Цели и задачи:
- познакомить учащихся с односторонней поверхностью, методом графов,
- привить навыки исследований.
Оборудование:
- бумажная полоска 30 см в длину и 3 см в ширину;
- ножницы;
- клеящий карандаш,
- куб,
- план города Кенигсберга,
- русский алфавит.
Ход занятия
Учащиеся работают в группах по два человека.
1 задание (опыт):
-Попробуйте провести непрерывную линию по полоске, не отрывая карандаша от листа бумаги. Что вы получили? Сформулируйте вывод.
группы с нечетными номерами склеивают полоску в простое кольцо;
группы с четными номерами склеивают полоску в перекрученное кольцо.
Учащиеся делают следующие выводы: По простому кольцу нельзя провести непрерывную линию, а по перекрученному кольцу можно.
Учитель резюмирует: Перекрученное кольцо называют листом Мебиуса. Оно является примером односторонней поверхности. Изучением свойств односторонних поверхностей занимается наука топология. С точки зрения топологии гайка, кружка, макаронина – одинаковые объекты (у них только одно отверстие). В русском алфавите тоже есть топологически одинаковые буквы (о-б-р) например. Впервые такой опыт провел немецкий геометр и астроном Август Мебиус. Он заметил, что у перекрученного кольца – только одна сторона А. Мебиус изучил и описал свойства односторонних поверхностей. Рассмотрим и мы одно из них.
Проведем следующий опыт.
2 задание:
-Какие из фигур можно вычертить, не отрывая карандаша от листа бумаги, а какие нет и почему? Как вы думаете?
1 2 3
Учащиеся выполняют задание и делают вывод: Фигуру 2 можно начертить одним росчерком, а фигуры 1 и 3 – нельзя.
Учитель резюмирует: А. Мебиус подсчитал четность узлов в графе. Граф – это связная сеть кривых, как на рисунке.
Точки, в которых кривые соединяются, называются узлами. На нашем графе 5 узлов, причем три из них четные, а два нечетные. Если в графе число нечетных узлов больше двух, то фигуру нельзя начертить одним росчерком. Данное свойство помогло решить задачу о Кенигсбергских мостах. Описал и решил ее Л. Эйлер.
Задача:
-Город Кенигсберг был расположен на берегах и двух островах реки Преголь. Части города соединены между собой 7 мостами. Совершая прогулки. горожане спорили: можно ли пройти по каждому мосту только один раз и вернуться в начальную точку пути?
Рассмотрим рисунок. План города для решения задачи представим в виде графа.
На этом графе четыре узла, так как четыре части суши и семь кривых. Узлы являются нечетными, так как к трем подходят по три кривых, а к четвертому узлу – пять кривых. Поскольку все узлы нечетные, то этот граф нельзя начертить одним росчерком. Задача невыполнима.
3 задание: Оса забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли оса последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру, не перелетая и не подпрыгивая?
Решение: Представим куб в форме графа. В графе 6 узлов, к которым подходят по три кривых, поэтому узлы являются нечетными и их больше двух, значит, оса не сможет обойти последовательно все 12 ребер.
4задание:
-Разрежьте простое кольцо ножницами вдоль. Что получилось? Разрежьте перекрученное кольцо вдоль. Что получилось? Продолжим перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один.
Результаты запишем в таблицу.
| Число полуоборотов | Результат разрезания | Свойства |
| 0 | 2 кольца | длина окружности кольца та же, но кольцо в 2 раза уже |
| 1 | 1 кольцо | кольцо перекручено на два полуоборота и оно уже первоначального |
Учащимся предложено самостоятельно провести опыт для 2,3 полуоборотов и сделать вывод.
Подведение итогов занятия: Вы познакомились с несколькими свойствами односторонней поверхности и убедились сами, что попробуй простую фигуру сложить, как вмиг увлекаешься делом.
Литература:
- И. Ф. Шарыгин Наглядная геометрия 5 – 6 классы Дрофа Москва 2007
- И. Ф. Шарыгин Математика Задачи на смекалку 5 – 6 Москва “Просвещение” 1995
- Е. Еловская “Геометрия и красота” учебно-методическая газета МАТЕМАТИКА №5 – 2008