Теорема о корне при решении уравнений. Урок алгебры. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

  1. Использование особенностей монотонности функций для активизации творческого мышления учащихся.
  2. Формирование у школьников навыков применения теоремы о корне для решения уравнений.
  3. Умение обобщать, конкретизировать и анализировать изучаемый материал.
  4. Обучение учащихся нестандартным способам решения задач.
  5. Развитие логики и навыков самостоятельной работы.
  6. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: учебник “Алгебра 9” (автор: Мордкович А. Г.), задачник “Алгебра 9” (авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.), книга для преподавателей “Алгебра 9” (авторы: Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А.), карточки с памяткой для самостоятельной работы по данной теме, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Предложенный урок расширяет программу по теме “Функции”. Учащиеся уже знакомы с основными свойствами функций, владеют навыками грамотного чтения графиков и умеют применять алгоритм исследования функций. На уроке основной упор делается на использование свойств монотонности функций для решения уравнений. Рассматривается теорема о корне. В ходе урока каждый учащийся должен достигнуть определенного уровня понимания материала, поэтому этап усвоения знаний разработан дифференцированно.

Ожидаемый результат по окончании изучения материала:

1-й уровень: каждый ученик должен знать геометрическую модель теоремы о корне и уметь установить связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.

2-й уровень: каждый ученик должен знать алгоритм решения уравнений с использованием теоремы о корне и уметь применять ее для решения нестандартных задач.

На уроке рассматриваются различные виды уравнений, решаемых с помощью теоремы о корне. В дальнейшем учащимся предлагается использовать предложенный алгоритм в домашней контрольной работе (§16, задачник “Алгебра 9” авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.). Для организации проверочной работы используются задания из практикума (составитель автор).

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.).

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (7 мин.).

Учитель: Необходимо повторить пройденное для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала. На протяжении изучения темы “Функции” вы постепенно учились читать графики функций, используя алгоритм для их исследования. Остановимся на особенностях возрастающей и убывающей функций. Подборка материала подготовлена учащимися.

Выступление учащихся сопровождается показом презентации.

III этап. Объяснение нового материала (10 мин).

Учитель: Сегодня изучение нового материала мы начнем с доказательства теоремы о корне.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве img1.gif (113 bytes)(f), число a - любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Доказательство:

Рассмотрим возрастающую функцию f(x) (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию на множестве X существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b - единственный корень уравнения f(x)=a.

Допустим, что на множестве X есть еще число , такое, что f(c)=a. Тогда или c < b, или c > b. Но функция f(x) возрастает на множестве X, поэтому соответственно либо f(c) < f(b), либо f(c) > f(b). Это противоречит равенству f(c)=f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и на множестве X, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=a нет.

Геометрическая модель теоремы о корне может быть представлена как на экране, так и на плакате.

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующие примеры:

Сколько корней имеет уравнение?

(1);

- x5= (2).

Учащиеся отмечают, что на своих областях определения функция возрастает, а функция y = - x5 – убывает соответственно. По теореме о корне как уравнение (1), так и уравнение (2) имеют по одному корню.

Учитель: Откроем учебник на 98 стр. и обратим внимание на то, что при решении уравнения x5=3-2x (пример 1, рис. 79) геометрическая модель наглядно иллюстрирует следствие, которое следует из теоремы о корне:

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

По учебнику разбирается пример 1.

Опираясь на это утверждение, можем изящно решить уравнение

x5 = 3 - 2x без чертежа, следуя следующему алгоритму:

  1. заметим, что при x=1 выполняется равенство 15=3-2·1,
    значит, x=1 – корень уравнения (этот корень мы угадали);
  2. функция у = 3 - 2x убывает, а функция у = x5 возрастает,
    значит, корень у заданного уравнения только один и
    этим корнем является значение x=1.

Учитель: Определим сколько решений имеет уравнение x5 = - 3x +5 с комментированием на месте.

Решение:

  1. рассмотрим функции у = x5 и у = - 3x + 5; заметим, что область определения этих функций одинакова: D(у)=(-; +);
  2. на D(у) функция у = - 3x + 5 убывает, а функция у = x5 возрастает. Значит, по следствию из теоремы о корне, у заданного уравнения только один корень, т.е. уравнение, имеет одно решение.

Учитель: Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи, используя теорему о корне (следствие).

На экране высвечивается обобщенный алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

  1. Определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b).
  2. Ввести две функции y=f(x) и y=g(x).
  3. Исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x)возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).

IV этап. Усвоение новых знаний (23 мин.)

Учитель: Карточки и памятка для самостоятельной работы лежат у вас на столах. Приступим к выполнению заданий.

Так как нетрадиционные методы решения задач вызывают трудность у большинства учащихся, то следующее уравнение предлагается решить вместе. Для оформления решения учащийся по желанию выходит к доске (дается уравнение 2 уровня).

Решить уравнение: (3).

Решение: в начале запишем уравнение (3) в виде

,

затем воспользуемся теоремой о корне.

  1. при x=5 уравнение превращается в верное числовое равенство: ; 5=5 (т.е. угадали корень уравнения – x=5).
  2. заметим, что в левой части уравнения функция возрастает на D(у)=[3; +); значит, у заданного уравнения корень только один и этим корнем является значение x=5.

Ответ: 5.

После того как данное задание выполнено, класс приступает к решению уравнений в зависимости от восприятия материала:

1) те, кто попытается справиться самостоятельно с не очень сложными уравнениями;
2) те, у кого решение уравнений не вызывает затруднений.

В соответствии с этим учащиеся получают дифференцированные задания.

1 уровень.

Решить уравнения:

1. (Ответ: 0);

2. (Ответ: 2);

3. (Ответ: 3);

4. (Ответ: 4);

5. (Ответ: -2);

6. (Ответ: 1).

2 уровень.

Решить уравнения:

1. (Ответ: 1);

2. (Ответ: -1);

3. (Ответ: -2);

4. (Ответ: 2);

5. (Ответ: -3);

6. (Ответ: -2);

7. (Ответ: 2).

Необходимо проверить правильность выполнения заданий, поэтому от каждой группы выступает ученик, демонстрируя решение одного из уравнений на доске.

V этап. Итог урока (2 мин.).

Подводя итог урока, учитель и ученики выясняют трудности при решении уравнений и обсуждают, на что они должны обратить внимание при выполнении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.).

Учитель: задание на дом следующее: доделать задания на карточках; если на уроке выполнено все, то воспользоваться дополнительной карточкой из материалов для самостоятельной работы; домашняя контрольная работа (§16, задачника “Алгебра 9”).

Заключительное слово учителя (1мин). Любовь к предмету не возникает просто так. Двигаясь постепенно от простого к сложному, анализируя и обобщая учебный материал, интересуясь “изящными” способами решения, можно понять красоту алгебры. Сегодня знание теории и практические навыки, что равнозначно, показали многие из вас. Особую благодарность заслуживают ребята, создавшие прекрасную презентацию. Постижение мира бесконечно: дерзайте, творите, ошибайтесь, ищите ответы на вопросы, только не “проспите” лучшие годы. “Жажда к жизни” – залог успеха.

 Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

1. Памятка по решению уравнений.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a - любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

Алгоритм решения уравнения f(x)=a с использованием теоремы о корне:

  1. определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
  2. исследовать функцию y=f(x), стоящую в левой части уравнения, на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), то уравнение f(x)=a имеет единственный корень – x=b (ссылка на теорему).

Алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

Рекомендации:

Сначала, если это необходимо, уравнение привести к такому виду, чтобы было удобно исследовать на монотонность функции, стоящие в левой и правой частях уравнения, а затем следовать согласно следующему алгоритму:

  1. определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
  2. ввести две функции y=f(x) и y=g(x);
  3. исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).

 2. Практические задания.

Рекомендации: рассмотрим готовое решение уравнения (возможен такой вариант оформления).

Решить уравнение: .

Решение:

Функция f(x) = определена и монотонно возрастает на D(у)=[0; +);

На основании теоремы о корне уравнение имеет не более одного корня.

Т.к. f (1) = 4, то x = 1 – корень уравнения.

Ответ: 1.

 Дополнительная карточка (подбор заданий [1]).

Решить уравнения:

;

;

;

;

;

.

Литература.

  1. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.