Интегрированный урок по теме "Решение систем линейных уравнений методом Крамера"

Цели и задачи урока:

План урока.

На доске написан эпиграф к уроку:

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения! В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и могущества разума, его торжество над покоренной природой.»
академик И. И. Артоболевский

(из книги «Машина» под редакцией академика И.И. Артоболевского)

1. Учитель зачитывает цитату, акцентирует внимание учеников на том моменте, что сегодня они познакомятся с формулой Крамера, которая позволяет решать систему n линейных уравнений с n неизвестными.

2. Объяснение нового материала.

Учитель математики рассказывает о методе Крамера.

Когда нам нужно записать сумму двух чисел а и в, мы используем знак + и пишем а+в, и т.д.

Большую роль в математике играет еще одна форма записи алгебраических действий, которая нам понадобится для изучения системы линейных уравнений. Выглядит эта форма записи так: . Четыре числа a, b, c, d записаны в виде таблицы, имеющей две строки (а, b) и (c,d) и два столбца и. Слева и справа стоят вертикальные черточки. Все это выражение употребляется для записи разности ad-bc называется определителем второго порядка.

= ad-bc. Числа a, b, c, d – называются элементами определителя.

Рассмотрим систему уравнений:

(1), тогда главным определителем системы уравнений (1) называется определитель составленный из коэффициентов при неизвестных x и y. Этот определитель мы будем обозначать греческой буквой , очевидно, что .

Первым вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется определитель . Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем замены первого столбца на столбец свободных членов. Этот определитель мы будем обозначать (индекс при указывает, что в главном определителе первый столбец составленый из коэффициентов при х в системе уравнений (1) заменен на столбец свободных членов ). , .

Возникает естественный вопрос: «Для чего мы познакомились с новой формой записи?».

В ходе беседы учащиеся вспоминают основные способы решения систем уравнений:

1. метод подстановки;
2. метод исключения неизвестных (метод Гаусса);
3. графический метод;
4. метод сложения.

Существует еще один метод, так называемое правило Крамера.

Теорема. Если главный определитель системы уравнений (1) не равен 0, то система уравнений имеет единственное решение:

.

Это правило названо именем швейцарского математики Крамера (1704 - 1752), который одним из первых пришел к понятию определителя и доказал приведенную здесь теорему в 1750 году в своей работе «Введение в анализ кривых линий». В курсе высшей алгебры вводится понятие определителя порядка n для любого натурального n и излагается метод решения системы n линейных уравнений с n неизвестными с помощью таких определителей. Этот метод очень важен как при решении теоретических вопросов, так и при исследовании систем уравнений с буквенными коэффициентами. Он широко применяется (как и само понятие определителя) не только в высшей алгебре, но и в других разделах высшей математики, в механике и теоретической физике. Однако, для практического решения систем линейных уравнений с числовыми коэффициентами самым экономным (в смысле объема производимых вычислений оказывается метод последовательного исключения неизвестных) именно им часто пользуются на практике. С этим методом мы познакомимся позже, а сегодня научимся применять теорему Крамера при решении систем линейных уравнений с использованием ваших знаний и умений полученных на уроках информатики

Учитель информатики на примере системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными показывает запись данной системы на языке электронных таблиц.

Рассмотрим следующую систему уравнений:

Запишем данную систему уравнений на языке электронных таблиц.

Вопросы к учащимся:

1. Что такое табличный процессор?
2. Какая информация может храниться в ячейках? (числа, формулы и текст)
3. Сколько чисел можно внести в ячейку, чтобы в последствии произвести расчеты? (одно число в одну ячейку)

Как вы заметили, при решении систем уравнений методом Крамера, при составлении главного и дополнительных определителей нас интересуют коэффициент при неизвестных. Запишем данную систему в виде таблице состоящую их коэффициентов при х и свободных членов (отделенных от основных чертой).

4) Сколько главных и дополнительных определителей нужно составить для решения данной системы уравнений? (1главный и 3 дополнительных)

Составим главный и дополнительные определители по данной таблице:

5) Как вычислить корни?

(; ; )

6) Сформулируйте правила записи формул. С какого знака начинается любая формула? (Формула – это комбинация чисел, адресов ячеек, в которых они хранятся, стандартных функций и знаков операций. Начинается со знака равно.)

3. Практическая работа. Учащиеся под руководством учителя информатики и двух консультантов (из числа учеников данного класса) записывают данную систему на компьютере.

Учитель информатики сообщает учащимся, что в MS Excel есть формула позволяющая упростить процесс подсчета определителя - Функция МОПРЕД - возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

Синтаксис: МОПРЕД(диапазон ячеек).

Учитель информатики обращает внимание учащихся на то, что, введя коэффициенты системы в ячейки и применив данную функцию можно найти значение определителя матрицы и вычислить корни системы по формуле Крамера. Выполняют практическую работу по нахождению определителей и корней предложенной системы. В случае затруднения учитель и ученики – консультанты помогают учащимся, также на столах у учащихся находится образец выполнения практической работы. Приложение 1.

4. Самостоятельная работа.

Ученики выполняют самостоятельную работу по карточкам (6 вариантов). Ответы заносят в лист ответов (один лист остается у учащихся, другой сдается учителю). Приложение 2, Приложение 3.

Учитель математики проверяет ответы к заданиям номер 4 и 5. У всех учащихся ответ к номеру 4 – нет решений, к номеру 5 – бесконечное множество решений. Ученики обосновывают полученные ответы, опираясь на формулу Крамера. Делается вывод о числе решений системы линейных уравнений (единственное решение, бесконечное множество решений, пустое множество решений) в зависимости от значения главного определителя и вспомогательных определителей, то есть проводится исследование решения системы линейных уравнений.

5. Подведение итогов.

Учащиеся оценивают свою работу на уроке и свое настроение (форма листа контроля прилагается). При выставлении итоговых оценок за урок учитывается мнение консультантов.

Учителя математики и информатики подводят итоги урока в беседе с учащимися и делают следующие совместные выводы:

1) Учащиеся познакомились с правилом Крамера (без доказательства); исследовали число решений системы уравнений.

2) Научились рационально использовать информационные технологии при решении систем линейных уравнений.

Учитель показывает запись вычисления определителя системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными («в ручную», запись заранее сделана на доске), обращая внимание на объем вычислений.

3) Знания по математике необходимы в полном объеме, если ты заинтересован в них как аналитик и достаточно знать о существовании программы, позволяющей упростить трудоемкий процесс вычисления, то есть достаточно уметь пользоваться информационными технологиями, если тебя интересует только результаты вычислений.

6. Домашнее задание.

Учащиеся обмениваются карточками с текстом самостоятельной работы с соседом. Выполняют задания другого варианта.

Желающие самостоятельно изучают доказательство формулы Крамера (соответствующая литература имеется в кабинете математики).

Список литературы.

1. Волков В. Понятный самоучитель работы в EXCEL. – СПб.: Питер, 2003.
2. Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции. Учебное пособие для учащихся 9 класса средней школы. М., «Просвещение», 1973.

Приложение 4