Цели:
- сформировать понятие симметрии в целом; показать какой глубокий смысл заложен в этом понятии; выяснить почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир; показать, что симметрия – это одно из слагаемых красоты в математике.
- воспитывать любовь к прекрасному; воспитывать активность, умение доказывать свою точку зрения; развивать умение вести индивидуальную, групповую дискуссию; формирование ответственности каждого за конечные результаты работы в группе, этичного поведения при обсуждении, ораторского мастерства, самооценки качества своего труда .
- развивать способность к творчеству и научной фантазии; развивать работоспособность, чёткость и реализм в своих суждениях и выводах.
Материалы и оборудование:
Персональный компьютер, принтер, сканер, мультимедийный проектор, экран, карточки с буквами, зеркала, спицы.
Время проведения: 2 академических часа (80 мин.)
Основополагающий вопрос: Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?
Повестка дня
- Принятие флага республики.
- Принятие законов республики (эпиграф).
- Выступление премьер-министра.
- Практическое задание.
- Отчёты министров о работе за истёкший период.
- Создание ВЕБ-сайта по теме заседания.
Ход заседания
- Выступление премьер-министра (учителя):
“Во всём мне хочется дойти
До самой сути.
В работе, в поисках пути,
В сердечной смуте.
До сущности протекших дней,
До их причины,
До оснований, до корней,
До сердцевины”.
Действительно, для того чтобы что-либо познать, надо дойти до самой сути, хоть в математике, хоть в жизни. Поэтому мы сегодня, следуя этому закону. Познакомимся глубже с понятием симметрии, узнаем, какой глубокий смысл заложен в этом понятии и почему симметрия, буквально, пронизывает весь окружающий нас мир. В нашей стране есть ещё закон запрета, (слайд 7) который запрещает работать без творчества и фантазии. Ещё В. И. Ленин говорил, что никакое человеческое открытие немыслимо без фантазии.
Перед вами картина А.Рублева “Троица” (слайд 8).
Что пронизывает эту картину? (Симметрия). Что хотел показать художник в картине “Троица”, используя симметрию (уравновешенность, которые несут эти 2 ангела). А уравновешенность и покой можно достичь только с симметрией. А что же такое симметрия? (слайд 9)
Симметрию мы встречаем везде - в природе, технике, искусстве, науке. Принципы симметрии играют важную роль в физике, математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Симметрия проникла в мир математических законов, физических, биологических, литературных и стала там полновластной хозяйкой.
А какая бывает симметрия? Какие виды симметрии вы уже знаете (осевая и центральная) (слайды 10, 11-13). А какие виды симметрии еще существуют? Симметрия делится на два вида. Та симметрия, которую можно непосредственно видеть – называется геометрической; а та, которая лежит в основе естественно – научной картины мира, рассматривается в физических законах и законах природы называется физической симметрией. Давайте попробуем в этом разобраться. Для этого обратимся к определению симметрии. (Слайд 9) Как говорит наша “конституция”, термин “симметрия” по–гречески означает соразмерность, пропорционально, одинаковость в расположении частей.
Математически строгое представление о симметрии сформировалось в 19 веке. (слайд 14) В трактовке по ( Г.Вейлю), как говорит наша конституция: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменить, получая в результате тоже, с чего начали. Поясним это на примерах.
Практическое задание.
Обсудим симметрию букв “П”, “Ф”, “И”. (На столах карточки с этими буквами и зеркала). Учащиеся отражают одну половину буквы в зеркале. Изображение совпадает с другой половинкой. Это есть пример зеркальной симметрии. У “И” нет такой симметрии, но зато есть, так называемая, поворотная симметрия. Если повернуть букву “И” на 1800 вокруг оси, перпендикулярно к плоскости буквы и проходящий через ее центр, то буква совместится сама с собой (используется спица). Буква “Ф” - тоже обладает поворотной симметрией; а у “П” ее нет. А какой симметрией обладает Египетская пирамида (слайд 15)? (поворотной, если повернуть её на 90 градусов вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину пирамиды), зеркальной (совмещается сама с собой при отражении (мысленной) в любой из 4-х вертикальных плоскостей, проходящих через вершину перпендикулярно основанию).
Симметрия пронизывает весь окружающий нас мир.
А сейчас с отчетом о проделанном исследовании выступит министр симметрии в природе Министр вездесущей симметрии (защита презентации “Вездесущая симметрия””).
С симметрией мы встречается повсюду и в живой природе.
Министр симметрии в животном мире (защита презентации “Симметрия Животных”).
А теперь обратимся к растительному миру.
Министр симметрии в растительном мире познакомит нас со своим исследованием (защита презентации “Симметрия растений”)
Министр симметрии цветочного мира (защита презентации “Симметрия в цветочном мире”)
Премьер министр
Вопрос о красоте, связанной с симметрией, очевиден. Рассматривая соразмерные, взаимно уравновешенные, закономерно повторяющиеся части симметричного объекта мы ощущаем покой, порядок, стабильность. И в результате объект воспринимаем как красивый. И напротив, случайное отклонение от симметрии (обрушивающийся угол здания, оторванный кусочек буквы, необычно рано выпавший снег), воспринимается отрицательно, как неожиданный эффект, угрожающий нашей уверенности. Все это так, но симметрия может вызвать и отрицательные эмоции. Представим себе современные жилые кварталы, застроенные одинаковыми симметричными домами. (Часто удобными и целесообразными). Но они разве не создают впечатления скучного однообразия? Вспомним кинофильм “Ирония судьбы или с легким паром”. Герой приезжает в другой город, приходит на улицу с таким же названием, находит такой же дом, квартиру и даже ключ. Конечно, в этом проявляется “минус симметрии” (слайд 16). Говоря о симметрии в неживой природе, возникает точка зрения, что симметрия в неживой природе - отнюдь не частый гость (слайд 17). Например, нагромождение камней, неправильная линия холмов на горизонте. И в тоже время встречается точка зрения, что симметрия и строгая точность холодна и враждебна живому. Наверное, не случайно, безжизненный замок снежной королевы (слайд 18) из сказки Андерсена изображает как симметричное сооружение, сверкающее отполированными зеркальными гранями правильных форм. Кто же прав? Кто видит в неживой природе нагромождение, беспорядок или тот, кто видит господство холодной точности и симметрии. Неверны обе точки зрения. Конечно груда камней это беспорядок, но каждый камень состоит из кристаллов. А кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Вспомните снежинки. Это маленькие кристаллы замерзшей воды (слайд 19). Они обладают симметрией повторной и зеркальной (осевой, центральной). Почему снежинки шестиугольные. Почему не бывает пятиугольных снежинок; (пчелиные соты, зернышки граната). А теперь давайте представим себе цветущий весенний луг (слайд 20) с буйным и совсем не симметричным рисунком красок. Неужели можно считать, что аккуратно подстриженный газон или дерево красивее естественной лужайки? Получается, что красота не всегда связана с симметрией. Оказывается, что при рассмотрении симметрии, надо принимать во внимание не только саму симметрию, но и отклонения от нее, т.е. асимметрия. Симметрия выражает нечто общее, (слайд 21) свойственно разным объектам, а асимметрия – частное, т.е. у асимметрии есть свое собственное “лицо”. Как у всех елок (слайд 21) есть много общего: вертикальный ствол, характерные ветви, расположенные вокруг ствола с определенной поворотной симметрией, структура иголок. И, тем не менее, мы можем долго выбирать себе елку, отбирая среди всех те черты индивидуальности, которые нам нравятся.
Попытаемся вообразить себе мир, который устроен полностью симметрией. Такой мир должен был бы совмещаться сам с собой при любом повороте, при отражении в зеркале. Это было бы что-то однородное, неизменное. Такой мир невозможен. Мир существует благодаря единству симметрии и асимметрии. В замечательной детской сказке (слайд 22)Льюиса Кэрролла “Алиса в зазеркалье” есть сцена имеющая сегодня глубочайший научный интерес. Собираясь “пройти” сквозь зеркало в скрытый за ним зазеркальный мир, Алиса обращается к своему котёнку с вопросом: “Но понравится ли тебе в Зазеркалье, киска? Дадут ли тебе там молочка? Может быть, молоко в Зазеркалье не годится для питья?” Действительно, в состав молока входит много зеркально – асимметричных соединений – жиры, лактоза, белки. При “переходе из обычного мира в зазеркальный все асимметричные молекулы должны были бы превратиться из одних стереоизомеров в другие. Поэтому молоко Зазеркалья вряд ли будет безвредным для котёнка. Впрочем, если следовать описанной Кэрроллом сказочной ситуации, то надо полагать, что, попав в Зазеркалье, и Алиса и котёнок сами превращаются в своих зазеркальных двойников. А в этом случае зазеркальное молоко будет для них, конечно, столь же вкусным и полезным, каким было раньше обычное (“неотражённое”) молоко.
С вопросами зеркальной симметрии – асимметрии тесно связана проблема возникновение жизни на Земле (слайд 23)– ведь живая материя возникла в свое время из неживой. Это обусловлено нарушением существовавшей до этого зеркальной симметрии, образованием чистых молекул, т.е. зеркально симметричных. Современная наука пришла к выводу, что переход от мира зеркального – симметричных соединений к чистому миру произошел не в процессе длительной эволюции, а скачком в виде своеобразного большого биологического взрыва. Итак, нашей жизни на Земле мы обязаны нарушению зеркальной симметрии и образованию асимметричных молекул. (Слайд 24)
Замечательным примером использования симметрии является человеческая деятельность, а именно – творческая. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры.
Министр симметрии в архитектуре(защита презентации “Симметрия в архитектуре”).
Министр симметрии в человеческом творчестве представит нам своё исследование. (Защита презентации “Симметрия в человеческом творчестве”)
Симметрию можно наблюдать и в технике, и в быту, и в нашей окружающей жизни. Зачем используется симметрия в технике? На этот вопрос ответит министр симметрии в технике. (защита презентации “Симметрия в технике”)
Премьер министр
Теперь мне хотелось бы обратиться к живописи (слайд 25). О какой симметрии можно говорить, глядя, например, на картину “Боярыня Морозова”, написанную выдающимся русским художником В. И. Суриковым? Используя асимметричные элементы, художник должен создать нечто, обладающее в целом скрытой симметрией. Конечно, трудно анализировать симметрию (или, как выразился художник, математику) такой сложной картины, как “Боярыня Морозова”, однако можно проделать простой опыт, обнаруживающий наличие в картине некоей скрытой симметрии. Надо посмотреть на изображение этой картины в зеркале, то есть поменять в картине левое на правое (и наоборот). Оказывается, что при этом загадочный эффект движения саней исчезает!
(Слайд 26) Для анализа симметрии изображения лучше, наверное, взять картину с более простой композицией. Перед вами картина гениального итальянского художника Леонардо да Винчи “Мадонна Литта”. Обратите внимание: фигуры мадонны и ребёнка вписываются в правильный треугольник, который вследствие своей симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребёнок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные плавные линии пологих холмов и облаков. Всё это создаёт ощущение покоя и умиротворённости, усиливаемое за счёт гармоничного сочетания голубого цвета с желтоватыми и красноватыми тонами. Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается. А что можно сказать об асимметрии?
Асимметрия хорошо проявляется, например, в тельце ребёнка, которое неправильно разрезает упомянутый выше треугольник. И кроме того, есть одна в высшей в высшей степени выразительная деталь. Благодаря взаимной замкнутости, завершённости линий фигуры мадонны создаётся впечатление полного безразличия мадонны к окружающему миру, и в частности к зрителю. Мадонна вся сосредоточена на младенце; она нежно держит его, нежно глядит на него. Все её мысли сосредоточены только на нём. И вдруг вся эта замкнутость картины в себе исчезает, как только мы встречаемся со взглядом ребёнка. Именно здесь внутренняя уравновешенность композиции нарушается: спокойный и внимательный взгляд ребёнка обращён прямо на зрителя, через него картина раскрывается во внешний мир. Попробуйте мысленно убрать эту чудесную асимметрию, повернуть лицо младенца к матери, соединить их взгляды. Разве вы не чувствуете, что от этого картина сразу становится беднее, менее выразительной?
Получается, что всякий раз, когда мы, восхищаемся тем или иным произведением искусства, говорим о гармонии, красоте, эмоциональности воздействия, мы тем самым касаемся одной и той же неисчерпаемой проблемы – проблемы соотношения между симметрией и асимметрией. Пример с картиной Леонардо да Винчи убеждает нас в том, что анализ симметрии – асимметрии всё же очень полезен: картина начинает восприниматься острее.
(Слайд 27) Изучая физику, мы обнаруживаем, что существует огромное количество законов: закон гравитации, электричества, магнетизма и т. д. Всё это многообразие законов пронизано несколькими общими принципами, которые содержатся в каждом законе. Примерами таких принципов могут служить некоторые свойства симметрии. Одно из важнейших свойств симметрии физических законов – постоянство во времени, сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения описывает не меняющийся во времени факт взаимного притяжения тел. Это притяжение существовало до Ньютона, оно будет существовать и в последующие века. Закон идеального газа широко используется в современной науке и технике. Если бы физические законы изменялись со временем, то каждое физическое исследование имело бы “сиюминутное” значение. Важным законом сохранения в физике является закон сохранения импульса замкнутой системы. На основе этого закона можно объяснить невероятное приключение барона Мюнхгаузена (слайд 28). Рассказывая о своих удивительных приключениях, барон Мюнхгаузен поведал, как однажды он вместе с конём попал в трясину. “Вот уже всё туловище моего коня скрылось в зловонной грязи, - вспоминает доблестный барон, - вот уже и моя голова стала погружаться в болото, оттуда торчала лишь косичка моего парика. Что было делать? Мы непременно погибли бы, если бы не удивительная сила моих рук. Я страшный силач. Схватив себя за эту косичку, я изо всех сил дёрнул себя и без большого труда вытащил из болота и себя и своего коня, которого крепко сжал обеими ногами, как щипцами”.
Читатель легко может изобличить уважаемого барона во лжи. Ведь согласно третьему закону Ньютона (действие равно противодействию), сила, с которой рука барона действует на косичку, вызывает равную и противоположно направленную силу, с которой косичка действует на руку. А поскольку и рука, и косичка – это части одной и той же физической системы (барона), то ясно, что результирующая сила, с какой барон действует на самого себя, равна нулю. Т. О. нельзя поднять самого себя за волосы. С более общей точки зрения этот запрет можно рассматривать как следствие закона сохранения импульса. Согласно этому закону, импульс системы не может изменяться в результате взаимодействия друг с другом частей системы. Если система не испытывает воздействия извне, то, следовательно, нет причин, которые могли бы изменить импульс системы. В этом случае импульс системы со временем не меняется.
Симметричен наш христианский крест, а китайский религиозный символ - асимметричен.
Итог: Рассматривая на сегодняшнем занятии некоторые аспекты использования симметрии в физике, искусстве, технике, биологии, литературе, можно заметить ещё важный её аспект – это философский аспект симметрии, или точнее говоря, диалектика симметрии и асимметрии. Она лежит в основе любой научной классификации. Именно она определяет степень красоты, содержащейся в том или ином произведении искусства, зодчества. Если симметрия связана с сохранением, общим, необходимым. То асимметрия связана с изменением, частным, различным, случайным. Мир не мог бы быть абсолютно симметричным (ничто бы не изменялось, не было бы никаких различий, в таком мире ничего не наблюдалось – никаких явлений, объектов). Не мог бы существовать абсолютно асимметричный мир. Это был бы мир, без каких – либо законов, где ничто не сохраняется, где нет каких-либо причинных связей. Реальный мир – это мир, основывающийся на диалектике симметрии и асимметрии (слайд 29).
Закрепление:
- (Слайд) Назвать самую симметричную и самую не симметричную фигуру (слайд 30).
- Создать ВЕБ-сайт по результатам сегодняшнего заседания (слайд 31).
- Создание буклета по теме: “Этот удивительно симметричный мир” (слайд 32).
Домашнее задание
Итог урока подводится на основе созданных ВЕБ-сайтов.
(Слайд 33)
Использованная литература:
- Погорелов Геометрия 7-11, Москва: Просвещение, 1992.
- Л. Тарасов, Этот удивительно симметричный мир, Москва: Просвещение,1982
- М. Гарднер , Этот правый, левый мир.
- Вейль Г.Симметрия. М.: Едиториал УРСС,2003.
- Зенкевич И.Г.,Эстетика урока математики: Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1981.
- Ресурсы ИНТЕРНЕТ.