Повторение темы "Окружность" при подготовке к ЕГЭ

Не для кого ни секрет, что геометрия является одним из самых сложных (на мой взгляд самым сложным) предметов, изучаемых в школе. И дело не только в том, что необходимо применять теоретические знания для решения задач (это нужно и на многих других предметах), но и в том, что у нас нет возможности дать учащимся схему, которая подошла бы для решения любой задачи. Что мы можем предложить учащимся? Только общие указания типа:

1. Внимательно прочитай условие задачи.
2. Сделай чертеж, который максимально соответствует условию задачи.
3. Вспомни все определения, свойства фигур и теоремы, которые связаны с элементами, входящими в условие задачи.
4. Попробуйте связать все это логическими цепочками.
5. Возможно вам удастся решить задачу, если вы попробуете начать свои рассуждения с конца задачи……
6. Попробуйте применить метод “от противного”?

Поэтому необходимо организовать повторение так, чтобы у учащихся систематизация матери-ала прошла на достаточно высоком уровне. Несмотря на то, что в вариантах ЕГЭ прошлых лет задачи по геометрии встречаются только в группах В и С, необходимо повторять геометричес-кий материал со всеми учащимися.

Целесообразно проводить повторение по следующим этапам:

1) легкие теоретические вопросы, ответить на которые смогут даже “слабые” учащиеся;

2) устные задачи, которые можно решить за один – два логических шага;

3) более сложные устные задачи;

4) задачи, которые требуют небольших письменных выкладок;

5) задачи среднего уровня сложности;

6) задачи повышенной сложности.

Первые пять этапов можно отработать, используя тесты. Они могут носить обучающий харак-тер или дать объективную оценку знаниям учащихся после повторения какой-либо части учеб-ного материала.

Тему “Окружность” нельзя отнести к легким темам планиметрии, поэтому целесообразно воз-вращаться к ней при каждом удобном случае ” в курсе геометрии 10-11 классов (например, при изучении тем “Цилиндр” и “Конус”).

Тесты составленные мной включают теоретические вопросы, устные задачи и задачи, для ре-шения которых учащимся необходимо сделать письменные выкладки. Каждый учитель может выбрать из этого теста вопросы и задачи по своему усмотрению. Как оценивать каждое задание учитель тоже решает сам. Я предлагаю легкие теоретические вопросы и устные задачи, которые можно решить за один – два логических шага оценивать одним баллом, более сложные устные задачи – двумя баллами, задачи, которые требуют небольших письменных выкладок – тремя баллами, задачи среднего уровня сложности – четырьмя баллами.

Тест по теме “Окружность”.

1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности:

а) не равны;
+б) равны;
в) перпендикулярны друг другу;
г) нет правильного ответа.

2. Сколько окружностей можно провести через две точки?

а) одну;
б) две;
+в) сколько угодно;
г) нет правильного ответа.

3. Сколько окружностей можно провести через три точки?

+а) одну;
б) две;
в) сколько угодно;
г) нет правильного ответа.

4. Длина окружности радиуса R равна:

а) произведению радиуса R и числа ;
+б) удвоенному произведению радиуса R и числа ;
в) произведению квадрата радиуса R и числа ;
г) нет правильного ответа.

5. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на:

а) середине меньшего катета;
б) середине большего катета;
+в) середине гипотенузы;
г) нет правильного ответа.

6. Центр окружности, описанной около произвольного треугольника лежит на:

а) пересечение биссектрис треугольника;
+б) пересечение серединных перпендикуляров;
в) пересечение высот треугольника;
г) пересечение медиан треугольника.

7. Центр окружности, вписанной в произвольный треугольник, лежит на:

+а) пересечение биссектрис треугольника;
б) пересечение серединных перпендикуляров;
в) пересечение высот треугольника;
г) пересечение медиан треугольника.

8. Если произвольный треугольник вписан в окружность, то центр этой окружности лежит на:

а) пересечение биссектрис треугольника;
+б) пересечение серединных перпендикуляров;
в) пересечение высот треугольника;
г) пересечение медиан треугольника.

9. Если произвольный треугольник описан около окружности, то центр этой окружности лежит на:

+а) пересечение биссектрис треугольника;
б) пересечение серединных перпендикуляров;
в) пересечение высот треугольника;
г) пересечение медиан треугольника.

10. Площадь круга радиуса R равна:

+а) произведению квадрата радиуса и числа ;
б) удвоенному произведению квадрата радиуса и числа;
в) удвоенному произведению радиуса и числа ;
г) нет правильного ответа.

11. Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника?

а) 60⁰;
+б) 120⁰;
в) 80⁰;

г) нет правильного ответа.

12. Чему равна длина окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного четырехугольника?

а) 45⁰;
б) 125⁰;
+в) 90⁰;

г) нет правильного ответа.

13. Чему равна длина окружности, если ее диаметр равен 50 см?

+а) 50;
б) 25;
в) 40;

г) нет правильного ответа.

14. Чему равна длина окружности, если ее диаметр равен 12 см?

а) 6;
б) 24;
+в) 12;

г) нет правильного ответа.

15. Из круга, радиус которого равен 20 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 90⁰. Чему равна площадь оставшейся части круга?

+а) 300;/
б) 100;
в) 400;
г) нет правильного ответа.

16. Из круга, радиус которого равен 30см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 60?. Чему равна площадь оставшейся части круга?

а) 100;
б) 150;
+в) 750;
г) нет правильного ответа.

17. Три окружности, радиусы которых 6см, 2см и 4см, касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.

+а) 5;
б) 2,5;
в) 10;
г) нет правильного ответа.

18. Три окружности, радиусы которых 10м, 2м и 3м, касаются друг друга внешним образом. Найдите диаметр окружности, проходящей через центры данных окружностей.

а) 6,5;
+б) 13;
в) 26;
г) нет правильного ответа.

19. Угол АВС – угол, вписанный в окружность и опирающийся на дугу АС. Угол АОС – центральный угол, опирающийся на дугу АС. Какое из утверждений верно:

а) угол АВС в 2 раза больше угла АОС;
+б) угол АВС равен половине угла АОС;
в) угол АВС равен углу АОС;
г) нет правильного ответа.

20. Точка О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, тогда:

+а) градусная мера угла АОВ равна сумме половины градусной меры угла С и 90 градусов, градусная мера угла АОС равна сумме половины градусной меры угла В и 90 градусов, градусная мера угла СОВ равна сумме половины градусной меры угла А и 90 градусов;
б) градусная мера угла АОВ равна сумме градусной меры угла С и 90 градусов, градусная мера угла АОС равна сумме градусной меры угла В и 90 градусов, градусная мера угла СОВ равна сумме градусной меры угла А и 90 градусов;
в) градусная мера угла АОВ равна сумме двух градусных мер угла С и 90 градусов, градусная мера угла АОС равен сумме двух градусных мер угла В и 90 градусов, градусная мера угла СОВ равна сумме двух градусных мер угла А и 90 градусов;
г) нет правильного ответа.

21. Точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит внутри этого треугольника. Какое из утверждений верно:

+а) треугольники АОВ, ВОС и АОС – равнобедренные;
б) треугольники АОВ, ВОС и АОС – прямоугольные;
в) треугольники АОВ, ВОС и АОС – равносторонние;
г) нет правильного ответа.

22. Точка О--центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит внутри этого треугольника. Какое из утверждений верно:

а) угол АОС равен углу В;
б) угол АОС в два раза меньше угла В;
+в) угол АОС в два раза больше угла В;
г) нет правильного ответа.

23. Дан треугольник АВС, R – радиус, описанной около него окружности. Какое из утверждений верно:

+а) отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно 2 R;
б) отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно R;
в) отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно 0,5 R;
г) нет правильного ответа.

24. Длины сторон треугольника АВС, радиус R, описанной около него окружности, углы А,В и С связаны равенством:

+а) АВ=2R sinС, АС=2R sinВ, ВС=2R sinА;
б) АВ=R sinС, АС=R sinВ, ВС=R sinА;
в) АВ=0,5 R sinС, АС=0,5 R sinВ, ВС=0,5 R sinА;
г) нет правильного ответа.

25. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами, равными 6 и 8.

а) 5;
+б) 10;
в) 100;
г) нет правильного ответа.

26. Найдите длину окружности, описанной около квадрата со стороной 8.

а) 42;
б) 4;
в) 82;
г) нет правильного ответа.

27. Найдите площадь круга, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами, равными 24 и 10.

+а) 16;
б) 52;
в) 26:
г) нет правильного ответа.

28. Найдите площадь круга, вписанного в квадрат с диагональю 10 v2.

+а) 25;
б) 20;
в) 10;
г) нет правильного ответа.

29. Найдите площадь равностороннего треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4.

а) 243;
б) 363;
+в) 483;
г) нет правильного ответа.

30. *Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если АВ=18, АС=5, АН=3 и АН – высота треугольника АВС.

а) 30;
+б) 15;
в) 7,5;
г) нет правильного ответа.

31. *Найдите радиус окружности, описанной около треугольника МТР, если МТ=5, ТР=16, ТА=4 и ТА – высота треугольника МТР.

а) 20;
б) 5;
+в) 10;
г) нет правильного ответа.

32. *Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 9, 10, 17.

а) 21,25;
+б) 10,625;
в) 31,875;
г) нет правильного ответа.

33. *

б) 16,25;
в) 24,375;
г) нет правильного ответа.

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 4, 13, 15.

+а) 8,125;