Методические рекомендации
Важнейшим показателем качества образования является объективная оценка учебных достижений учащихся, которая осуществляется стандартизированными процедурами, при проведении которых все учащиеся находятся в одинаковых (стандартных) условиях и используют примерно одинаковые по свойствам измерительные материалы (тесты). В 2010 году варианты ЕГЭ по математике будут существенно отличаться от вариантов прошлых лет. Заданий с выбором ответа больше не будет, а значит, и вероятность «угадать» ответ значительно уменьшается. Поскольку при тестировании немалую роль играет время, затрачиваемое учащимися на выполнение заданий, то неплохо было бы найти приемы, которые позволяли бы это время сократить. При решении неравенств методом интервалов как раз и появляется возможность значительно сократить время за счет того, что вместо нахождения знаков функции на каждом интервале мы сможем расставлять их почти автоматически. Имеет смысл один раз как следует разобраться в этом вопросе, создать алгоритм решения и впредь действовать по нему. Об этом эта публикация. Надеюсь, что она окажется полезной учителям старшей школы при подготовке к предстоящей итоговой аттестации.
Метод интервалов
В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена (х – а): точка а делит числовую ось на две части — справа от точки а двучлен (х – а) положителен, а слева от точки а — отрицателен.
Пусть требуется решить неравенство
(х – а1)(х - a2) ...(x - an) >0, (1)
где а1, a2, …, an-1, an — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что а1<а2<...<аn-1<аn
Рассмотрим многочлен
P(x) = (x-a1)(x-a2)...(x-an) (2)
Для любого числа х0 такого, что х0 > аn, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении (2) положительно, а значит, Р(х0) > 0. Для любого числа x1, взятого из интервала (аn-1, an) соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя (x - an), положительное, поэтому число Р(х1) < 0 и т. д.
На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа a1, а2, ..., аn; в промежутке справа от наибольшего из них, то есть числа an, ставят знак плюс, в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем — знак плюс, затем — знак минус и т. д. Тогда множеством всех решений неравенства (1) будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс, а множеством решений неравенства
(х – а1)(х - a2) ...(x - an)<0, (3)
где а1 < а2 < ... < аn, будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус.
Пример 1. Решить неравенство
(х + 3)(х – 4)(2х + 5) < 0 (4)
Решение. Перепишем неравенство в виде
2(х – (–3))( х – 4)( х –(–5/2)) < 0
Отметим на координатной оси числа (-3), (-5/2), 4 и расставим знаки плюс и минус так, как указано на рисунке:
Рисунок 1
Решениями неравенства (4) будут все х из объединения промежутков (-∞; -3) и (-5/2; 4).
Ответ: (-∞; -3)U(-5/2; 4).
Пример 2. Решить неравенство:
х7 + 8х4 - х3 - 8 > 0. (5)
Решение. Перепишем неравенство (5) в виде (х4 - 1)(х3 + 8) > О
Или
(х –1)( х+1)( х2+1)( х+2)( х2- 2 х +4 ) > 0(6)
Поскольку х2+1>0 и х2-2х + 4>0 для любого действительного х, то неравенство (6) равносильно неравенству (х - 1)(х + 1)(х + 2) > 0. Применяя метод интервалов, находим решения последнего, а значит, и исходного неравенства: это будут все х из двух промежутков -2<х<-1, 1<х<+ ∞
Рисунок 2
Ответ: -2 < х < -1; 1 < х < + ∞.
Метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида
P(x)/Q(x)>0, (6)
где Р(х)и Q(x) — многочлены, если заметить, что на множестве всех действительных чисел неравенство (6) равносильно неравенству Р(х) • Q(x) > 0.
Пример 3. Решить неравенство
(4 - х)(x2 - 5x + 6)/(x2 + 3x + 2) < 0 (7)
Решение. Неравенство (7) равносильно неравенству
(х2 - 5х + 6)(4 - х)(х2 + Зх + 2) < 0.
Перепишем это неравенство в виде (x-2)(x-3)(x-4)(x+1)(x+2)>0 (8)
Применяя метод интервалов, получим, что решениями неравенства (8), а значит, и решениями исходного неравенства, являются все х из трех промежутков
-2 < х < -1, 2 < х < 3, 4 < х < +∞.
Рисунок 3
Ответ: (-2; -1) U (2; 3) U (4; +∞)
Этот метод описан во всех школьных учебниках математики, поэтому остановимся только на пути его реализации. Чтобы решить неравенство методом интервалов, нужно:
1. Записать неравенство в виде
(х – а1)K1 (х – а2)K2…( х – аn-1)Kn-1 (х – аn)Kn>0 (или < 0), где а1 < а2 < ... < аn-1 … < аn.
2. Найти нули и точки разрыва функции
f(х) = (х – а1)K1 (х – а2)K2…( х – аn-1)Kn-1 (х – аn)Kn , нанести их на числовую прямую.
3. Определить знак функции f(х) на каждом интервале (на этом этапе и происходит потеря времени на рутинные вычисления!).
4. Выбрать решения неравенства, записать ответ.
Обобщенный метод интервалов
При решении неравенств вида
(х – а1)K1 (х – а2)K2…( х – аn-1)Kn-1 (х – аn)Kn>0 или
(х – а1)K1 (х – а2)K2…( х – аn-1)Kn-1 (х – аn)Kn <0,
где k1, k2, ..., kn — натуральные числа; а1, а2, ..., аn — действительные числа, среди которых нет равных, такие что а1 < а2 < ... < аn-1 … < аn., применяют обобщенный метод интервалов. В основе его лежит следующее свойство двучлена (х - а)n: точка а делит числовую ось на две части, причем:
а) если n четное, то выражение (х - а)n справа и слева от точки х = а сохраняет положительный знак, в этом случае точку а будем называть двойной или точкой четной кратности;
б) если n нечетное, то выражение (х - а)n справа от точки х = а положительно, а слева от точки х = а отрицательно, в этом случае точку а будем называть простой или точкой нечетной кратности.
Рассмотрим многочлен Р(х) = (х – а1)K1 (х – а2)K2…( х – аn-1)Kn-1 (х – аn)Kn (9)
Где а1 < а2 < ... < аn-1 … < аn.
Для любого числа х0 такого, что х0 > ап, соответствующее значение любого сомножителя в (9) положительно, поэтому числовое значение Р(х0) также положительно.
Для любого х1, взятого из интервала (аn-1; аn) соответствующее значение любого сомножителя в (9), кроме последнего, положительно, а соответствующее значение последнего сомножителя положительно, если kn — четное число, и отрицательно, если kn — нечетное число. Поэтому число Р(х1)положительно, если kn — четное число, и Р(х1)отрицательно, если kn — нечетное число.
Аналогично показывается, что известен знак Р(х)на интервале(аi; аi+1), то на промежутке (аi-1; аi) знак Р(х)определяется по следующему правилу. Многочлен Р(х)при переходе через точку аi:
а) меняет знак на противоположный знаку Р(х)на (аi; аi+1), если kn— нечетное число;
б) не меняет знака (тот же знак, что у Р(х)на (аi; аi+1), если kn — четное число.
На этом рассуждении и основан обобщенный метод интервалов: на числовую ось наносят числа а1, а2, ..., аn; в промежутке справа от наибольшего из корней многочлена ставят знак плюс, а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень аi меняют знак, если ki— нечетное число, и сохраняют знак, если ki — четное число.
Пример 4. Решить неравенство
(х + 7)(2х - 5)3(6 - х)5(3x + 10)4 < 0. (10)
Решение. Перепишем неравенство в равносильном виде
(х – (- 7))( х – 5/2)3(х - 6)5(x - (- 10/3))4 > 0 (11)
Рисунок 4
Для решения этого неравенства применим обобщенный метод интервалов. На числовой оси отметим числа -7, -10/3 , 5/2,6. Справа от наибольшего числа (числа 6) ставим знак плюс. При переходе через точку х = 6 многочлен
P(x) = (х – (- 7))( х – 5/2)3(х - 6)5(x - (- 10/3))4 (12)
меняет знак, так как двучлен (х - 6) содержится в нечетной степени, поэтому в промежутке (5/2; 6) ставим знак минус. При переходе через точку х = 5/2 многочлен
Р(х)меняет знак, так как двучлен (х – 5/2) содержится в произведении (12) в нечетной степени, поэтому в промежутке (-10/3; 5/2) ставим знак плюс. При переходе через точку
х =-10/3 многочлен Р(х)не меняет знака, так как двучлен (x - (- 10/3)) содержится в произведении (12) в четной степени, поэтому в промежутке (-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку х = -7 многочлен Р(х)меняет знак, так как двучлен
(х + 7) содержится в произведении (12) в первой степени, поэтому в промежутке (-¥; -7) ставим знак минус. Решением неравенства (11), а значит, и равносильного ему исходного неравенства будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс, т. е. объединение множеств -7 < х < -10/3, -10/3 < x< 5/2, 6 < x <+¥
Ответ:(-7; -10/3) U (-10/3; 5/2) U (6; +∞)
Замечание 1. Обобщенный метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида Р(х)/ Q(x)>0 (13)
где Р(х)и Q(x) — многочлены, если заметить, что на множестве всех действительных чисел неравенство (13) равносильно неравенству
P(x)Q(x) > 0.
Пример 5. Решить неравенство
((х2 + 1)(х2 - 1)2(х - 3)4)/((х + 2)2(2х - 3)5)< 0 (14)
Решение. Неравенство (14) равносильно неравенству
(х2 + 1)(х2 - 1)2(х - 3)4(х + 2)2(2х - З)5 < 0.
Поскольку х2 + 1 > 0 при любом х, то последнее неравенство равносильно неравенству
(х - 1)2(х + 1)2(х - 3)4(х + 2)2(х – 3/2)5 < 0.
Применим обобщенный метод интервалов. На числовой оси отметим точки -2, -1, 1, 3/2 и расставим знаки, как указано на рисунке
Рисунок 5
Те промежутки, где стоит знак минус, и дадут все решения неравенства (14).
Ответ: (-2; -1) U (-1; 1) U (1; 3/2)
Замечание 2. Обобщенный метод интервалов можно применять и так:
1) найти все различные корни а1, а2, ..., аk ; а1 < а2 < ... < аk (k≤n)многочлена Рn(х);
2) выяснить знак многочлена Рn(х)на каждом из интервалов (аi; аi+1),I = 1, 2,…,k-1, (-∞; а1)и(аk;+∞), подставляя в Рn(х)вместо хлюбое число из этого интервала.
Пример 6. Решить неравенство
(1 + х)(1 - 3х)(4 - х2)3(2 + 5х)(1 - х)2 > 0. (15)
Решение. Многочлен Р(х) = (1 - Зх)(4 - х2)3(2 + 5х)(1 + х)(1 - х)2обращается в нуль в точках х =1/3, х = 2, х = -2, х = -5/2, х = -1, х = 1. Эти точки разделяют числовую ось на семь промежутков
Так как при х = 3 имеем 1 - 3х < 0, (4 - х2)3 < 0, 2 + 5х > О, 1 + х > 0, (1 - х)2 > 0, то Р(З) > 0, поэтому справа от точки х = 2, т. е. в промежутке 2 < х < +∞, ставим знак плюс. Затем рассмотрим, например, х =3/2 из промежутка 1 < х < 2.Так как при х =3/2имеем 1 - Зх < 0, (4 - х2)3 > 0, 2 + 5х > 0, 1 + х > О, (1 - х)2 > О, то Р(3/2) < 0, поэтому справа от точки х = 2 в промежутке 1 < х < 2 ставим знак минус. Поступая аналогично, расставим знаки плюс или минус, как указано на рисунке.
Рисунок 6
Решением неравенства (15) будет объединение всех тех промежутков, в которых поставлен знак плюс, т. е. это будет объединение промежутков -5/2 < x < -2; -1 < x < 1/3;
2 < х < +∞.
Ответ: (-5/2; -2) U (-1; 1/3) U (2; +∞).
Чтобы избежать потерь при подсчете знаков функции f(х) на каждом интервале, рекомендуется воспользоваться нетрадиционным алгоритмом решения.
Нетрадиционный алгоритм решения неравенств методом интервалов
1. Привести неравенство к виду
(х – а1)K1 (х – а2)K2…( х – аn-1)Kn-1 (х – аn)Kn>0 (или < 0), где а1 < а2 < ... < аn-1 … < аn.
2. Найти точки, в которых левая часть неравенства обращается в нуль (нули функции f(х) = (х – а1)K1 (х – а2)K2…( х – аn-1)Kn-1 (х – аn)Kn) или не определена (точки разрыва функции f(х) = (х – а1)K1 (х – а2)K2…( х – аn-1)Kn-1 (х – аn)Kn )
3. Нанести на числовую прямую нули и точки разрыва функции f(х), не забывая об их кратности. Двойные точки будем изображать двумя рядом стоящими кружочками, простые – одним.
Рисунок 7
Рисунок 8
Рисунок 9
Рисунок 10
В случае нестрогого неравенства (≤ или ≥) нули функции изображаем на рисунке закрашенными кружочками и включаем их в решение. Точки разрыва не закрашиваем и не включаем в решение никогда!
4. Расставить знаки f(х) справа налево, не забывая, что при переходе через простую точку функция меняет знак на противоположный, а при переходе через двойную точку сохраняет знак и при х > аn имеет знак плюс.
5. Выбрать соответствующее знаку неравенства решение и записать ответ.
Пример. Решить неравенство
((x - 3)5(5 - x)7(x - 4)6) / (x - 8)3 ≥ 0
1.Запишем неравенство в виде
((x - 3)5(x - 5)7(x - 4)6) / (x - 8)3 ≤ 0
2. Точки 3, 4, 5 – нули функции f(х) =((x - 3)5(x - 5)7(x - 4)6) / (x - 8)3 , 8 – точкаразрыва, причем 4 – двойная точка.
3. Наносим эти точки на числовую прямую.
4. Расставляем знаки справа налево: плюс, минус, плюс, плюс, минус.
Рисунок 11
5. Ответ: (-∞; 3]U{4}U [5;8).
Литература
- Олехник С. Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения : 10—11 классы / М. : Дрофа, 2001.
- Фенько Л. М. «Метод интервалов в решении неравенств и исследовании функций». 8—11 классы/ М. : Дрофа, 2001.