Урок математики по теме "Применение производной при исследовании функции на монотонность и экстремум"

…Нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира …

    Н.И. Лобачевский

Цели занятия:

• Обучающие:
  • Знание  –  студент знает определение критической (стационарной) точки, признаки возрастания и убывания функции и признаки максимума и минимума функции, алгоритмы нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции.
  • Понимание  –  студент имеет представление о применение данной темы в экономических процессах.
  • Применение   –  студент применяет изученный материал при непосредственном нахождении промежутков монотонности и точек экстремума функций.
• Развивающие
  • Анализ  –  студент сравнивает ранее известную информацию с новой, понимает необходимость изучения данной темы для дальнейшего роста как специалиста в области экономики и бизнеса.
  • Синтез  –  студент  умеет применять  знания в конкретной ситуации, правильно формулировать задачи и излагать мысли.
• Воспиттельные:
  • Оценка  –  студент выделяет ошибки в рассуждениях, научился отвергать ненужную или неверную информацию, учится критически мыслить.

Вид занятия: ознакомление с новым материалом.

Метод: РКМЧП: лекция с остановками, прием «Корзина», прием «Кластер»

Время: 80 мин.

Оборудование: мультимедийный комплекс (компьютер, проектор).

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационная часть (1 мин)

Приветствие. Отметить отсутствующих.

II. Стадия вызова  (8 мин)

Прием «Корзина».
На доске в центре изображена корзина.
Цель: Актуализация опыта и предыдущих знаний обучаемых.

Преподаватель: О каких свойствах функции вам уже известно? В течение 1 мин вспомните и запишите в тетради все, что помните и знаете.
Преподаватель: Теперь в течение 2 мин обменяйтесь информацией с товарищем.
Преподаватель: Назовите  какое-то одно сведение от каждой пары,  не повторяясь.

Преподаватель записывает эти сведения в корзину. (Приложение 1)

III. Стадия осмысления (63 мин)  –  прием лекция с остановками

Преподаватель: Какие из этих свойств вы не можете определять алгебраическим способом?
Преподаватель: Правильно,  сегодня мы научимся находить возрастание и убывание, максимум и минимум функции. Запишите тему нашего занятия. Сейчас вы прочитаете первую часть лекции и запишите в тетради

1-я часть. Исследование  функции на возрастание и убывание (монотонность).

Определение. Точка называется критической (стационарной), если она является внутренней точкой области определения и производная в ней равна нулю или не существует.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) > 0,  то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

–  А теперь ответьте на вопросы.

Вопросы к первой части:

1. Как найти область определения следующих функций? (Приложение 2)
2. Что можно сказать о функции, если отсутствуют критические точки?
3. Как найти стационарные точки, в которых производная не существует?
4. Как определять знаки производной на интервалах?

– Сейчас вы прочитаете вторую часть лекции и запишите в тетради.

2-я часть. Исследование  функции  на экстремум с помощью  производной

Признаки  максимума и минимума функции:

Если при переходе через стационарную точку х0  производная f'(x)  данной функции меняет знак с « – » на « + »,  то функция в этой точке х₀ имеет минимум. Если при переходе через стационарную точку х₀  производная f'(x) данной функции меняет знак с « + » на « – »,  то функция в этой точке х₀ имеет максимум.

Вопросы ко второй части:

1. Что вы можете сказать о точках экстремума, если отсутствуют критические точки?
2. Что вы можете сказать о функции, если все знаки на промежутках одного вида?
3. Как находить вторую координату точки экстремума?

IV. Практическая часть

Задание 1. Исследовать на возрастание и убывание  следующие функции:

1)

Решение. D(f): х =/= 0.

> 0  при х =/= 0.

Ответ: функция возрастает на (–  ; 0) и (0;  + ).

2) f(x)  =  x³ – 27x

Решение. D(f): R.

критические точки

Ответ: функция возрастает на (–  ;  – 3] и [3;  + ), убывает [ – 3; 3].

 Задание 2. Исследовать на максимум и минимум следующие функцию.

Решение. D(f): х =/= ± 2.

Ответ: экстремумов нет.

Преподаватель: У вас, наверное, возникает вопрос, какое отношение имеет данная тема для будущей нашей профессии? Сегодня у вас в гостях студенты старшего курса. Они расскажут, где применяется данная тема в экономике.

Старшекурсник: Дифференциальное исчисление  –  широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике  –  методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции  –  это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных). В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект.

Большое значение имеет такое понятие, как эластичность функции. (Приложение 4)

Эластичностью функции f(x) в точке x₀ называют преде

Спрос  –  это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E_D  – это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если |E_D| > 1, то спрос называется эластичным, если |E_D| < 1, то неэластичным. В случае E_D = 0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

Пример 1. Пусть цена единицы товара равна С усл.ед., количество единиц реализованного товара равно V. Доход от реализации товара L = CV. Предельный доход равен L '(V).

Функция спроса С = 8 – V. Тогда L = (8 – V)V = 8V – V ‘. При этом С > 0,V > 0, 0 < V < 8.

Решение.

Спрос  эластичен при | Еc(V) | >1, т.е. | 1 – 8/V | >1 
Решение данного неравенства V Є (0; 4), т.е.
спрос эластичен при V Є (0; 4). На этом интервале L'(V) = (8V – V 2) ‘ = 8 – 2V >0, т.е. доход предприятия растет  при снижении цены и продаже дополнительного товара.
Спрос неэластичен при | 1 – 8/V | <1 при V Є (4; 8).
На этом интервале L'(V) = (8V – V 2) ‘ = 8 – 2V < 0.
Следовательно, в случае, когда спрос неэластичен, увеличение объема продажи товара за счет снижения цены приводит к уменьшению дохода.

В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

2. Максимизация прибыли.  (Приложение 5)

Пусть L = L(V)  – функция дохода,  получаемое от реализации V единиц товара;
С =  С(V) – функция затрат на производство V единиц товара;
П = П(V)  – функция прибыли.
Тогда очевидно П(V) =  L(V) –  С(V).

Для нахождения максимальной прибыли:

П'(V) =  L'(V) –  С'(V).
П'(V) = 0 при L'(V) =  С'(V), т.е. предельный доход равен предельным издержкам. Именно это утверждается в микроэкономике: «Чтобы максимизировать прибыль, нужно, чтобы предельный доход равнялся предельным издержкам».

Пример 2.

Пусть L(V) = 594V – V²
С(V) =  2V3 – 7V²

Решение.

П(V) =  594V – V² – (2V³ – 7V²) = – 2V³ + 6V² + 594V
П'(V) = – 6V² + 12V + 594 = – 6(V² – 2V – 99) = – 6(V – 11)(V + 9)
П'(V) = 0.V =  – 9,  V =  11 –  критические точки.

Ответ: П_max(11) = 5929

Максимизация дохода при дополнительном налогообложении предприятия. (Приложение 6) Пусть: V  – количество единиц выпускаемой продукции;

L(V)  – доход предприятия; C(V)  –  затраты предприятия; П(V)  =  L(V) – C(V)  – прибыль предприятия. Принято решение: ввести дополнительный налог r на каждую единицу продукции. Каким должен быть налог, чтобы доход R  =  rV₁, полученный от дополнительного налога, был максимальным? Здесь V₁ количество единиц продукции, выпускаемой после введения налога. Затраты предприятия после введения налога  С₁  =  C(V) + rV.
Прибыль предприятия после введения налога П(V)  =  L(V) –  С1(V)  =  L(V) – C(V) –  rV.
Необходимое условие для максимума прибыли П'(V)  =  0. Следовательно, L'(V) – C'(V) –  r  =  0.
Отсюда находится V₁, –  объем выпуска продукции после введения налога и R max =  rV₁

Пример 3. Пусть: L(V) =   – 2V² + 6V, С(V) =  V² + 3V + 2.

Найдите величину дополнительного налога r, при котором доход от его введения максимален.

Решение. С₁  =  C(V) + rV  –  затраты после введения налога.
Тогда прибыль П(V)  =  L(V) –  С₁(V) =   – 2V² + 6V –  V² – 3V – 2 –  rV  =   – 3V² + 3V + 2 –  rV.
П'(V) =  – 6V + 3 – r. Необходимое условие максимума прибыли П'(V)  =  0.  – 6V + 3 – r  =  0.
Отсюда объем выпускаемой продукции после введения налога .

Доход от введения дополнительного налога R  =  rV₁ .
R' = 0 при  .

V. Стадия рефлексии (6 мин.)

Составить кластер данной темы. (Приложение 3)

VI. Задание на дом (1 мин.)

1. Исследовать на монотонность  функцию  f(x) = 2x² – x.
2. Исследовать на экстремум  функцию  f(x)  = – x³ + 3x + 2.
3. Издержки производства некоторой продукции определяется функцией 5х² + 80х, где х  – число единиц произведенной за месяц продукции. Эта продукция продается по цене 280 руб. за изделие. Сколько изделий нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальной.

VII. Итоги занятия (1 мин.)

Объявить оценки с комментариями