за решение уравнения (впрочем, как и неравенства), концентрирует свое внимание только на поиске преобразований, сводящих исходное уравнение к более простому, забывая при этом, что не каждое преобразование безобидно. Нужно помнить и о свойствах функций, их области определения и области значений. При решении приведенных выше уравнений необходимо обязательно найти ОДЗ.

№ 3.

Найти множество значений функции:

№ 4.

Решить неравенство:

Решение:

в)

Решение данного неравенства опирается на свойства функций y=sin x и y=arctg x . Введем функции y₁=sin x-1999 и y₂=2arctg x +.

Е(sin x) = [-1; 1], E(y₁) =[-2000; -1998]. Это значит, что выражение sin x-1999 < 0 при любых значениях аргумента. Поэтому, выражение 2arctg x + должно принимать неотрицательные значения, т.е. 2arctg x + 0.

2arctg x - .

arctg x - .

Так как функция y₂=2arctg x + возрастающая, то знак неравенства при дальнейшем решении сохраняется. То есть

Ответ: х.

№ 5.

При каких значениях а уравнение имеет единственный корень:

Ответы:

2. а) 1 б) 0; 2 в) 2; 3

3. а) [0; 2] б) [-1; 0] в) [-3; 0]

4. а) б)

5. а) б) в)

Задания для самостоятельной работы

№ 1.

Вычислить:

№ 2.

Найти множество значений функции:

№ 3.

Решить уравнение или неравенство:

Занятия 8-9. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Эти два занятия я рекомендую провести как практикум, заранее разделив класс на группы. В каждой группе должны быть учащиеся с разной математической подготовкой, тогда работа класса будет более плодотворной и результативной.

Приведу примерный вариант карточек для проведения этого практикума.

Карточка 1.

1. Построить графики функций:



2. Вычислить:



3. Вычислить значения следующих выражений:

Карточка 2.

1.Найти область определения функции:

2. Найти множество значений функции:

3.Найти наименьшее значение функции:

Карточка 3.

1. Решить уравнения:



2. Найти сумму х₀+у₀, если (х₀;у₀) – решение системы



3. Решить неравенства:

Карточка 4.

1.Сколько получится числовых промежутков, если из отрезка, определяемого множество значений функции , удалить все целые числа?

2. Для каждого значения параметра а решить неравенство .

Занятие 10-11. Зачет (тест)

В качестве зачетных заданий предлагаются задания из разделов “Задания для самостоятельной работы”. Школьникам заранее дать текст этих заданий, провести консультацию по возникшим вопросам.

См. презентацию.