В централизованном тестировании по информатике имеются задания на логику, в частности, по некоторому тексту составить логическое выражение, а затем его решить. Это задания А10. Зачастую у ребят подобные задания вызывают затруднения, поэтому я на уроках информатики отвожу некоторое время на решение подобных задач.
Я сейчас не буду приводить основные определения алгебры логики, которые есть в любом учебнике (Приложение). Рассмотрим только таблицы истинности для инверсии, конъюнкции, дизъюнкции, строгой дизъюнкции, импликации и эквивалентности (Рисунок 1).
Рисунок 1
Кроме того, на уроках я даю множественный способ обозначения данных логических операций (Рисунок 2).
Рисунок 2
Составим таблицу перевода некоторых (наиболее часто встречающихся) выражений естественного языка на символьный язык алгебры логики (Рисунок 3). Для удобства простые высказывания обозначим английскими буквами.
Высказывания естественного языка |
Обозначения, использованные в данной статье |
| Не А; неверно, что А; А не имеет места | not A |
| А и В; как А так и В; не
только А, но и В; А вместе с В; А, не смотря на В; А, в то время как В |
А & В |
| A или B | A or B |
| А либо В; А, разве, что В;
либо А, либо В; не А, разве что не В; либо не А, либо не В; А или В, но не оба |
А xor В |
| Если А, то В; В, если А; А
только, если В; А только тогда, когда В;
А достаточно для В; А только при
условии что В; В необходимо для А; А, значит В; для В достаточно А; А влечет В; для А необходимо В; все А есть В; из А следует В; В тогда, когда А |
А imp В |
| А эквивалентно В; А тогда и только тогда, когда В; А, если и только если В; А необходимо и достаточно для В | А eqv В |
Рисунок 3
Рассмотрим теперь текстовые задачи:
А10 (1).
Три подразделения А, В и С торговой фирмы стремились получить по итогам года прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
- и подразделение А получит прибыль, и подразделение С получит прибыль;
- подразделение С получит прибыль, а также получит прибыль одно из двух подразделений А или В;
- получение прибыли подразделением А равносильно тому, что получение прибыли подразделением С не будет достаточным основанием для получения прибыли подразделением В.
По завершению года оказалось, что одно из трех предположений ложно. Это означает, что прибыль получили.
1) А, С. 2) А,В,С. 3) А,В. 4) В,С. 5) В.
РЕШЕНИЕ.
Введем обозначения простых высказываний:
А = “А получит прибыль”;
В = “В получит прибыль”;
С = “С получит прибыль”.
Высказывание (1) будет истинно только при одновременном выполнении высказываний А и С, таким образом получаем:
F1 = А & С.
В высказывании (2) говорится об истинности только одного из А или В (получаем А xor В) и одновременной с этим истинности С. Получаем
F2 = С & (А xor В).
Разберем теперь высказывание (3). Фраза “получение прибыли подразделением С достаточно для получение прибыли подразделением В” равносильно логическому выражению С imp В . Но в нашем случае имеются слова “не будет достаточным”, что является отрицанием к предыдущему высказыванию. Получаем not(C imp B) . Добавим теперь, что А равносильно разобранному высказыванию. Получаем
F3 = А eqv (not(C imp B )).
Составим таблицы истинности для F1, F2, F3, и рассмотрим не все 8 случаев, а только 5, т.к. предлагается 5 вариантов ответа.
F1 = А & С
А |
В |
С |
А & С |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
F2 = С & (А xor В)
А |
В |
С |
А xor В |
С & (А xor В) |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
F3 = А eqv (not(C imp B ))
А |
В |
С |
C imp B |
not (C imp B ) |
А eqv (not(C imp B )) |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Теперь сведем ответы в единую таблицу.
А |
В |
С |
F1 |
F2 |
F3 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
В задании говорится, что по завершению года оказалось, что только одно из трех предположений ложно. Это выполняется в 4-ой строке. Прибыль получили подразделения В и С, высказывания F1=ложь, F2=истина, F3=истина.
ОТВЕТ: 4.
При решении подобных задач особое внимание учеников акцентирую на составление высказывания, содержащего импликацию, т.к. в этом месте учащиеся больше всего допускают ошибки. Отдельно разбираем достаточность условий и необходимость. Достаточность говорит о том, что данное высказывание является предпосылкой (посылкой), а необходимость – является заключением (следствием). Фразы типа “не будет достаточным” или “не будет необходимым” не меняют местами посылку и следствие, а являются общим отрицанием к импликации.
Рассмотрим еще одну задачу.
А10 (2).
Три подразделения А, В и С торговой фирмы стремились получить по итогам года прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
- для того чтобы подразделение В получило прибыль, необходимо чтобы и подразделение С получило прибыль;
- получение прибыли подразделением А не является необходимым условием для одновременного получения прибыли подразделением В и С;
- получение прибыли подразделением В равносильно получению прибыли подразделениями А и С.
По завершению года оказалось, что одно из трех предположений истинно. Это означает, что прибыль получили
1) А, С 2) А,В,С 3) А,В 4) В,С 5) В
РЕШЕНИЕ.
Запишем на языке алгебры логики предположения, высказанные экономистами:
F1= B imp C;
F2= not((B & C) imp A);
F3= B eqv (A & C).
Составим таблицы истинности для F1, F2, F3.
F1= B imp C
А |
В |
С |
B imp C |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
F2= not((B & C) imp A)
А |
В |
С |
В & С |
(В & С)impА |
not((B & C) imp A) |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
F3= B eqv (A & C)
А |
В |
С |
А & С |
B eqv (A & C) |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Теперь сведем ответы в единую таблицу.
А |
В |
С |
F1 |
F2 |
F3 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
В задании говорится, что по завершению года оказалось, что только одно из трех предположений истинно. Это выполняется в 1-ой строке. Прибыль получили подразделения А и С, высказывания F1=истинна, F2=ложь, F3=ложь.
ОТВЕТ: 1.