Урок-обобщение по теме "Четырехугольники" (8-й класс)

Цели:

Методические:

• закрепить и проконтролировать уровень знаний и умений и учащихся по теме «Четырехугольники»;
• усовершенствовать навыки решения задач;
• повторить и расширить представления учащихся об аксиомах планиметрии;
• выстроить логическую связь между разделами курса геометрии «Аксиоматическое построение геометрии» и «Четырехугольники»;
• познакомить с существованием неевклидовой геометрии;
• систематизировать знания и умения по теме «Четырехугольники».

Психолого-педагогические:

• создать у школьников положительную мотивацию к выполнению умственных и практических заданий;
• помочь развитию интереса у учащихся не только к содержанию, но и к процессу овладения знаниями;
• повысить общую культуру у учащихся;
• продолжать развитие мыслительной деятельности при практической работе, развитие творческих способностей, логического мышления учащихся.

Оборудование: Компьютер, мультимедийный проектор, рабочая тетрадь к уроку в трех вариантах по степени сложности (см. Приложение 1, Приложение 2, Приложение 3), таблицы с ответами и кратким решением задач.

План урока (слайд 2)

1. Точное логическое определение понятий – главнейшее условие истинного знания. Сократ (Кроссворд на проверку знаний основных определений по теме; тест на знание свойств четырехугольников).
2. Геометрия приближает разум к истине. Платон (Решение задач)
3. О мир, пойми! Певцом во сне открыты Закон звезды и формула цветка. М.Цветаева (Первое знакомство с неевклидовой геометрией)
4. В истории мы черпаем мудрость, в поэзии остроумие, в математике – проницательность. Ф. Бэкон (Сказка-вопрос)

Ход урока

1. Организационный момент (3 мин)

Приветствие, объявляется тема и цели урока. (Слайд 1)

2. (8 мин)

Учитель: Приступаем к первой части урока, которая пройдет под девизом: «Точное логическое определение понятий – главнейшее условие истинного знания» Сократ (слайд 3). Вам предложен кроссворд на проверку знаний основных определений по теме (слайд 4).

Учитель читает задания, учащиеся устно отвечают.

Вопросы кроссворда:

По горизонтали:

1. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
2. Точка, соединяющая две соседние стороны четырехугольника.
3. Параллелограмм, у которого все угла прямые.

По вертикали:

4. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
5. Отрезок, соединяющий соседние вершины.
6. Параллелограмм, у которого все углы прямые, а стороны равны.
7. Отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины четырехугольника к противоположной стороне.
8. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника.
9. Параллелограмм, у которого все стороны равны.

Учитель: Спасибо, молодцы!

Перед вами на партах лежат рабочие тетради. Откройте их, на первой странице вам предложена таблица на знание свойств четырехугольников. Заполните ее самостоятельно, отметив знаки « + » или «–» напротив утверждений. В последней строке таблицы изобразите четырехугольники, о которых идет речь. (Второй экземпляр таблицы под копирку сдают на проверку)

Проверим ответы.

(Слайд 5, при необходимости, нажатием на название четырехугольника, появляется чертеж.)

3. (20 мин)

Девизом ко второй части урока являются слова Платона «Геометрия приближает разум к истине» (Слайд 6)

Перед вами в рабочих тетрадях задачи на готовых чертежах в трех вариантах. Требуется записать краткое решение задачи. Кто быстрее выполнит задание, записывает и объясняет краткое решение на доске. Остальные проверяют. (Слайд 7)

Краткие решения:

I вариант:

АВ + ВС = 47, ВС – АВ = 27, тогда ВС = АD = 37, АВ = СD = 10.
Ответ: 37, 10, 37, 10.

II вариант:

ВАD = ВСD = 60° ; АВС = СDА = 120° ; ВD = 5.
Ответ: 60°, 120°, 60°, 120°, 5.

III вариант:

D = 46°, В = С = 180° – 46° = 134°; АD = 2 МN – ВС = 128 – 36 = 92; P = 20 • 4 + 36 + 92 = 208.
Ответ: 46°, 134°, 134°, 208.

Ученики быстро справляются с решением предложенных задач и приступают к решению заданий 2.2 (1, 2) в рабочей тетради (можно работать с опережением). Проверка решений производится фронтальная с комментариями по таблицам решений и кратких ответов, вывешенным на доске. Те ученики, которые не справились с решением задач, получают ответы на возникшие вопросы и дорабатывают задачи дома.

Вариант 1

1. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20°. (Ответ: 90°, 90° 160°)
2. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.
3. (Дополнительная задача.) Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба АВСД образует со стороной АВ угол 30° АМ = 4 см. Найдите длину диагонали ВD ромба, если точка М лежит на стороне АD.

Краткие решения:

Задача 2:

ВД = СД, ВДС = 90°, тогда ВСД – равнобедренный, значит ВСД = 45°, АВС = АДС = 135°.
Ответ: 45°, 135°, 45°, 135°.

Задача 3:

АВ = 8 см (т.к. АВМ = 30° ), АВМ – прямоугольный, значит А = 60°, тогда ВАД равносторонний и ВД = 8 см.
Ответ: 8 см.

Вариант 2

1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника. Ответ: 50°.
2. В трапеции АВСD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СD и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см, угол D равен 60°.
3. (Дополнительная задача.) В параллелограмме ABCD одна сторона больше другой в два раза. Периметр параллелограмма равен 42 см. BM и DN – высоты параллелограмма. Найти стороны. Доказать, что ∆ABM ¹ ∆NCD.

Краткие решения

Задача 2:

САД = 90° – 60° = 30°, тогда ВАД = 60°. В трапеции углы при основании равны, значит боковые стороны равны: АВ = СД. САД = 30°, значит АД = 2АВ. ВАС = ВСА = 30°, тогда АВС – равнобедренный и АВ = ВС. Р = АВ + АВ + АВ + 2АВ = 35, откуда АВ = 7 см.
Ответ: 7 см.

Задача 3:

Пусть АВ = х, тогда ВС = 2х. Зная, что Р = 42, составим уравнение: (х + 2х) • 2 = 42, откуда АВ = 7 см, ВС = 14 см. Докажем, что ABM NCD. Предположим противное, тогда соответствующие стороны должны быть равны, но ВМ не может быть равно СD, так как СD = АВ, а гипотенуза всегда больше катета.
Ответ: 7 см, 14 см, 7 см, 14 см.

Вариант 3

1. В параллелограмме АВСD известно, что A = 60°, АВ = 10 см, АD = 16 см. Найдите расстояние от вершин В и D до биссектрисы BCD. (Ответ: 8 см, 5 см. Примечание: для решения воспользоваться свойством: катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.)
2. В ромбе АВСD биссектриса угла DСА перпендикулярна стороне АD. Найдите углы ромба.
3. (Дополнительная задача) Биссектриса угла С параллелограмма ABCD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке N. Найдите периметр параллелограмма, если АN = 4, DM = 3.

Краткие решения

Задача 2:

Пусть МСD = АСМ = х, тогда АСD = 2х, АDС = 90° – х. Зная, что сумма углов треугольника 180°, составим и решим уравнение: 2х + 2х + 90° –х = 180°, х = 30°. Тогда углы ромба равны: 120°, 60°, 120°, 60°.

Задача 3:

ВСМ = DCМ = СМD, тогда СDМ – равнобедренный, значит СD = МD = АВ = 3 см. СМD = АМN = ANM, тогда ANM – равнобедренный, значит АN = AM = 4 см. Р = (4 + 3 + 3) • 2 = 20 см.
Ответ: 20 см.

4. (8 мин)

Учитель: “О мир, пойми! Певцом во сне открыты Закон звезды и формула цветка” – этими словами Марины Цветаевой я хочу познакомить вас с некоторыми интересными открытиями в области геометрии. (Слайд 8)

Каким основным свойством обладают все изученные нами четырехугольники? (У всех четырехугольников хотя бы пара сторон параллельна.)

– Что значит две прямые параллельны? (Если они не пересекаются и лежат на одной плоскости.)

– Кто впервые ввел понятие параллельности и как? (Евклид, еще в глубокой древности. Евклид создал систему аксиом, на основе которой выстроена вся школьная геометрия. Аксиома параллельности: «Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной»».) (Слайд 9)

– Молодцы! Вы помните Евклида и его аксиомы. Но оказывается, что существуют и другие геометрии. Дело в том, что аксиому параллельности Евклида многие ученые пытались доказать, т.е. доказать, что эта аксиома лишняя и может быть доказана как теорема на основании других аксиом. Но все попытки доказательства не увенчались успехом, и тогда у известного математика К.Ф. Гаусса возникла идея заменить аксиому параллельности ее отрицанием.

Давайте и мы попробуем сформулировать такое утверждение (Через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной прямой не пересекающей данную.)

– Совершенно верно, аналогично его сформулировал и Гаусс, и пришел к новой, неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но тем не менее не содержит никаких логических противоречий. Но Гаусс не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым.

К этому открытию в XIX в. независимо от Гаусса пришел и наш соотечественник – профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский. (Слайд 10) А для того, чтобы доказать, что новая геометрия непротиворечива, были придуманы различные модели на которых эта геометрия выполняется. Одна из таких моделей – сфера. (Слайд 11) Роль прямых в геометрии на сфере играют большие окружности. А при пересечении окружностей получаются фигуры, подобные тем, которые изучаются на плоскости. Например, вы видите ∆АВС.

Какова сумма углов криволинейного треугольника АВС? (В данном случае 270°). Совершенно верно, т.е. больше 180°. А, как вы знаете, в геометрии Евклида сумма углов треугольника равна 180°. Соответственно и сумма углов, например ромба, в геометрии Лобачевского не будет равной 360°.

Возможно, придет время, и вы сможете сделать столь великие для науки открытия, а сейчас предлагаю вам придумать условие задачи по рисунку. (Слайд 12)

5. (3 мин)

– В истории мы черпаем мудрость, в поэзии остроумие, в математике – проницательность. Ф. Бэкон (Слайд 13)

Сказка-вопрос. (Слайды 14–18)

В некотором царстве, в некотором государстве жили четырехугольники. Решили они жениться на царской дочери, принцессе Точке. А Точка им говорит: «Вы все хороши, но я выйду замуж за того, кто первым доберется до моего замка». И отправились четырехугольники в путь. На пути им повстречалось озеро, из которого выпрыгнула лягушка и сказала: «Переплывут через озеро только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам». (Переплыли параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат) Часть четырехугольников осталась на берегу, остальные благополучно переплыли и отправились дальше. На пути им повстречались высокие горы, над которыми летал старый орел. Орел сказал, что даст пройти только тем, у кого диагонали равны. (Прошли через горы прямоугольник и квадрат) Несколько путешественников остались у подножия гор, а другие продолжили путешествие. Вскоре четырехугольники пришли к высокому забору с дубовой дверью. Охранник поприветствовал путешественников и сказал, что пройдут те, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. В дверь вошел только один четырехугольник и мигом добрался до замка принцессы. (Квадрат)

Вопросы ребятам после прослушивания сказки:

1. За кого выйдет замуж принцесса? (За Квадрата.)
2. Кто был основным соперником? (Прямоугольник.)
3. Кто первым вышел из соревнования? (Четырехугольник, не являющийся параллелограмм.)

6. Подведение итогов урока (3 мин)

Учитель: Какие темы мы повторили на уроке? Что нового узнали?

По результатам урока самые активные ученики поощряются отметками. Подводятся итоги урока.

7. Домашнее задание

Повторить п. 39–45, подготовиться к контрольной работе, дорешать задачи из рабочей тетради.

– Спасибо, ребята, за урок!

Литература

1. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – М.: ВАКО, 2006.
2. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Метод. Рекомендации к учеб.: Кн. для учителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. – М.: Просвещение, 2003.
3. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989.